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2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
3．（3分）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
5．（3分）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（3分）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，点C、D在AB的异侧，若∠B＝24°，则∠BCD的度数是（ ）
A．66° B．67° C．57° D．48°
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
9．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
10．（3分）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
12．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°．则∠B＝ ．
14．（4分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 ．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，则摸出的小球都是黑球的概率为 ．
16．（4分）如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 ．
三、解答题
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
19．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
20．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若⊙O的半径长为4，AC长为7，求BC的长．
21．（12分）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
22．（13分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵最长的弦长为16cm，
∴⊙O的直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
故选：B．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
【分析】利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，正确，是真命题，符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，
进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得
该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，
故直线l与⊙O的交点个数为2．
故选：C．
4．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到红球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵共有3+2＝5个球，
∴摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，
∴摸到红球的可能性比白球大；
故选：C．
5．（3分）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝2π，
故圆锥的底面半径为2π÷2π＝1．
故选：B．
6．（3分）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
则P（构成三角形）＝．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，点C、D在AB的异侧，若∠B＝24°，则∠BCD的度数是（ ）
A．66° B．67° C．57° D．48°
【分析】先求出∠A，得出∠AOD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OAD，再由圆周角定理求出∠BCD的度数即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AC∥OD，
∴∠A＝∠AOD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝66°．
∴∠AOD＝66°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝（180°﹣∠AOD）÷2＝57°，
∴∠BCD＝∠OAD＝57°；
故选：C．
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，连接OB．
∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：B．
9．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD＝OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°，
则OD：OC＝1：2，
因而OD：OC：AD＝1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D．
10．（3分）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故选：D．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，OC，OC交BD于W，根据对称求出BC＝OB，求出△COB是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出OB＝3，求出∠AOC＝30°，求出DW，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°．则∠B＝ 55° ．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质即可得出∠B的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝55°．
故答案为：55°．
14．（4分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积＝×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，则摸出的小球都是黑球的概率为 ．
【分析】依据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：列表得，
黑1
黑2
白1
白2
黑1
黑1黑2
黑1白1
黑1白2
黑2
黑2黑1
黑2白1
黑2白2
白1
白1黑1
白1黑2
白1白2
白2
白2黑1
白2黑2
白2白1
∵由表格可知，共有12种等可能结果，其中摸出的小球都是黑球的有2种结果，
∴摸出的小球都是黑球的概率为：＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 π ．
【分析】点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长，第一次的旋转是以M为圆心，AM为半径，旋转的角度是60度，第二次是以N为圆心，矩形的对角线为半径，旋转的角度是90度，所以根据弧长公式可得．
【解答】解：如图，根据弧长公式可得：l＝+＝π．
故答案为：π．
三、解答题
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
∵DM＝2，
所以点D在⊙M上．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用已知得出∠ODP＝90°，进而得出答案；
（2）直接利用△ODP的面积减去扇形DOB的面积进而得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△POD中，OD＝3cm，∠APD＝30°，
∴PD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝×3×3﹣×π×32
＝﹣π．
19．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据各自得出的概率得出游戏不公平，再根据概率公式直接修改为两人获胜的概率相等就行，答案不唯一．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
由上图可知，共有12种等可能的情况数，其中指针所指区规内两数和小于11有3种，两数和大于11有6种，
则小李获胜的概率是＝，小王获胜的概率是＝；
（2）由（1）知，小李获胜的概率是，小王获胜的概率是，
所以游戏不公平；
游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和不大于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
20．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若⊙O的半径长为4，AC长为7，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCE＝90°．然后根据AC平分∠BAD，即可得结论；
（2）根据AD是⊙O的直径，可得∠ACD是直角．根据勾股定理和垂径定理即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠BAC．
∴∠OCA＝∠BAC，
∴AE∥OC，
∴∠E＝90°；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD是直角．
在Rt△ACD中，AC＝7，AD＝2×4＝8，
∴CD＝．
∵∠BAC＝∠OAC，
∴，
∴BC＝CD＝．
21．（12分）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
【分析】（1）连接BC，利用锐角三角函数求出AB，再利用扇形面积公式求出；
（2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径；
（3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）连接BC，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴BC＝1米，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝BCcos45°＝，
∴S扇形ABC＝＝（米2），
则剪掉后的剩余部分的面积为：π×（）2﹣
＝﹣
＝（米2）；
（2）设该圆锥的底面半径是r米，
用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，底面圆的周长为：＝π（米），
则π＝2πr，
解得：r＝米，该圆锥的底面半径是米；
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，
则DE＝1﹣．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径d＝2r＝2×＝（米），
又∵DE＝1﹣＜d＝，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于DE，
故不能围成圆锥体．
22．（13分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 不是 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理得到BH＝DH，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BCD＝120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD＝30°，在Rt△OBH中可计算出BH＝OH＝3，BD＝2BH＝6，则AC＝BD＝6，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOM＝∠BAC，∠AOE＝∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM＝∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM＝AE，于是有OM＝AD．
【解答】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH＝DH，
∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，
∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝3，
∴BH＝OH＝3，
∵BD＝2BH＝6，
∴AC＝BD＝6，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积＝×6×6＝54；
（3）OM＝AD．理由如下：
连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
而∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM＝AE，
∴OM＝AD．
2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
3．（3分）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
5．（3分）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（3分）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，点C、D在AB的异侧，若∠B＝24°，则∠BCD的度数是（ ）
A．66° B．67° C．57° D．48°
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
9．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
10．（3分）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
12．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°．则∠B＝ ．
14．（4分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 ．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，则摸出的小球都是黑球的概率为 ．
16．（4分）如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 ．
三、解答题
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
19．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
20．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若⊙O的半径长为4，AC长为7，求BC的长．
21．（12分）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
22．（13分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
2021-2022学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵最长的弦长为16cm，
∴⊙O的直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
故选：B．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
【分析】利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，正确，是真命题，符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，
进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得
该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，
故直线l与⊙O的交点个数为2．
故选：C．
4．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到红球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵共有3+2＝5个球，
∴摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，
∴摸到红球的可能性比白球大；
故选：C．
5．（3分）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝2π，
故圆锥的底面半径为2π÷2π＝1．
故选：B．
6．（3分）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
则P（构成三角形）＝．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，点C、D在AB的异侧，若∠B＝24°，则∠BCD的度数是（ ）
A．66° B．67° C．57° D．48°
【分析】先求出∠A，得出∠AOD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OAD，再由圆周角定理求出∠BCD的度数即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AC∥OD，
∴∠A＝∠AOD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝66°．
∴∠AOD＝66°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝（180°﹣∠AOD）÷2＝57°，
∴∠BCD＝∠OAD＝57°；
故选：C．
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，连接OB．
∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：B．
9．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3
【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD＝OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°，
则OD：OC＝1：2，
因而OD：OC：AD＝1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D．
10．（3分）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故选：D．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，OC，OC交BD于W，根据对称求出BC＝OB，求出△COB是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出OB＝3，求出∠AOC＝30°，求出DW，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°．则∠B＝ 55° ．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质即可得出∠B的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝55°．
故答案为：55°．
14．（4分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积＝×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，则摸出的小球都是黑球的概率为 ．
【分析】依据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：列表得，
黑1
黑2
白1
白2
黑1
黑1黑2
黑1白1
黑1白2
黑2
黑2黑1
黑2白1
黑2白2
白1
白1黑1
白1黑2
白1白2
白2
白2黑1
白2黑2
白2白1
∵由表格可知，共有12种等可能结果，其中摸出的小球都是黑球的有2种结果，
∴摸出的小球都是黑球的概率为：＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 π ．
【分析】点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长，第一次的旋转是以M为圆心，AM为半径，旋转的角度是60度，第二次是以N为圆心，矩形的对角线为半径，旋转的角度是90度，所以根据弧长公式可得．
【解答】解：如图，根据弧长公式可得：l＝+＝π．
故答案为：π．
三、解答题
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
∵DM＝2，
所以点D在⊙M上．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用已知得出∠ODP＝90°，进而得出答案；
（2）直接利用△ODP的面积减去扇形DOB的面积进而得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△POD中，OD＝3cm，∠APD＝30°，
∴PD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝×3×3﹣×π×32
＝﹣π．
19．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区规内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据各自得出的概率得出游戏不公平，再根据概率公式直接修改为两人获胜的概率相等就行，答案不唯一．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
由上图可知，共有12种等可能的情况数，其中指针所指区规内两数和小于11有3种，两数和大于11有6种，
则小李获胜的概率是＝，小王获胜的概率是＝；
（2）由（1）知，小李获胜的概率是，小王获胜的概率是，
所以游戏不公平；
游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和不大于11，则小李获胜；若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
20．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）若⊙O的半径长为4，AC长为7，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCE＝90°．然后根据AC平分∠BAD，即可得结论；
（2）根据AD是⊙O的直径，可得∠ACD是直角．根据勾股定理和垂径定理即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠BAC．
∴∠OCA＝∠BAC，
∴AE∥OC，
∴∠E＝90°；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD是直角．
在Rt△ACD中，AC＝7，AD＝2×4＝8，
∴CD＝．
∵∠BAC＝∠OAC，
∴，
∴BC＝CD＝．
21．（12分）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
【分析】（1）连接BC，利用锐角三角函数求出AB，再利用扇形面积公式求出；
（2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径；
（3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）连接BC，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴BC＝1米，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝BCcos45°＝，
∴S扇形ABC＝＝（米2），
则剪掉后的剩余部分的面积为：π×（）2﹣
＝﹣
＝（米2）；
（2）设该圆锥的底面半径是r米，
用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，底面圆的周长为：＝π（米），
则π＝2πr，
解得：r＝米，该圆锥的底面半径是米；
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，
则DE＝1﹣．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径d＝2r＝2×＝（米），
又∵DE＝1﹣＜d＝，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于DE，
故不能围成圆锥体．
22．（13分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 不是 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理得到BH＝DH，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BCD＝120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD＝30°，在Rt△OBH中可计算出BH＝OH＝3，BD＝2BH＝6，则AC＝BD＝6，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOM＝∠BAC，∠AOE＝∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM＝∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM＝AE，于是有OM＝AD．
【解答】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH＝DH，
∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，
∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝3，
∴BH＝OH＝3，
∵BD＝2BH＝6，
∴AC＝BD＝6，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积＝×6×6＝54；
（3）OM＝AD．理由如下：
连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
而∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM＝AE，
∴OM＝AD．
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