高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率同步训练题，共6页。

一、选择题(每小题5分，共15分)
1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A． eq \f(7,15) B． eq \f(2,5) C． eq \f(11,15) D． eq \f(13,15)
【解析】选C.由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 eq \f(3 300,4 500) ＝ eq \f(11,15) .
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 eq \f(11,15) .
2．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A.222石 B．224石 C．230石 D．232石
【解析】选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为 eq \f(30,270) ＝ eq \f(1,9) ，所以2 018石米中夹谷约为2 018× eq \f(1,9) ≈224(石).
3．(多选题)2021年初，某市教研室对某畅销书进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
则下列说法正确的是( )
A.第5次调查读者满意的频率最高
B.第1，2，3次调查读者满意的频率各不相等
C.读者对此畅销书满意的概率约为99.8%
D.5次调查该市读者对此畅销书满意频率均高于0.99
【解析】选CD.计算表中1至5次调查读者满意的频率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，0.997，故AB不正确，D正确；
在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对此教辅资料满意的概率约是P(A)＝0.998”，用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
二、填空题(每小题5分，共10分)
4．在一次掷硬币试验中，掷30 000次，其中有14 984次正面朝上，则出现正面朝上的频率近似是________，据此，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．
【解析】设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30 000，nA＝14 984，Pn(A)＝ eq \f(14 984,30 000) ≈0.499，
因为当实验数据越多频率就越接近概率，
所以P(A)＝0.5.
答案：0.499 0.5
5．某中学要在高一年级二班、三班、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚点数和是几，就选几班，按照这个规则，当选概率最大的是________班．
【解析】掷两枚硬币，所有可能的结果为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
其点数和分别为4，3，3，2，所以选二班和选四班的概率都是 eq \f(1,4) ，选三班的概率为 eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) .
故选三班的概率最大．
答案：三
三、解答题
6．(15分)历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如表所示：
(1)在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
(2)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？
(3)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
(4)在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？
【解析】(1)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动．
(2)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ eq \f(nA,n) 为事件A出现的频率．
(3)事件A发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动．
(4)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
【综合突破练】 (15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(5,6)
【解析】选C.共有6种发车顺序：①上、中、下；
②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为 eq \f(3,6) ＝ eq \f(1,2) .
2．(多选题)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，则( )
A.成绩在区间[90，100]上的人数为5人
B.抽查学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75%
D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)为 eq \f(1,30)
【解析】选BC.依题意，成绩在区间[90，100]上的人数为60×0.005×10＝3(人)；平均成绩为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)；60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以，这次考试的及格率约为75%；成绩在[70，100]的人数是36.所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，选到第一名学生的概率P＝ eq \f(1,36) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是________，若用户需要该批可发芽的稻谷种子100 000粒，需采购该批稻谷种子________千克(每千克约35 000粒).(结果取整数)
【解析】“种子发芽”这个事件发生的频率为 eq \f(1 962,2 000) ＝0.981；若用户需要该批可发芽的稻谷种子100 000粒，则需采购该批稻谷种子100 000× eq \f(1,0.981) (粒)，
故需要购买该批稻谷种子100 000× eq \f(1,0.981) ÷35 000≈3(千克).
答案：0.981 3
【加固训练】
商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
【解析】因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为 eq \f(6,40) ＝0.15， eq \f(7,40) ＝0.175， eq \f(9,40) ＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
答案：60
4．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
若我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________．
【解析】因为掷硬币出现正面向上的概率为 eq \f(1,2) ，我们期望大约有150人回答第一个问题．又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂．因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
答案：3.33%
三、解答题
5．(10分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 eq \f(60＋50,200) ＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1
且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 eq \f(30＋30,200) ＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
【加固训练】
为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
【解析】设水库中鱼的尾数是n(n∈N＋)，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{捕到带记号的鱼}，则P(A)＝ eq \f(2 000,n) .
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈ eq \f(40,500) ，即 eq \f(2 000,n) ≈ eq \f(40,500) ，解得n≈25 000.
所以估计水库中的鱼有25 000尾．
满意状况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
调查序号
1
2
3
4
5
被调查人数n
1 001
1 000
1 004
1 003
1 000
满意人数m
999
998
1 002
1 002
997
抛掷次数
正面向上的次数
正面向上的比例
2 048
1 061
0.518 1
4 040
2 048
0.506 9
12 000
6 019
0.501 6
24 000
12 012
0.500 5
30 000
14 984
0.499 5
72 088
36 124
0.501 1
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05