2022-2023学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业

3.  已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，则与轴正方向所夹锐角的正弦值是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列事件中是必然事件的是(    )

A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

7.  估计的值应在之间．(    )

A. 到 B. 到 C. 到 D. 到

8.  如图，将沿射线方向平移一定的距离，平移后的三角形记为，边刚好经过边的中点，已知的面积为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某公司今年月的营业额为万元，按计划月的营业额要达到万元，设该公司，两月的营业额的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  直角三角形纸片，两直角边，，现将纸片按如图那样折叠，使与点重合，折痕为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知关于的两个多项式，，其中为常数，下列说法：
若的值始终与无关，则；
关于的方程始终有两个不相等的实数根；
若的结果不含的项，则；
当时，若的值为整数，则的整数值只有个．
以上结论正确的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  有大小、形状、颜色完全相同的个乒乓球每个球上标记一个数字，这四个数字分别为、、、将这个球放入不透明的袋中搅匀，一次性从中随机取出两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______ ．

15.  如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，，且对角线与交于点，则的长为______ ．

16.  某学校七年级举行了“学宪法讲宪法”知识竞赛活动，七年级班、班各评出了一、二、三等奖的奖品分别是价值元、元、元的笔记本已知两个班评出的一等奖都是名，各班二、三等奖的名额都多于名但是少于名，其中班二等奖的人数比班二等奖的人数多，三等奖的人数比班三等奖的人数少班购买奖品花了元，班购买奖品花了元，则这两个班获奖的人数一共有______ 名

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解答下列问题：
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
如图，在中，，平分交于点．
作的垂直平分线，分别交，，于点，，连接，要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹
求证：完成以下证明过程
证明：，，
______ ，，
平分，
．
在和中，

≌．
______ ，．

19.  本小题分
年月中旬，为了加强疫情防控，万州区中小学校积极组织线上教学活动，全面落实五育并举，引导学生自主学习，实现疫情防控期间学生的正常学习和身体健康万州区某中学为了解学生线上学习期间体育锻炼的情况，随机对部分学生平均每天参加体育活动的时间进行了问卷调查，并将问卷调查的结果绘制成如下的统计图表不完整请你根据图中提供的信息解答下列问题：
调查学生线上学习期间每天参加体育活动的时间统计表

求、的值；
求表示参加线上学习期间体育活动时间为“小时”的扇形圆心角的度数；
按照教育行政部门规定“学生每天参加体育活动的平均时间应不少于小时”为达标，若该中学大约有名学生，请你估计该中学线上学习期间体育锻炼时间达标的约有人数？

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
在第四象限的一次函数图象上有一点，满足，请求出点的坐标；
当时，直接写出的取值范围．

21.  本小题分
某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批千克，每千克元出售；第二批千克，每千克元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利元．
求樱桃的进价是每千克多少元？
该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克元出售，结果仅售出千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加千克到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？

22.  本小题分
如图，在航线的两侧分别有观测点和，点到航线的距离为，点位于点北偏东方向且与相距处．现有一艘轮船从位于点南偏西方向的处，正沿该航线自西向东航行，后该轮船行至点的正北方向的处．
求观测点到航线的距离；
求该轮船航行的速度结果精确到参考数据：，，，

23.  本小题分
一个四位正整数各数位上的数字都不为，四位数的前两位数字之和为，后两位数字之和为，称这样的四位数为“事实数”把该四位数的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是的“伴随数”，并规定；例如：，，不是“事实数”，，，为“事实数”，则，．
判断，是否是“事实数”，若是，请求出的值；
已知四位正整数，其中、、、均为整数是“事实数”时，求出所有的值．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于点、两点，两直线交于点，且．

求点的坐标；
如图，在直线上点的右侧有一点，过作轴的平行线交直线于点，当的面积为时，求此时点的坐标．

25.  本小题分
点为等腰斜边的中点，直线过点且，点为上一点连接，把绕点顺时针旋转，得到线段，连接交直线于点．
如图，若，，求的长；
如图，求证：；
如图，，连接、，交于点，当最小时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
直接利用已知得出，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，如右图．
，
，，
，
．
故选：．
如图，过点作轴于，利用勾股定理求出，根据正弦定义计算即可．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：原式

，
，
，
故选：．
先将原式进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合计算，理解算术平方根的定义以及二次根式混合运算的方法是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
由平移得：，
，，
∽，
，
的面积为，
的面积的面积，
故选：．
根据线段的中点定义可得，再根据平移的性质可得：，从而可得，，进而可得∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用该公司月的营业额该公司月份的营业额该公司，两月的营业额的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，则．
在中，，
解得，
，
．
故选：．
折叠后形成的图形相互全等，设，则，在中利用勾股定理求出，利用三角函数的定义可求出．
本题考查了折叠的性质，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
该不等式组有解，
，
解得：，
解分式方程得，
且，
为整数，且分式方程有正整数解，
的值为：，，，
，
即满足条件的所有整数之和为．
故选：．
根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，解分式方程得且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
的值始终与无关，
，
故不符合题意；
，
，
关于的方程始终有两个不相等的实数根，
故符合题意；
，
的结果不含的项，
，
解得；
故符合题意；
当时，，
，(    )
的值为整数，
，
解得或，
故符合题意；
故选：．
根据，的值始终与无关，可得；根据，利用判别式，可得关于的方程始终有两个不相等的实数根；根据，当时，的结果不含的项；根据，由的值为整数，可得，求出的值．
本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如下：

一共有种等可能的情况数，这两个球上的数字之和为偶数的种情况，
这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
故答案为：．
根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
四边形为矩形，，为的中点，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
，，
过点作于点，如图，

，，
，，
∽，∽，
，，
，，
联立得：，
解得：，
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
根据矩形的性质可得，由可得，以此证明∽，根据相似三角形的性质得，设，则，以此列出方程解得，，过点作于点，再证明∽，∽，得到，，联立两式子，算出、，最后根据勾股定理即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程，根据题意推出∽，根据相似三角形的性质算出、是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设七班由名二等奖，名三等奖，七班由名二等奖，名三等奖，
则：，，
，，
，，，，
当时，，当时，，
，
故答案为：．
根据“班购买奖品花了元，班购买奖品花了元”列方程，再根据验证法求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，掌握验证求解法是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
，
，
或，
，． 

【解析】利用实数的混合运算法则进行运算即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查二次根式的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法，并熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图所示：
直线为所求作的垂直平分线；
证明：，，
，，
平分，
．
在和中，
，
≌．
．
．
故答案为：，．
利用基本作图作的垂直平分线得到；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，再证明≌得到，等量代换得出．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
 

19.【答案】解：总人数人，小时所占的比例为，
，
；
；
即体育活动时间为“小时”的扇形圆心角的度数为；
，
达标率，
总人数名．
答：估计该中学线上学习期间体育锻炼时间达标的约有人． 

【解析】根据时间为小时的人数及所占的比例可求出总人数，从而可求出和的值．
根据小时的人数，即可得出答案．
先计算出达标率，然后根据频数总人数频率即可得出答案．
本题考查扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】解：比例函数的图象过点，
，
，
在双曲线上，
，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，解得，
一次函数的解析式；
在中，当时，；当时，则，
，，
，
，
，
，
设点的坐标为，
则，
解得或舍去，
将代入，得，
的坐标为；
观察图象可知，当时，的取值范围是或． 

【解析】先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点的坐标；
通过图象观察就可以直接看出当时，的取值范围．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】解：设樱桃的进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
答：樱桃的进价是每千克元；
设第二天的售价为每千克元，则第二天的销量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：第二天樱桃的售价是每千克元或元． 

【解析】设樱桃的进价是每千克元，根据总利润两批樱桃利润之和列出方程，解方程即可；
设第二天的售价为每千克元，则第二天的销量为千克，根据两天樱桃获得的利润之和列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
 

22.【答案】解：设与交于点．
在中，
，，
．
，
．
在中，，
．
答：观测点到航线的距离为．

在中，，
在中，，
．
在中，，，
．
．
，
．
答：该轮船航行的速度约为． 

【解析】本题重点考查解直角三角形应用的问题．注意分析题意，构造直角三角形，利用三角函数求解．
第题中已将观测点到航线的距离用辅助线表示出来，要求，先求出，，再在中，求出即可．
第题中，要求轮船航行的速度，需求出，的长度，最后才能求出轮船航行的速度．
 

23.【答案】解：，
，
不是“事实数”，
，
，，
为“事实数”；
由题意得：，，
，，其中、、、均为整数，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，． 

【解析】根据新定义求解；
根据新定义，得出、和，之间的关系，再根据条件验证求解．
本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义和掌握验证法求解是解题的关键．
 

24.【答案】解：直线：与轴、轴分别交于、两点，
当时，，当时，，解得，
，
，
，，
，，，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为：，
联立直线：得，，
点的坐标为；
设，则，
，
，
，解得或舍去，
点的坐标为 

【解析】求出、两点的坐标，由得点、的坐标，根据待定系数法可得直线的解析式，与直线列方程组可得点的坐标；
设，表示点的坐标，根据的面积列方程可得的值，从而得到结论．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式．
 

25.【答案】解：如图所示，连接，

点为等腰斜边的中点，
，，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；

证明：如图中，连接，，．

，
，
，，
≌，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
；

解：如图中，连接，过点作直线于点，延长交直线于点，作点关于直线的对称点，连接．

当，，共线时，的值最小，
直线，直线，，直线，
四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，
，
，
直线，
，
，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】如图所示，连接，解直角三角形求出，可得结论；
如图中，连接，，证明≌，推出，证明，，，四点共圆，推出，可得，再利用等腰三角形的性质证明即可；
如图中，连接，过点作直线于点，延长交直线于点，作点关于直线的对称点，连接当，，共线时，的值最小，求出，利用平行线分线段成比例定理，求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．