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2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2−12n
C. n−m>0 D. 1−2m<1−2n
2. 对于下列四个条件：①∠A+∠B=∠C；②a：b：c=3：4：5，③∠A=90°−∠B；④∠A=∠B=2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
3. 由图中所示的图案通过平移后得到的图案是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
5. 如图，A(8,0)，C(−2,0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( )
A. (0,5) B. (5,0) C. (6,0) D. (0,6)
6. 不等式组{x+1⩾0,x−1<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为( )
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
9. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为( )
A. x>−1 B. x<−1 C. x≥3 D. x≥−1
10. 如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF.给出下列结论：
①AF=DF；
②S△ABD：S△ACD=AB：AC；
③∠BAF=∠ACF．
其中正确的结论为( )
A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______cm2．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足 a−1+|b−3|=0，则此等腰三角形的周长为______ ．
13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰△ABC的腰为______ ．
14. 已知点A(a,2)与点B(4,b)关于原点对称，则a+b的值等于______．
15. 若关于x、y的方程组2x+y=4k+3x+2y=−k满足1
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1>x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
18. (本小题8.0分)
如图，点M，N分别在正三角形△ABC的BC，CA边上以相同的速度运动(不会与顶点重合)，AM，BN交于点Q.问：∠AQN的大小会改变吗？如果不变，值为多少？如果变化，会怎么变化.请说明理由．
19. (本小题8.0分)
为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
20. (本小题10.0分)
图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1.线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．
(1)在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
(2)在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
(3)在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点．
21. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式．
(2)请直接写出不等式kx+b>3x的解集．
(3)若在x轴上存在一点D，且△OCD是以OC为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标．
22. (本小题10.0分)
已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
(1)请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
(2)如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起(即：点A与点B′重合，点B与点A′重合)，BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．
23. (本小题10.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______°.
24. (本小题10.0分)
已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°.小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD.通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、m−2>n−2，∴不符合题意；
B、−12m<−12n，∴不符合题意；
C、m−n>0，∴不符合题意；
D、∵m>n，
∴−2m<−2n，
∴1−2m<1−2n，∴符合题意；
故选：D．
A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以−12，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以−2，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c=3：4：5，
设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=2∠C=72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
①∠A+∠B=∠C，推出∠C=90°，得到△ABC是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出△ABC是直角三角形；③∠A=90°−∠B，推出∠C=90°，得到△ABC是直角三角形；④∠A=∠B=2∠C，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可．
本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到．A，C，D都不符合题意；
故选：B．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
此题考查了平移变换，正确理解平移的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∠AOB=15°，
∴∠AOA′=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∵∠AOA′=∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′=∠AOA′−∠A′OB′=30°．
故选：B．
根据旋转的性质得∠AOA′=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，根据图形可得∠AOB′=∠AOA′−∠A′OB′．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据已知可得：AB=AC=10，OA=8．
在Rt△ABO中，OB= AB2−OA2=6．
∴B(0,6)．
故选：D．
根据已知可得AB=AC=10，OA=8.利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，在数轴上表示即可．
【解答】
解：不等式组{x+1⩾0①x−1<0②,
由①得：x≥−1，
由②得：x<1，
∴不等式组的解集为−1≤x<1，
将解集在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
根据题意可知MN垂直平分BC，可得到DB=DC，然后得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：观察图象知：当x≥−1时，kx+b≥3，
故选：D．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，所以①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC；所以②正确；
∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，
∠ACF=∠FDA+∠CAD，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠BAF=∠ACF.所以③正确．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质可对①进行判断；根据角平分线的性质和三角形面积公式可对②进行判断；利用FA=FD得到∠FAD=∠FDA，加上∠BAD=∠CAD，所以∠BAF=∠ACF，从而可对③进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】16
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4cm，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=16，
则S1+S2=AC2+BC2=16(cm2)，
故答案为：16．
在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：根据题意得，a−1=0，b−3=0，
∴a=1，b=3，
①当a=1是腰时，三边分别为1、1、3，1+1<3，不能组成三角形．
②当b=3是腰时，三边分别为3、3、1，能组成三角形，
等腰三角形的周长为：3+3+1=7．
所以等腰三角形的周长7．
故答案为：7．
首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
13.【答案】6或3
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴设AB=AC，
∵△ABC是“倍长三角形”，且有一边为3；
①当AB=AC=3时，则底边为12AB=32，此时符合题意；
②当BC=3时，AB=AC=6，此时符合题意，
所以，若等腰△ABC是“倍长三角形”，且有一边为3，则腰AB的长为3或6，
故答案为：3或6．
分两种情况讨论：①当AB=AC=3时，则底边为12AB=32，此时符合题意；②当BC=3时，AB=AC=6，此时符合题意，从而可得到答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
14.【答案】−6
【解析】解：∵点A(a,2)与点B(4,b)关于原点对称，
∴a=−4，b=−2，
则a+b=−6．
故答案为：−6．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15.【答案】0
用①+②得：3x+3y=3k+3，
∴x+y=k+1，
∵1
16.【答案】40°
【解析】解：∵CC′//AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．
故答案为：40°．
旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
17.【答案】解：由①得：x≤1，
由②得：x<6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵正三角形△ABC，
∴AC=BC=AC，∠BAN=∠ACM=60°，
∵BM=CN，
∴CM=AN，
∵在△AMC和△BNA中，
CM=AN∠C=∠BANAB=AC，
∴△AMC≌△BNA(SAS)，
则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°，∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB=60°，
【解析】先证明△AMC≌△BNA，可得∠BNA=∠AMC，结合∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°，∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，从而可得结论．
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的证明△AMC≌△BNA是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人，
根据题意得：30x+7=31x−1，
解得x=8，
∴30x+7=30×8+7=247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)师生总数为247+8=255(人)，
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
由(2)知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w=400m+320(8−m)=80m+2560，
∵80>0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=3时，w取最小值，最小值为80×3+2560=2800(元)，
答：学校租车总费用最少是2800元．
【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7=31x−1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设学校租车总费用是w元，w=400m+320(8−m)=80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
20.【答案】解：(1)如图①，△ABC即为所求；
(2)如图②，△ABD即为所求；
(3)如图③，平行四边形AMBN即为所求．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，与格点交于点C，则C为等腰三角形的顶点，从而得出答案；
(2)取格点D，使AD= 2，BD=2 2，根据勾股定理逆定理可知△ABD是直角三角形，从而得出答案；
(3)平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，据此作图即可．
本题主要考查作图−旋转变换、勾股定理及其逆定理、中心对称图形等知识点，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、中心对称图形的概念、等腰直角三角形与平行四边形的性质等．
21.【答案】解(1)∵函数y=kx+b与函数y=3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1，
∴yC=3×1=3，
∴C(1,3)，
将点A(−2,6)与点C(1,3)代入y=kx+b得，−2k+b=6k+b=3，
解得：k=−1b=4，
∴y=−x+4；
(2)由图象可得，
当x<1时，函数y=kx+b的图象在函数y=3x的图象的上方，
∴kx+b>3x的解集是x<1；
(3)由勾股定理可得，OC= 12+32= 10，
当OC=OD时，
∵点D在x轴上，
∴点D的坐标为：D1(− 10,0)，D2( 10,0)；
当OC=CD时，直线x=1是OD的垂直平分线，
∴OD=2，
∴点D的坐标为：D3(2,0)；
综上所述点D的坐标为：D1(− 10,0)，D2( 10,0)，D3(2,0)．
【解析】(1)将点C的横坐标为1代入y=3x得到点C的坐标，再将点A(−2,6)与点C的坐标代入y=kx+b即可得到答案；
(2)根据图象找到一次函数图象在上方的部分即可得到答案；
(3)根据勾股定理求出OC，分OC=OD，OC=CD两类讨论即可得到答案．
本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题，利用函数图象解不等式，动点组成等腰三角形问题，求出点C的坐标及分类讨论是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；
(2)在△ACO和直角△A′C′O′中，∠C=∠C′∠AOC=∠A′OC′AC=A′C′，
∴△ACO≌△A′C′O，
∴OC=C′O，AO=A′O，
∴BC=B′C′，
在△ABC与△A′B′C′中AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
【解析】(1)把已知的条件用语言叙述是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边分别相等，结论是两个三角形全等，据此即可写出；
(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)(3,0)，180．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图，若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心Q的坐标为(3,0)，旋转角度为180°，
故答案为：(3,0)，180．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2；
(3)两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB=120°，
∴∠BDC=120°−60°=60°；
(2)①如图2，在BD上取一点E，AE=AD，
∵∠ABC=∠ADB=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°，
∴∠BAC=∠EAD=120°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB=180°−30°=150°，
∴∠BDC=150°−30°=120°；
②∠BDC的度数会变化，
理由如下：如图3.在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，
同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠E=30°，
∴∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60°．
【解析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE=∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；
(2)①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；
②在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC．
本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
2022-2023学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2
C. n−m>0 D. 1−2m<1−2n
2. 对于下列四个条件：①∠A+∠B=∠C；②a：b：c=3：4：5，③∠A=90°−∠B；④∠A=∠B=2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
3. 由图中所示的图案通过平移后得到的图案是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
5. 如图，A(8,0)，C(−2,0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( )
A. (0,5) B. (5,0) C. (6,0) D. (0,6)
6. 不等式组{x+1⩾0,x−1<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为( )
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
9. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为( )
A. x>−1 B. x<−1 C. x≥3 D. x≥−1
10. 如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF.给出下列结论：
①AF=DF；
②S△ABD：S△ACD=AB：AC；
③∠BAF=∠ACF．
其中正确的结论为( )
A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______cm2．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足 a−1+|b−3|=0，则此等腰三角形的周长为______ ．
13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰△ABC的腰为______ ．
14. 已知点A(a,2)与点B(4,b)关于原点对称，则a+b的值等于______．
15. 若关于x、y的方程组2x+y=4k+3x+2y=−k满足1
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1>x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
18. (本小题8.0分)
如图，点M，N分别在正三角形△ABC的BC，CA边上以相同的速度运动(不会与顶点重合)，AM，BN交于点Q.问：∠AQN的大小会改变吗？如果不变，值为多少？如果变化，会怎么变化.请说明理由．
19. (本小题8.0分)
为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
20. (本小题10.0分)
图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1.线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．
(1)在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
(2)在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
(3)在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点．
21. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式．
(2)请直接写出不等式kx+b>3x的解集．
(3)若在x轴上存在一点D，且△OCD是以OC为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标．
22. (本小题10.0分)
已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
(1)请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
(2)如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起(即：点A与点B′重合，点B与点A′重合)，BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．
23. (本小题10.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______°.
24. (本小题10.0分)
已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°.小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD.通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、m−2>n−2，∴不符合题意；
B、−12m<−12n，∴不符合题意；
C、m−n>0，∴不符合题意；
D、∵m>n，
∴−2m<−2n，
∴1−2m<1−2n，∴符合题意；
故选：D．
A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以−12，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以−2，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c=3：4：5，
设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=2∠C=72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
①∠A+∠B=∠C，推出∠C=90°，得到△ABC是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出△ABC是直角三角形；③∠A=90°−∠B，推出∠C=90°，得到△ABC是直角三角形；④∠A=∠B=2∠C，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可．
本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到．A，C，D都不符合题意；
故选：B．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
此题考查了平移变换，正确理解平移的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∠AOB=15°，
∴∠AOA′=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∵∠AOA′=∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′=∠AOA′−∠A′OB′=30°．
故选：B．
根据旋转的性质得∠AOA′=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，根据图形可得∠AOB′=∠AOA′−∠A′OB′．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据已知可得：AB=AC=10，OA=8．
在Rt△ABO中，OB= AB2−OA2=6．
∴B(0,6)．
故选：D．
根据已知可得AB=AC=10，OA=8.利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，在数轴上表示即可．
【解答】
解：不等式组{x+1⩾0①x−1<0②,
由①得：x≥−1，
由②得：x<1，
∴不等式组的解集为−1≤x<1，
将解集在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
根据题意可知MN垂直平分BC，可得到DB=DC，然后得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：观察图象知：当x≥−1时，kx+b≥3，
故选：D．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，所以①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC；所以②正确；
∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，
∠ACF=∠FDA+∠CAD，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠BAF=∠ACF.所以③正确．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质可对①进行判断；根据角平分线的性质和三角形面积公式可对②进行判断；利用FA=FD得到∠FAD=∠FDA，加上∠BAD=∠CAD，所以∠BAF=∠ACF，从而可对③进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】16
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4cm，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=16，
则S1+S2=AC2+BC2=16(cm2)，
故答案为：16．
在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：根据题意得，a−1=0，b−3=0，
∴a=1，b=3，
①当a=1是腰时，三边分别为1、1、3，1+1<3，不能组成三角形．
②当b=3是腰时，三边分别为3、3、1，能组成三角形，
等腰三角形的周长为：3+3+1=7．
所以等腰三角形的周长7．
故答案为：7．
首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
13.【答案】6或3
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴设AB=AC，
∵△ABC是“倍长三角形”，且有一边为3；
①当AB=AC=3时，则底边为12AB=32，此时符合题意；
②当BC=3时，AB=AC=6，此时符合题意，
所以，若等腰△ABC是“倍长三角形”，且有一边为3，则腰AB的长为3或6，
故答案为：3或6．
分两种情况讨论：①当AB=AC=3时，则底边为12AB=32，此时符合题意；②当BC=3时，AB=AC=6，此时符合题意，从而可得到答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
14.【答案】−6
【解析】解：∵点A(a,2)与点B(4,b)关于原点对称，
∴a=−4，b=−2，
则a+b=−6．
故答案为：−6．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15.【答案】0
用①+②得：3x+3y=3k+3，
∴x+y=k+1，
∵1
16.【答案】40°
【解析】解：∵CC′//AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．
故答案为：40°．
旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
17.【答案】解：由①得：x≤1，
由②得：x<6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵正三角形△ABC，
∴AC=BC=AC，∠BAN=∠ACM=60°，
∵BM=CN，
∴CM=AN，
∵在△AMC和△BNA中，
CM=AN∠C=∠BANAB=AC，
∴△AMC≌△BNA(SAS)，
则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°，∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB=60°，
【解析】先证明△AMC≌△BNA，可得∠BNA=∠AMC，结合∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°，∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，从而可得结论．
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的证明△AMC≌△BNA是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人，
根据题意得：30x+7=31x−1，
解得x=8，
∴30x+7=30×8+7=247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)师生总数为247+8=255(人)，
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
由(2)知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w=400m+320(8−m)=80m+2560，
∵80>0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=3时，w取最小值，最小值为80×3+2560=2800(元)，
答：学校租车总费用最少是2800元．
【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7=31x−1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设学校租车总费用是w元，w=400m+320(8−m)=80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
20.【答案】解：(1)如图①，△ABC即为所求；
(2)如图②，△ABD即为所求；
(3)如图③，平行四边形AMBN即为所求．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，与格点交于点C，则C为等腰三角形的顶点，从而得出答案；
(2)取格点D，使AD= 2，BD=2 2，根据勾股定理逆定理可知△ABD是直角三角形，从而得出答案；
(3)平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，据此作图即可．
本题主要考查作图−旋转变换、勾股定理及其逆定理、中心对称图形等知识点，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、中心对称图形的概念、等腰直角三角形与平行四边形的性质等．
21.【答案】解(1)∵函数y=kx+b与函数y=3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1，
∴yC=3×1=3，
∴C(1,3)，
将点A(−2,6)与点C(1,3)代入y=kx+b得，−2k+b=6k+b=3，
解得：k=−1b=4，
∴y=−x+4；
(2)由图象可得，
当x<1时，函数y=kx+b的图象在函数y=3x的图象的上方，
∴kx+b>3x的解集是x<1；
(3)由勾股定理可得，OC= 12+32= 10，
当OC=OD时，
∵点D在x轴上，
∴点D的坐标为：D1(− 10,0)，D2( 10,0)；
当OC=CD时，直线x=1是OD的垂直平分线，
∴OD=2，
∴点D的坐标为：D3(2,0)；
综上所述点D的坐标为：D1(− 10,0)，D2( 10,0)，D3(2,0)．
【解析】(1)将点C的横坐标为1代入y=3x得到点C的坐标，再将点A(−2,6)与点C的坐标代入y=kx+b即可得到答案；
(2)根据图象找到一次函数图象在上方的部分即可得到答案；
(3)根据勾股定理求出OC，分OC=OD，OC=CD两类讨论即可得到答案．
本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题，利用函数图象解不等式，动点组成等腰三角形问题，求出点C的坐标及分类讨论是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；
(2)在△ACO和直角△A′C′O′中，∠C=∠C′∠AOC=∠A′OC′AC=A′C′，
∴△ACO≌△A′C′O，
∴OC=C′O，AO=A′O，
∴BC=B′C′，
在△ABC与△A′B′C′中AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
【解析】(1)把已知的条件用语言叙述是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边分别相等，结论是两个三角形全等，据此即可写出；
(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)(3,0)，180．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图，若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心Q的坐标为(3,0)，旋转角度为180°，
故答案为：(3,0)，180．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2；
(3)两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB=120°，
∴∠BDC=120°−60°=60°；
(2)①如图2，在BD上取一点E，AE=AD，
∵∠ABC=∠ADB=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°，
∴∠BAC=∠EAD=120°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB=180°−30°=150°，
∴∠BDC=150°−30°=120°；
②∠BDC的度数会变化，
理由如下：如图3.在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，
同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠E=30°，
∴∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60°．
【解析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE=∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；
(2)①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；
②在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC．
本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
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