苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数课堂检测

两角和与差的正切

两角和与差的正切公式

1．设角θ的终边过点(2，3)，则tan ＝(　　)

A．    B．－    C．5    D．－5

【解析】选A.由于角θ的终边过点(2，3)，因此tan θ＝，故tan ＝＝＝.

2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于(　　)

A．    B．1    C．    D．

【解析】选B.原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝

tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.

3．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)

A．2    B．1    C．    D．4

【解析】选C.因为tan (α＋β)＝＝4且tan α＋tan β＝2，所以＝4，解得tan αtan β＝.

4．求值：tan ＝________．

【解析】tan ＝－tan ＝－tan ＝－＝－＝－2＋.

答案：－2＋

5．已知tan α＝2，则tan ＝________．

【解析】tan ＝＝＝－3.

答案：－3

6.＝________．

【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.

答案：

7．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan 的值．

【解析】因为α＋＝(α＋β)－，

所以tan ＝tan

＝＝＝.

一、单选题

1．已知cos α＝－，且α∈，则tan 等于(　　)

A．－    B．－7    C．    D．7

【解析】选D.因为cos α＝－，且α∈，

所以sin α＝，

所以tan α＝＝－，

所以tan ＝＝7.

2．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.tan (α＋β)＝＝＝1，

又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

3.的值等于(　　)

A．－1    B．1    C．    D．－

【解析】选D.因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，

所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.

所以原式＝＝－.

二、填空题

4．若tan ＝3，则tan α的值为________．

【解析】tan α＝tan

＝＝

＝

＝＝.

答案：

5．tan  72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________．

【解析】原式＝tan (72°－42°)(1＋tan 72°·tan 42°)－tan 72°tan 42°

＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝.

答案：

三、解答题

6．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．

【解析】因为α＝(α－β)＋β，tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，

所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝.

又2α－β＝α＋(α－β)，

所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1.

而tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(－π，0)，

则α∈，β∈，

所以α－β∈(－π，0)，

而tan (α－β)＝>0，则α－β∈，

结合α∈，则有2α－β∈(－2π，－π)，

所以2α－β＝－.

一、选择题

1．已知tan ＝，则tan α＝(　　)

A．    B．－    C．5    D．－5

【解析】选B.因为tan ＝

＝＝，所以tan α＝－.

【加固训练】

若＝，则tan ＝(　　)

A．－2　　　B．2　　　C．－　　　D．

【解析】选C.因为＝，

所以＝，所以tan α＝－3.

所以tan ＝

＝＝－.

2．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)

A．1　　　B．　　　C．1或　　　D．1或10

【解析】选C.因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝1，

tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ，1＝1－lg (10a)lg ，所以lg (10a)lg ＝0，lg (10a)＝0或lg ＝0.得a＝或a＝1.

3．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)

A．－       B．－

C．－       D．－2

【解析】选C.因为α，β为锐角，

所以α＋β∈(0，π).

又因为cos (α＋β)＝－，

所以sin (α＋β)＝ ＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝ －，

因此，tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]

＝＝－.

【加固训练】

1.计算等于(　　)

A．　　　B．　　　C．1　　　D．

【解析】选A. ＝

＝tan 30°＝.

2.＝________．

【解析】＝

＝＝tan (15°－45°)

＝tan (－30°)＝－.

答案：－

4．(多选)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则(　　)

A．tan α＋tan β＝3     B．tan (α＋β)＝

C．tan α·tan β＝4      D．α＋β＝－

【解析】选BCD.由根与系数的关系得：

tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，

所以tan α<0，tan β<0，

所以tan (α＋β)＝＝＝，

又－<α<，－<β<，

且tan α<0，tan β<0，

所以－π<α＋β<0，

所以α＋β＝－.

二、填空题

5.＝________．

【解析】原式＝

＝＝tan 15°

＝tan (45°－30°)＝＝2－.

答案：2－

6．(1)tan (－75°)＝________；

(2)＝________．

【解析】(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)

＝

＝＝＝＝2＋，

所以tan (－75°)＝－tan 75°＝－2－.

(2)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－.

答案：(1)－2－　(2)－

三、解答题

7．已知△ABC中tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．

【解析】由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)

＝＝＝－.

而0°＜A＜180°，所以A＝120°.

由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝，

而0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.

所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

(60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．已知tan α＝2，则sin sin ＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选B.sin sin ＝·

＝＝×＝×＝×＝.

2．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，则sin α的值为(　　)

A．      B．

C．       D．

【解析】选D.因为锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，

所以2＋y2＝1，y＝或－(舍去)，P，

则sin ＝，cos ＝－，

故sin α＝sin ＝sin cos －

cos sin ＝×－×＝.

3．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值为(　　)

A．    B．    C．－    D．－

【解析】选C.因为cos ＋sin α＝cos α＋ sin α＝，

所以cos α＋sin α＝.

所以sin ＝－sin

＝－＝－.

4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　　)

A．－    B．　    C．－    D．

【解析】选D.因为A＝，所以cos A＝sin A＝，

又cos B＝，0＜B＜，所以sin B＝，又C＝π－(A＋B)，

所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.

5．已知函数f(x)＝cos 2x·cos φ－sin (2x＋π)·sin φ在x＝处取得最小值，则函数f的一个单调递减区间为(　　)

A．      B．

C．      D．

【解析】选D.因为f(x)＝cos 2x·cos φ－sin ·sin φ＝

cos 2x·cos φ＋sin 2x·sin φ＝cos ，

且f在x＝处有最小值，

所以f＝cos ＝－1，

所以－φ＝2kπ＋π，k∈Z，

所以φ＝－－2kπ，k∈Z，取φ的一个值为－

所以f＝cos ，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，

所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，

所以此时单调递减区间为.

6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)

A．钝角三角形      B．锐角三角形

C．直角三角形      D．无法确定

【解析】选A.因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan  B＝，tan A tan B＝，

所以tan (A＋B)＝＝ ，

所以0<A＋B<，得<C<π，

所以△ABC是钝角三角形．

7．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)

A．3π和    B．3π和2

C．6π和    D．6π和2

【解析】选C.由f(x)＝sin ＋cos

可得f(x)＝sin ，故周期为T＝＝＝6π，最大值为.

8．(多选)(2021·潍坊高一检测)若tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0 的两个不相等的正根，则下列结论正确的是(　　)

A．tan x1＋tan x2＝－k      B．tan (x1＋x2)＝－k

C．k>2         D．k>2或k<－2

【解析】选BC.因为tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0的两个不相等的正根，

所以tan x1＋tan x2＝k，tan x1·tan x2＝2，

所以tan (x1＋x2)＝＝－k，

所以tan x1＋tan x2≥2＝2，

因为tan x1≠tan x2，所以k>2.

9．(多选)下列式子中叙述正确的为(　　)

A．tan ＝

B．存在α、β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β

C．存在α、β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β

D．对任意α、β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β

【解析】选ABC.tan ＝，A正确．

存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确．

存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确．对任意α、β，tan (α＋β)＝，D不正确．

二、填空题(每小题5分，共15分)

10．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．

【解析】＝＝－7.

因为tan (α－β)＝＝－1，

又0°<α<90°，90°<β<180°，

所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.

答案：－7　－45°

11．已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，cos ＝，且β∈，则sin β＝________．

【解析】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，

所以sin α＝，cos α＝，又<，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，

因为β∈，所以2kπ<α＋β<2kπ＋，k∈Z，

因为cos ＝，所以sin ＝，

所以sin β＝sin ＝sin cos α－

cos sin α＝×－×＝.

答案：

12．(2021·杭州高一检测)函数f＝2－的最小正周期为________，f的值域为________．

【解析】首先由f＝2|sin x|－|cos x|两项的系数特征知，周期是π的正整数倍，而f(x＋π)＝2|sin (x＋π)|－|cos (x＋π)|＝2|sin x|－|cos x|＝f(x)，故最小正周期是π；

最小正周期是π，故只研究x∈的值域即可．

当x∈时，f＝2sin x－cos x＝

sin ，，

则x－φ∈⊆，f(x)递增，故x－φ＝－φ时，

f(x)min＝sin ＝－×＝－1，

当x－φ＝－φ时，f(x)max＝sin ＝×＝2，即值域为；

当x∈时，f＝2sin x＋cos x＝sin ，

，

则x＋φ∈⊆，f(x)递减，故值域为，即，

综上，f(x)值域为.

答案：π　

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.

【解析】因为0<α<，－<β<0，

且sin α＝，cos β＝，

故cos α＝＝＝，

sinβ＝－＝－＝－，

由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，

故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

又cos (α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

(1)求tan (α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)，进而得到α＋2β的值．

【解析】由条件得cos α＝，cos β＝，

因为α，β为锐角，

所以sin α＝，sin β＝，

所以tan α＝7，tan β＝.

(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.

(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]

＝＝＝－1，

因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.

15．已知函数f＝2sin cos ＋2sin x cos x.

(1)求f单调递增区间；

(2)若f＝，且α∈，求sin α的值．

【解析】(1)f＝sin ＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

得kπ－≤x≤kπ＋，

则函数单调递增区间为.

(2)由f＝得2sin ＝，

即sin ＝，

由α∈，α＋∈，

可得cos ＝－，

则sin α＝sin ＝sin cos －

cos sin ，

所以sin α＝×＋×＝.

16．如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.

(1)试用α表示该步行道MN的长度；

(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．

【解析】(1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，

因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.

在Rt△CMT中，因为CT＝10，

所以MT＝10tan α，

在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，

所以NT＝10tan (－α)，

所以MN＝10tan α＋10tan ，其中0<α<.

(2)因为0<α<，

所以0<tan α<，MN＝10tan α＋10tan ＝10，

令1＋tan α＝t，其中1<t<4，

则MN＝10＝

10＝≥，

当且仅当t＝时

即t＝2，α＝时MN的最小值为，

故当α＝时步行道的长度有最小值.