高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课堂检测

事件的相互独立性

　【基础全面练】　(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)

A．互斥事件    B．相互独立事件

C．对立事件    D．不相互独立的事件

【解析】选D.因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．

　　　【加固训练】

 (多选题)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”

D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

【解析】选AC.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1，3，5点，P(A)＝，P(B)＝，事件AB为出现3点，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件．

2．某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为(　　)

A．0.5    B．0.48    C．0.4    D．0.32

【解析】选B.设事件A＝“第一次投进球”，B＝“第二次投进球”，则得2分的概率P＝P(A)＋P(B)＝0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4＝0.48.

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.

4.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F中至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.

答案：

6．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是________．

【解析】设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.

答案：0.75

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩．

【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．

由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．

从而事件A与B是相互独立的．

8．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

(1)第3次拨号才接通电话；

(2)拨号不超过3次而接通电话．

【解析】设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.

(1)第3次才接通电话可表示为12A3，

于是所求概率为P(12A3)＝××＝；

(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋1A2＋12A3，由于事件A1，1A2，12A3两两互斥，于是所求概率为P(A1＋1A2＋12A3)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)＝＋×＋××＝.

　【综合突破练】　(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去).

2．(多选题)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中(　　)

A．都抽到某一指定号码的概率为0.05

B．都没有抽到某一指定号码的概率为0.95

C．恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095

D．至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975

【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P( )＝P()P()＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)U(B)表示．由于事件A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋ P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)U(A )U( B)表示．由于事件AB，A 和 B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A )＋P( B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．

【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，

故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)

＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.

答案：0.46

4．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB )＝，则P(B)＝________，P( B)＝________．

【解析】因为P(AB )＝P(AB)P()＝P()＝，所以P()＝，即P(C)＝.

又P( C)＝P()·P(C)＝，所以P()＝，P(B)＝.

又P(AB)＝，则P(A)＝，

所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.

(1)求一个试验组为甲类组的概率；

(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．

【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.据题意有：P(A0)＝×＝，P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.

所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.

(2)所求概率P′＝1－＝.

6．如图所示，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作；系统N1，N2正常工作的概率分别为P1，P2.

(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求P1，P2；

(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是P(0<P<1)，求P1，P2，并比较P1，P2的大小关系．

【解析】(1)设A＝“元件A正常工作”，B＝“元件B正常工作”，C＝“元件C正常工作”，则A，B，C相互独立．P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，故P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24，

P2＝P(A)[1－P( )]＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.

(2)P(A)＝P(B)＝P(C)＝P，

P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝P3，

P2＝P(A)[1－P( )]＝P[1－(1－P)2]，

P1－P2＝P3－P[1－(1－P)2]＝2P3－2P2

＝2P2(P－1)，

又0<P<1，故P1－P2<0，即P1<P2.