山东省枣庄市滕州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是(    )

A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形

3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 对于反比例函数，给出下列结论：图象经过点；图象位于第二、第四象限；当时，随的增大减小；当时，随的增大而增大．其中正确的结论个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离米，则自动扶梯的长约为参考数据：，，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点点、分别是，的中点，且则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，∽，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 两个相似三角形对应中线的长分别为和，若较大三角形的面积是，则较小的三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点给出下列结论：；当时，随的增大而增大；；其中正确的结论个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 关于的方程的一根为，则另一根为______．
14. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度单位：与它距离喷头的水平距离单位：之间满足函数关系式喷出水珠的最大高度是______

15. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么______米．

16. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差米，则树高          米．结果保留根号
17. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为______．

18. 如图，点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 计算：；
    用配方法求抛物线的顶点坐标．

四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    在虹桥中学九年班召开的“走近抗疫英雄，讲好中国故事”的主题班会上，组织了随机抽取卡片，按照卡片上的要求讲述抗疫英雄故事的活动．班主任李老师将编号为，，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同背面朝上洗匀后放在桌面上．
    
    小明随机抽取张卡片，抽到卡片的概率为______．
    小明从张卡片中随机抽取张后，小丽从余下的卡片中随机抽取张，请用列表法或画树状图求他俩抽到，卡片的概率．
21. 本小题分
    某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶元，在销售过程中发现，每天销售量瓶与每瓶售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每瓶消毒液售价为元时，每天销售量为瓶；当每瓶消毒液售价为元时，每天销售量为瓶．
    求与之间的函数关系式；
    设该药店销售该消毒液每天的销售利润为元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
22. 本小题分
    如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，求的长．

23. 本小题分
    资阳市为实现网络全覆盖，年拟建设基站七千个如图，在坡度为：的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走米到达处，在处测得塔顶的仰角为点、、、均在同一平面内参考数据：，，
    求处的竖直高度；
    求基站塔的高．

24. 本小题分
    如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与双曲线：交于，两点．
    求双曲线的函数关系式及的值；
    判断点是否在双曲线上，并说明理由；
    当时，请直接写出的取值范围．

25. 本小题分
    如图，抛物线经过点和点，与交于点，顶点为，连接、，与抛物线的对称轴交于点．
    求该抛物线的函数表达式；
    点是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点的坐标；
    点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：．
根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
 

2.【答案】 

【解析】解：菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，
C.菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，
D.菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，
故选：．
由菱形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查菱形的性质以及轴对称图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
个选择中只有符合．
故选：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出的取值范围即可进行判断．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，图象经过点，故符合题意；
反比例函数中，，
函数图象位于第二、第四象限，故符合题意；
当时，函数图象位于第二象限，随的增大而增大，故不符合题意；
当时，函数图象位于第四象限，随的增大而增大，故符合题意．
故选：．
由反比例函数的性质对各小题进行解答即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，，，
，
，
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
则米，
故选：．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
点、是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据矩形的性质可得，，再根据三角形中位线定理可得．
此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，可证四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质，证明，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意两三角形的相似比是：：：，
则面积比为：，
已知大三角形面积为，
则小三角形的面积为．
故选：．
首先根据中线的比求得相似比，然后根据面积的比等于相似比的平方求得答案即可．
本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项A错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项B错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项C错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项D正确；
故选：．
根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断、的正负情况．
 

12.【答案】 

【解析】解：把点，代入二次函数，
可得二次函数的解析式为：，
该函数图象开口方向向下，
，
，，
，，不符题意，符合题意；
对称轴为直线：，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；不符题意；
当时，函数取得最大值，即对于任意的，有，
，故符合题意．
综上，正确的个数有个，
故选：．
把点，代入二次函数，可得二次函数的解析式为：，由图象可知，函数图象开口向下，所以，可得和的符号，及和的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：，根据函数的增减性和最值，可判断和的正确性．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；掌握一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，
关于的方程的一根为，
则，
解得．
故答案为：．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，即可解答出．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，有最大值为，
喷出水珠的最大高度是，
故答案为：．
先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
则，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
设出树高为米，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．
本题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．
【解答】
解：如图，设树高为米，

在中，，
，
同理：，
两次测量的影长相差米，
，
，
解得：米
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，

，
解得．
故答案为：．
根据作图过程可得是的平分线，然后证明≌，再利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，作图基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作于，
，
，
，
，
∽，
，
点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，
，，，，
，
解得舍去，，
的值为，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作于，通过证得∽，即可得到关于的方程，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
，
顶点坐标为． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查特殊角的三角函数值与二次函数的三种形式，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

20.【答案】 

【解析】解：小明随机抽取张卡片，抽到卡片的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小明和小丽抽到，卡片的结果有种，
小明和小丽抽到，卡片的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小明和小丽抽到，卡片的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
 

21.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入，
，解得：，
与之间的函数关系式为，且为整数．
依题意得：．
，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当每瓶消毒液售价为元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
利用销售该消毒液每天的销售利润每瓶的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：根据给定的数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】证明：是正方形的对角线，
，
，，
≌，
．
解：四边形是正方形，
，
，
由可知≌，
，
，
即，
，
，
∽，
，
即，
或舍去，
根据中的结论，
． 

【解析】根据正方形的性质得到，，从而利用全等三角形的判定定理推出≌，进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
根据正方形的性质得到，推出，由可知≌，利用全等三角形的性质得到，结合图形根据角之间的和差关系，推出，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到∽，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，
斜坡的坡度为：，
，
即，
设，则，
在中，，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
答：处的竖直高度为米；
斜坡的坡度为：，
设米，则米，
又，
米，
米，
在中，，，
，
，
解得，
米，米，
米，
米，
答：基站塔的高为米． 

【解析】通过作垂线，利用斜坡的坡度为：，，由勾股定理可求出答案；
设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
 

24.【答案】解：
连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
，，
，轴，
轴，
点，，
点，，在直线上，
，
，
点，
点在双曲线上，
，
双曲线的函数关系式为；

由知，，，
，
由知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上；

由知，
由图象知，当时的值的范围为或． 

【解析】连接，相交于点，确定出点，轴，进而求出点，，最后将点，，的坐标代入直线的解析式中求出，进而求出点坐标，最后将点坐标代入双曲线的解析式中求解，即可得出结论；
先求出点的坐标，判断即可得出结论；
根据图象直接得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用表示出点的坐标是解本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
如图，过点作轴于点，交于点，
抛物线，当时，，
，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
直线的函数表达式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，四边形面积取最大值，此时，
．
存在，
设，
，，
是等腰直角三角形，
以，，为顶点的三角形与相似，
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，
点、关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
直线，当时，，
，
设直线交轴于点，
如图，，，则，
解得，不符合题意，舍去，
，
，
；
如图，，，则，
，
解得，不符合题意，舍去，
；
如图，，，
作于点，则，
，
由图可知，
，
，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】将、代入，列方程组求出、的值即可；
过点作轴于点，交于点，先求出直线的函数表达式，再设点的横坐标为，将线段及四边形的面积用含的代数式表示，再根据二次函的性质求出四边形面积取最大值时点的坐标；
存在符合条件的点，设，先求出抛物线的对称轴和点的坐标，确定是等腰三角形，则以，，为顶点的三角形也是等腰三角形，再按，和，，以及，，分别求出点的坐标．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．