【解析版】2022年万州区道生中学九年级上期中数学试卷

2022学年重庆市万州区道生中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）

1．根式中x的取值范围是(     )

 A．x≥ B．x≤ C．x＜ D．x＞

2．下列说法：①全等三角形一定是相似三角形；②相似三角形一定不是全等三角形；③边数相同的两个正多边形相似；④边数相同，对应角分别相等的两个多边形相似．其中，正确命题的个数为(     )

 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．方程x2﹣3=0的根是(     )

 A．x=3 B．x1=3，x2=﹣3 C． D．

4．下列计算正确的是(     )

 A．+= B．﹣=0 C．•=9 D．

5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是(     )

 A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7

6．下列命题中真命题的个数是(     )

①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方；

②两个相似三角形对应高的比等于相似比；

③已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．

 A．0 B．1 C．2 D．3

7．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是(     )

 A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根

 C．无实数根 D．无法确定

8．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(     )

 A．AB∥DC B．AB=DC C．AC⊥BD D．AC=BD

9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是(     )

 A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）

10．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是(     )

 A．（﹣3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣2，4） D．（1，4）

11．如果两个相似三角形对应高的比为3：5，面积之比为2：x，那么x的算术平方根为(     )

 A． B． C． D．

12．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出(     )

 A．6条 B．3条 C．4条 D．5条

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．计算：=__________．

14．化简：=__________．

15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有实数根，则m的取值范围是__________．

16．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：__________，使△ABC∽△ADE．

17．方程的解为__________．

18．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=__________．

三、解答题（共7小题，满分78分）

19．计算：

（1）；

（2）﹣22×．

20．解方程：

（1）2（x﹣3）2=5（3﹣x）

（2）2x2+1=3x（用配方法）

21．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．

22．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

23．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：EF∥BC；

（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

24．某市政府为落实“保障性住房政策”，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．

（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；

（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．

25．（14分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

2022学年重庆市万州区道生中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）

1．根式中x的取值范围是(     )

 A．x≥ B．x≤ C．x＜ D．x＞

考点：二次根式有意义的条件．

专题：计算题．

分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．

解答： 解：根据题意，得

x﹣≥0，

解得，x≥；

故选：A．

点评：本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2．下列说法：①全等三角形一定是相似三角形；②相似三角形一定不是全等三角形；③边数相同的两个正多边形相似；④边数相同，对应角分别相等的两个多边形相似．其中，正确命题的个数为(     )

 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

考点：相似多边形的性质；命题与定理．

分析：根据全等三角形的定义：全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同；相似三角形的定义：相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相等；相似多边形的定义：相似多边形就是形状相同的多边形，根据这些定义解答即可．

解答： 解：①、全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同，因而全等三角形是特殊的相似三角形，故正确；

②、相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相同，相似三角形不一定是全等三角形，故本选项错误；

③、边数相同的两个正多边形，形状一定相同，一定相似，故正确；

④、边数相同，对应角分别相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．

故正确的命题是：①③共2个．

故选C．

点评：本题主要考查了全等三角形的定义，相似三角形的定义，相似多边形的定义，学会运用这些定义来判断命题的正误．

3．方程x2﹣3=0的根是(     )

 A．x=3 B．x1=3，x2=﹣3 C． D．

考点：解一元二次方程-直接开平方法．

分析：这个式子先移项，变成x2=3，从而把问题转化为3的平方根．

解答： 解：移项得x2=3，

∴x=±．

故选D．

点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

4．下列计算正确的是(     )

 A．+= B．﹣=0 C．•=9 D．

考点：实数的运算．

分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；

B、根据合并二次根式的法则即可判定；

C、根据二次根式的乘法法则即可判定；

D、根据二次根式的性质计算即可判定．

解答： 解：A、+=2，故选项错误；

B、﹣=0，故选项正确；

C、•=3，故选项错误；

D、=3，故选项错误．

故选：B．

点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是(     )

 A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7

考点：解一元二次方程-配方法．

专题：计算题．

分析：利用配方法解已知方程时，首先将﹣3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子．

解答： 解：x2﹣2x﹣3=0，

移项得：x2﹣2x=3，

两边都加上1得：x2﹣2x+1=3+1，

即（x﹣1）2=4，

则用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（x﹣1）2=4．

故选：B

点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．

6．下列命题中真命题的个数是(     )

①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方；

②两个相似三角形对应高的比等于相似比；

③已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．

 A．0 B．1 C．2 D．3

考点：命题与定理．

分析：分别利用相似三角形的性质结合位似图形的性质得出即可．

解答： 解：①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，正确；

②两个相似三角形对应高的比等于相似比，正确；

③已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作2个三角形，使位似比为0.5，故此选项错误．

故正确的有2个．

故选：C．

点评：此题主要考查了命题与定理，正确利用相似三角形的性质得出是解题关键．

7．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是(     )

 A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根

 C．无实数根 D．无法确定

考点：根的判别式．

专题：计算题．

分析：先计算△=b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况．

解答： 解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，

∴原方程有两个相等的实数根．

故选B．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

8．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(     )

 A．AB∥DC B．AB=DC C．AC⊥BD D．AC=BD

考点：菱形的判定；三角形中位线定理．

分析：连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC；HG∥AC，HG=AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．

解答： 解：连AC，BD，如图，

∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，

∴EF∥AC，EF=AC；HG∥AC，HG=AC，

∴四边形EFGH为平行四边形，

要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，

而EH=AC，

∴AC=BD．

当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；

当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；

当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．

故选D．

点评：本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．

9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是(     )

 A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）

考点：位似变换；坐标与图形性质．

分析：根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以﹣2，即可得出点A′的坐标．

解答： 解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，

故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），

故选：C．

点评：此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或﹣k是解题关键．

10．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是(     )

 A．（﹣3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣2，4） D．（1，4）

考点：坐标与图形变化-旋转．

专题：压轴题．

分析：根据题意画出图形，确定对应点的坐标．

解答： 解：△A′B′C的位置如图．

A′（﹣3，3）．

故选：A．

点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．

11．如果两个相似三角形对应高的比为3：5，面积之比为2：x，那么x的算术平方根为(     )

 A． B． C． D．

考点：相似三角形的性质．

分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可．

解答： 解：∵两个相似三角形对应高的比为3：5，

∴两个相似三角形的相似比为3：5，

∴两个相似三角形面积比为9：25，

∴2：x=9：25，

解得，x=，

∴x的算术平方根为，

故选：A．

点评：本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

12．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出(     )

 A．6条 B．3条 C．4条 D．5条

考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．

专题：常规题型；分类讨论．

分析：△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．

解答： 解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，

当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．

同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，

所以共有四条．

故选C．

点评：本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．计算：=．

考点：二次根式的加减法．

专题：计算题．

分析：先化简=2，再合并同类二次根式即可．

解答： 解：=2﹣=．

故答案为：．

点评：本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．

14．化简：=．

考点：分母有理化．

专题：计算题．

分析：根据最简二次根式的方法求解即可．

解答： 解：==，故填．

点评：本题主要考查了二次根式的化简方法．

15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤．

考点：根的判别式．

分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．

解答： 解：一元二次方程x2﹣3x+m=0有实数根，

△=b2﹣4ac=9﹣4m≥0，

解得m．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

16．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：∠D=∠B（答案不唯一），使△ABC∽△ADE．

考点：相似三角形的判定．

专题：开放型．

分析：根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．

解答： 解：∵∠DAB=∠CAE

∴∠DAE=∠BAC

∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．

故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．

点评：此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

17．方程的解为x=﹣4．

考点：解分式方程．

专题：计算题．

分析：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，才能确定最简公分母．由x2﹣1=（x+1）（x﹣1），本题的最简公分母是3（x+1）（x﹣1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．

解答： 解：方程两边都乘3（x+1）（x﹣1），得

2×3﹣3（x+1）=（x+1）（x﹣1），

解得x=﹣4或1．

检验：当x=1时，3（x+1）（x﹣1）=0．

∴x=1不是原方程的解．

当x=﹣4时，3（x+1）（x﹣1）≠0．

∴x=﹣4是原方程的解．

点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．

（3）当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，才能确定最简公分母．

18．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．

考点：根与系数的关系．

专题：新定义．

分析：根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x1*x2的值则可．

解答： 解：在x2+x﹣1=0中，

a=1，b=1，c=﹣1，

∴b2﹣4ac=5＞0，

所以x1=，x2=或x1=，x2=，

∴x1*x2=*=，

故答案为．

点评：本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种情况．

三、解答题（共7小题，满分78分）

19．计算：

（1）；

（2）﹣22×．

考点：二次根式的混合运算．

专题：计算题．

分析：（1）利用二次根式的乘除法则运算；

（2）先进行二次根式的乘法运算和分母有理化，然后合并即可．

解答： 解：（1）原式=

=5；

（2）原式=﹣4×2+9﹣12﹣（﹣1）

=﹣8+9﹣12﹣+1

=﹣11．

点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

20．解方程：

（1）2（x﹣3）2=5（3﹣x）

（2）2x2+1=3x（用配方法）

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

专题：计算题．

分析：（1）先移项得到2（x﹣3）2+5（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程；

（2）先把方程变形得到x2﹣x=﹣，再利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程．

解答： 解：（1）2（x﹣3）2+5（x﹣3）=0，

（x﹣3）（2x﹣6+5）=0，

x﹣3=0或2x﹣6+5=0，

所以x1=3，x2=；

（2）方程变形为x2﹣x=﹣，

x2﹣x+=﹣+，

（x﹣）2=，

x﹣=±，

所以x1=1，x2=．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．

21．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．

考点：相似三角形的判定．

分析：根据三角形的外角性质求出∠AFM=∠BMG，再根据相似三角形的判定推出即可．

解答： 答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，

证明：∵∠DME=∠A=∠B，

∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，

∴△AMF∽△BGM．

点评：本题考查了相似三角形的判定和三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，用到的知识点是有两角相等的两个三角形相似，难度适中．

22．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

考点：一元二次方程的应用．

分析：根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，进而得出即可．

解答： 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，

所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：

x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，

解得：x1=220，x2=80．

当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，

∴x=220（不合题意，舍去）；

当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，

∴x=80．

答：该校共购买了80棵树苗．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键．

23．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：EF∥BC；

（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．

专题：几何综合题．

分析：（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；

（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．

解答： （1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，

∴F为AD的中点，

∵点E是AB的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴EF∥BC；

（2）解：∵EF为△ABD的中位线，

∴，EF∥BD，

∴△AEF∽△ABD，

∴S△AEF：S△ABD=1：4，

∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，

∵四边形BDFE的面积为6，

∴S△AEF=2，

∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．

24．某市政府为落实“保障性住房政策”，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．

（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；

（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．

考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系．

专题：增长率问题．

分析：（1）等量关系为：2011年某市用于保障房建设资金×（1+增长率）2=2013年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．

（2）利用上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可．

解答： 解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，

根据题意得：

3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5

（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5，

又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12

m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12

m（9+1）﹣4m2•（﹣0.5）=12

∴m2+5m﹣6=0

解得，m=﹣6或m=1．

点评：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

25．（14分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）要证△ABM和△MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．

（2）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．

（3）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即，根据（1）的相似三角形可得出，因此BM=MC，M是BC的中点．即x=2．

解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，

∵AM⊥MN，

∴∠AMN=90°，

∴∠CMN+∠AMB=90°．

在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，

∴∠CMN=∠MAB，

∴Rt△ABM∽Rt△MCN．

（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，

∴，即，

∴，

∴y=S梯形ABCN=（+4）•4

=﹣x2+2x+8

=﹣（x﹣2）2+10，

∴当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10．

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，

∴要使△ABM∽△AMN，必须有，

由（1）知，

∴=，

∴BM=MC，

∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．