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重庆市江津区京师实验学校等四校联考2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份重庆市江津区京师实验学校等四校联考2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市江津区京师实验学校等四校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7 D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根 D．不能确定
4．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝20°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．20°
5．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
6．下列说法中正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
7．二次函数y＝x2+4x+a的最小值是5，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
8．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
9．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
10．已知二次函数y＝ax2+bc+c的图象如图所示，则在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正确的判断是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 ．
15．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 ．
16．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 元．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）2＝16．
18．计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
19．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）猜想四边形AECF是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠ ＝∠ ．
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴ ．
∵在△AEO和△CFO中，
，
．
．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是 ．
20．阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么，．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求的值．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
22．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
23．对于各位数字均不相同的三位自然数m＝，交换百位数字和个位数字后得到m1＝，记F（m）＝，若F（m）能被5整除，则称m为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）m是“五好数”，若a＞c且满足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合题意的m值．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．
①试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
②在①的条件下求ME+EF+AF的最小值．
（3）抛物线上是否存在点P，平面内一点Q，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；
（1）如图1，若AB＝2，求BC的长；
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转，
①当点D、E、C三点共线时，求证：CD＝AD+BD；
②若DE交AB于点F，且AE⊥CE，AD＝DF，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7 D．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、该图形是中心对称图形，正确，
B、该图形不是中心对称图形，错误；
C、该图形不是中心对称图形，错误；
D、该图形是轴对称图形，错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根 D．不能确定
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
解：∵方程x2+x﹣12＝0中，Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
4．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝20°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．20°
【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
5．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180度后能够重合的两个图形成中心对称）解决此题．
解：A．全等的两个图形不一定成中心对称，如：底边在同一条直线上且腰长大于底边长的两个全等等腰三角形不成中心对称，那么A错误，故A不符合题意．
B．能够完全重合的图形是全等图形，不一定成中心对称，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180度后能够重合的两个图形成中心对称，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
7．二次函数y＝x2+4x+a的最小值是5，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】直接用二次函数的最值公式代入计算可得．
解：由二次函数y＝x2+4x+a的最小值为5可知＝＝5，
解得a＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
9．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n＝9求得答案即可．
解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝4+×10×（10+1）＝59．
故选：A．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
10．已知二次函数y＝ax2+bc+c的图象如图所示，则在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正确的判断是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【分析】有抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与x轴交点位置，抛物线与x轴交点个数求解．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
【分析】解不等式组得到4＜a≤10，由关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根，得到a≤9，于是得到结论．
解：解不等式组的≤x＜4，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴﹣1＜≤0，
解得4＜a≤10，
∵关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根，
∴△＝16﹣4（a﹣5）≥0，
解得：a≤9且a≠5，
∵a为整数，
∴a＝6，7，8，9，
∴所有整数a的值之和＝6+7+8+9＝30，
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式、及解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、不等式组的解法．
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．抛物线的顶点坐标是 （5，3） ．
【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
解：抛物线的顶点坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）．
【点评】本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查．
14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 ﹣5 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，再把7+6a﹣2a2变形为7﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 75° ．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．
16．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 39000 元．
【分析】设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，根据题意列出方程求出m及x的值，设又生产了t天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为6：1，列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
解：设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，
生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）（kg），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴，
∴x＝，
∵m、x为正整数，且x＜10，
∴7m﹣1为17的倍数，
∴m＝5，
∴x＝＝＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，
∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴，
解得：t＝5，
∴最后生产面条质量为：（3250+550×5）×2+500+100×5＝13000（kg），
故所有面条售出后可获利：13000×3＝39000（元），
故答案为：39000．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意在不同条件下分别表示出面粉和面条的质量，从而列出方程是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）2＝16．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求解；
（2）根据因式分解法解方程即可求解．
解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）（x﹣5）2＝16，
（x﹣5）2﹣16＝0，
（x﹣5﹣4）（x﹣5+4）＝0，
（x﹣9）（x﹣1）＝0，
解得x1＝9，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
18．计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简；
（2）先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）原式＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构，分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
19．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）猜想四边形AECF是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠ BAO ＝∠ DCO ．
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴ ∠EAO＝∠FCO ．
∵在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA） ．
∴OE＝OF ．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是 平行四边形 ．
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）证明△AEO≌△CFO（ASA），推出OE＝OF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥DC，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF，平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20．阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么，．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求的值．
【分析】（1）将原方程转化为一般形式，利用根与系数的关系即可求出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，再将其代入＝（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出结论．
解：（1）∵原方程化为一般形式为3x2﹣11x﹣7＝0，
∴a＝3，b＝﹣11，c＝﹣7，
∵x1和x2是原方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣．
故答案为：；﹣．
（2）∵方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及数学常识，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
【分析】（1）把A、C两点坐标代入y＝x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），先解方程x2+2x﹣3＝0得B（﹣3，0），利用三角形面积公式得到•4•|x2+2x﹣3|＝10，然后解绝对值方程可确定P点坐标．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），
∵△ABP的面积为10，
∴•4•|x2+2x﹣3|＝10，
解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此时P点坐标为（﹣4，5），（2，5）；
方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解，
∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，根据一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元且进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，
整理得：m2﹣10m＝0，
解得：m1＝10，m2＝0（不符合题意，舍去）．
答：m的值为10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．对于各位数字均不相同的三位自然数m＝，交换百位数字和个位数字后得到m1＝，记F（m）＝，若F（m）能被5整除，则称m为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）m是“五好数”，若a＞c且满足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合题意的m值．
【分析】（1）由“五好数”的定义即可判断；
（2）根据m是“五好数”和a与c的取值范围，求出a﹣c＝5，进而求出a，c的值，根据1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9和|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，确定|a﹣b|+|b﹣c|为7或14进而求解．
解：（1）F（m）＝＝＝|a﹣c|，
∵F（409）＝|4﹣9|＝5，5能被5整除，
∴409为“五好数”，
∵F（678）＝|6﹣8|＝2，2不能被5整除，
∴678不是“五好数”；
（2）∵1≤a≤9，1≤c≤9，a＞c，
∴1≤|a﹣c|≤8，
∵m是“五好数”，
∴|a﹣c|能被5整除，
∴a﹣c＝5，
∴a＝9，c＝4或a＝8，c＝3或a＝7，c＝2或a＝6，c＝1，
∵1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9，
∴2≤|a﹣b|+|b﹣c|≤18，
∵|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝7或14，
1°当a＝9，c＝4时，|9﹣b|+|b﹣4|＝7或14，解得b＝3，此时m＝934，
2°当a＝8，c＝3时，|8﹣b|+|b﹣3|＝7或14，解得b＝2或9，此时m＝823或893
3°当a＝7，c＝2时，|7﹣b|+|b﹣2|＝7或14，解得b＝1或8，此时m＝712或782，
4°当a＝6，c＝1时，|6﹣b|+|b﹣1|＝7或14，解得b＝0或7，此时m＝601或671，
综上：所有符合题意的m值为601，671，712，782，823，893，934．
【点评】本题以新定义为背景考查了学生们的阅读能力，关键是能够根据新定义列出关系式进而求解．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．
①试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
②在①的条件下求ME+EF+AF的最小值．
（3）抛物线上是否存在点P，平面内一点Q，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①过点M作MN∥y轴交AC于点N，设M（t，﹣t2+4t﹣3），则N（t，﹣t+1），可得S△ACM＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△ACM的面积有最大值，此时M（，）；
②过M点作MG⊥AC交于点G，交对称轴于点E，交x轴于点F，当M、E、F、G四点共线时，ME+EF+AF有最小值，利用等积法S△ACM＝＝×AC×MG，求出MG＝，即为所求；
（3）分两种情况讨论：当P点在AC上方时，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，则有AG＝PG，设P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），则x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，求出P（2，1），再由BH＝HQ，得到﹣b＝a﹣3①，由AC＝PQ，得到3＝②，联立①②求出Q（5，﹣2）；当P点在直线AC的下方时，过点Q作QK⊥x轴交于K点，过C点作MN⊥x轴交于N点，过P作PM⊥MN交于M点，则有PM＝CM，即4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），求出P（﹣1，﹣8），再由KQ＝AK，得到﹣b＝1﹣a，由QP＝AC，得到3＝，联立求出Q（﹣4，﹣5）．
解：（1）将A（1，0），C（4，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
过点M作MN∥y轴交AC于点N，
设M（t，﹣t2+4t﹣3），则N（t，﹣t+1），
∴MN＝﹣t2+4t﹣3+t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，
∴S△ACM＝×3×（﹣t2+5t﹣4）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，
此时M（，）；
②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
过M点作MG⊥AC交于点G，交对称轴于点E，交x轴于点F，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
∴∠FAG＝45°，
∴FG＝AF，
∴ME+EF+AF＝ME+EF+FG≥MG，
∴当M、E、F、G四点共线时，ME+EF+AF有最小值，
∵S△ACM＝＝×AC×MG，
∴MG＝，
∴ME+EF+AF的最小值为；
（3）存在点P，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形，理由如下：
当P点在AC上方时，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，
∵∠BAC＝45°，∠PAC＝90°，
∴∠PAG＝45°，
∴AG＝PG，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），
∴x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，
解得x＝1（舍）或x＝2，
∴P（2，1），
∵∠ABP＝45°，
∴∠HBQ＝45°，
∴BH＝HQ，
∴﹣b＝a﹣3①，
∵AC＝PQ，
∴3＝②，
联立①②可得或（舍），
∴Q（5，﹣2）；
当P点在直线AC的下方时，过点Q作QK⊥x轴交于K点，过C点作MN⊥x轴交于N点，过P作PM⊥MN交于M点，
∵∠NAC＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠PCM＝45°，
∴PM＝CM，
∴4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），
解得x＝﹣1或x＝4（舍），
∴P（﹣1，﹣8），
∵∠KAQ＝45°，
∴KQ＝AK，
∴﹣b＝1﹣a，
∵QP＝AC，
∴3＝，
∴a＝﹣4，
∴b＝﹣5，
∴Q（﹣4，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（5，﹣2）或（﹣4，﹣5）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用垂线段最短求最短距离，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；
（1）如图1，若AB＝2，求BC的长；
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转，
①当点D、E、C三点共线时，求证：CD＝AD+BD；
②若DE交AB于点F，且AE⊥CE，AD＝DF，请直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．利用直角三角形30度角的性质求出AH，再利用勾股定理求出BH，即可解决问题．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CD于T．证明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD＝EC，再证明DE＝AD，即可解决问题．
（3）如图3中，延长AE交BC于J，在EC上取一点R，使得RJ＝CR，连接RJ．证明CA＝CJ，AF＝GJ，设AE＝EJ＝a，求出CJ，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵AB＝2，∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AH＝AB＝1，
∴BH＝＝＝，
∴BC＝2BH＝2．
（2）证明：如图2中，过点A作AT⊥CD于T．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC，
∵AD＝AE，AT⊥DE，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，DT＝ET，
∴DE＝2DT＝2AD•cos30°＝AD，
∴CD＝DE+EC＝AD+BD．
（3）如图3中，延长AE交BC于J，在EC上取一点R，使得RJ＝CR，连接RJ．
∵∠ADF＝30°，DF＝DA，
∴∠DAF＝∠DFA＝75°，
∵∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠BAJ＝120°﹣75°＝45°，∠CAJ＝120°﹣45°＝75°，
∴∠ACJ＝30°，
∴∠CAJ＝∠CJA＝75°，
∴CA＝CJ，
∵CE⊥AJ，
∴AE＝EJ，
∵∠AED＝∠JEG＝30°，
∴∠EJG＝∠EGJ＝75°，
∴EJ＝EG，
∴AD＝AE＝DF，
∴DA＝DF＝EJ＝EG，
∴△DAF≌△EGJ（SAS），
∴AF＝JG，
∴CG+AF＝CG+JG＝CJ，
设AE＝EJ＝a，
∵CA＝CJ，CE∠AJ，
∴∠ECJ＝∠ACB＝15°，
∵RC＝RJ，
∴∠RJC＝∠RCJ＝15°，
∴∠ERJ＝∠RJC+∠RCJ＝30°，
∴RJ＝RC＝2a，ER＝a，
∴CJ＝＝＝（+）a，
∴＝＝+．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年重庆市江津区京师实验学校等四校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7 D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根 D．不能确定
4．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝20°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．20°
5．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
6．下列说法中正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
7．二次函数y＝x2+4x+a的最小值是5，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
8．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
9．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
10．已知二次函数y＝ax2+bc+c的图象如图所示，则在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正确的判断是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 ．
15．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 ．
16．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 元．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）2＝16．
18．计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
19．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）猜想四边形AECF是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠ ＝∠ ．
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴ ．
∵在△AEO和△CFO中，
，
．
．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是 ．
20．阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么，．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求的值．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
22．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
23．对于各位数字均不相同的三位自然数m＝，交换百位数字和个位数字后得到m1＝，记F（m）＝，若F（m）能被5整除，则称m为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）m是“五好数”，若a＞c且满足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合题意的m值．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．
①试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
②在①的条件下求ME+EF+AF的最小值．
（3）抛物线上是否存在点P，平面内一点Q，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；
（1）如图1，若AB＝2，求BC的长；
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转，
①当点D、E、C三点共线时，求证：CD＝AD+BD；
②若DE交AB于点F，且AE⊥CE，AD＝DF，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7 D．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、该图形是中心对称图形，正确，
B、该图形不是中心对称图形，错误；
C、该图形不是中心对称图形，错误；
D、该图形是轴对称图形，错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根 D．不能确定
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
解：∵方程x2+x﹣12＝0中，Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
4．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝20°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．20°
【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
5．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180度后能够重合的两个图形成中心对称）解决此题．
解：A．全等的两个图形不一定成中心对称，如：底边在同一条直线上且腰长大于底边长的两个全等等腰三角形不成中心对称，那么A错误，故A不符合题意．
B．能够完全重合的图形是全等图形，不一定成中心对称，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180度后能够重合的两个图形成中心对称，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
7．二次函数y＝x2+4x+a的最小值是5，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】直接用二次函数的最值公式代入计算可得．
解：由二次函数y＝x2+4x+a的最小值为5可知＝＝5，
解得a＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
9．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n＝9求得答案即可．
解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝4+×10×（10+1）＝59．
故选：A．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
10．已知二次函数y＝ax2+bc+c的图象如图所示，则在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正确的判断是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【分析】有抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与x轴交点位置，抛物线与x轴交点个数求解．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
【分析】解不等式组得到4＜a≤10，由关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根，得到a≤9，于是得到结论．
解：解不等式组的≤x＜4，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴﹣1＜≤0，
解得4＜a≤10，
∵关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根，
∴△＝16﹣4（a﹣5）≥0，
解得：a≤9且a≠5，
∵a为整数，
∴a＝6，7，8，9，
∴所有整数a的值之和＝6+7+8+9＝30，
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式、及解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、不等式组的解法．
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．抛物线的顶点坐标是 （5，3） ．
【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
解：抛物线的顶点坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）．
【点评】本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查．
14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 ﹣5 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，再把7+6a﹣2a2变形为7﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 75° ．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．
16．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 39000 元．
【分析】设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，根据题意列出方程求出m及x的值，设又生产了t天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为6：1，列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
解：设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，
生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）（kg），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴，
∴x＝，
∵m、x为正整数，且x＜10，
∴7m﹣1为17的倍数，
∴m＝5，
∴x＝＝＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，
∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴，
解得：t＝5，
∴最后生产面条质量为：（3250+550×5）×2+500+100×5＝13000（kg），
故所有面条售出后可获利：13000×3＝39000（元），
故答案为：39000．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意在不同条件下分别表示出面粉和面条的质量，从而列出方程是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）2＝16．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求解；
（2）根据因式分解法解方程即可求解．
解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）（x﹣5）2＝16，
（x﹣5）2﹣16＝0，
（x﹣5﹣4）（x﹣5+4）＝0，
（x﹣9）（x﹣1）＝0，
解得x1＝9，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
18．计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简；
（2）先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）原式＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构，分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
19．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）猜想四边形AECF是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠ BAO ＝∠ DCO ．
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴ ∠EAO＝∠FCO ．
∵在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA） ．
∴OE＝OF ．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是 平行四边形 ．
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）证明△AEO≌△CFO（ASA），推出OE＝OF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥DC，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF，平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20．阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么，．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求的值．
【分析】（1）将原方程转化为一般形式，利用根与系数的关系即可求出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，再将其代入＝（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出结论．
解：（1）∵原方程化为一般形式为3x2﹣11x﹣7＝0，
∴a＝3，b＝﹣11，c＝﹣7，
∵x1和x2是原方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣．
故答案为：；﹣．
（2）∵方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及数学常识，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
【分析】（1）把A、C两点坐标代入y＝x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），先解方程x2+2x﹣3＝0得B（﹣3，0），利用三角形面积公式得到•4•|x2+2x﹣3|＝10，然后解绝对值方程可确定P点坐标．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），
∵△ABP的面积为10，
∴•4•|x2+2x﹣3|＝10，
解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此时P点坐标为（﹣4，5），（2，5）；
方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解，
∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，根据一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元且进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，
整理得：m2﹣10m＝0，
解得：m1＝10，m2＝0（不符合题意，舍去）．
答：m的值为10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．对于各位数字均不相同的三位自然数m＝，交换百位数字和个位数字后得到m1＝，记F（m）＝，若F（m）能被5整除，则称m为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）m是“五好数”，若a＞c且满足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合题意的m值．
【分析】（1）由“五好数”的定义即可判断；
（2）根据m是“五好数”和a与c的取值范围，求出a﹣c＝5，进而求出a，c的值，根据1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9和|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，确定|a﹣b|+|b﹣c|为7或14进而求解．
解：（1）F（m）＝＝＝|a﹣c|，
∵F（409）＝|4﹣9|＝5，5能被5整除，
∴409为“五好数”，
∵F（678）＝|6﹣8|＝2，2不能被5整除，
∴678不是“五好数”；
（2）∵1≤a≤9，1≤c≤9，a＞c，
∴1≤|a﹣c|≤8，
∵m是“五好数”，
∴|a﹣c|能被5整除，
∴a﹣c＝5，
∴a＝9，c＝4或a＝8，c＝3或a＝7，c＝2或a＝6，c＝1，
∵1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9，
∴2≤|a﹣b|+|b﹣c|≤18，
∵|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝7或14，
1°当a＝9，c＝4时，|9﹣b|+|b﹣4|＝7或14，解得b＝3，此时m＝934，
2°当a＝8，c＝3时，|8﹣b|+|b﹣3|＝7或14，解得b＝2或9，此时m＝823或893
3°当a＝7，c＝2时，|7﹣b|+|b﹣2|＝7或14，解得b＝1或8，此时m＝712或782，
4°当a＝6，c＝1时，|6﹣b|+|b﹣1|＝7或14，解得b＝0或7，此时m＝601或671，
综上：所有符合题意的m值为601，671，712，782，823，893，934．
【点评】本题以新定义为背景考查了学生们的阅读能力，关键是能够根据新定义列出关系式进而求解．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．
①试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
②在①的条件下求ME+EF+AF的最小值．
（3）抛物线上是否存在点P，平面内一点Q，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①过点M作MN∥y轴交AC于点N，设M（t，﹣t2+4t﹣3），则N（t，﹣t+1），可得S△ACM＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△ACM的面积有最大值，此时M（，）；
②过M点作MG⊥AC交于点G，交对称轴于点E，交x轴于点F，当M、E、F、G四点共线时，ME+EF+AF有最小值，利用等积法S△ACM＝＝×AC×MG，求出MG＝，即为所求；
（3）分两种情况讨论：当P点在AC上方时，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，则有AG＝PG，设P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），则x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，求出P（2，1），再由BH＝HQ，得到﹣b＝a﹣3①，由AC＝PQ，得到3＝②，联立①②求出Q（5，﹣2）；当P点在直线AC的下方时，过点Q作QK⊥x轴交于K点，过C点作MN⊥x轴交于N点，过P作PM⊥MN交于M点，则有PM＝CM，即4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），求出P（﹣1，﹣8），再由KQ＝AK，得到﹣b＝1﹣a，由QP＝AC，得到3＝，联立求出Q（﹣4，﹣5）．
解：（1）将A（1，0），C（4，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
过点M作MN∥y轴交AC于点N，
设M（t，﹣t2+4t﹣3），则N（t，﹣t+1），
∴MN＝﹣t2+4t﹣3+t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，
∴S△ACM＝×3×（﹣t2+5t﹣4）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，
此时M（，）；
②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
过M点作MG⊥AC交于点G，交对称轴于点E，交x轴于点F，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
∴∠FAG＝45°，
∴FG＝AF，
∴ME+EF+AF＝ME+EF+FG≥MG，
∴当M、E、F、G四点共线时，ME+EF+AF有最小值，
∵S△ACM＝＝×AC×MG，
∴MG＝，
∴ME+EF+AF的最小值为；
（3）存在点P，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形，理由如下：
当P点在AC上方时，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，
∵∠BAC＝45°，∠PAC＝90°，
∴∠PAG＝45°，
∴AG＝PG，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），
∴x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，
解得x＝1（舍）或x＝2，
∴P（2，1），
∵∠ABP＝45°，
∴∠HBQ＝45°，
∴BH＝HQ，
∴﹣b＝a﹣3①，
∵AC＝PQ，
∴3＝②，
联立①②可得或（舍），
∴Q（5，﹣2）；
当P点在直线AC的下方时，过点Q作QK⊥x轴交于K点，过C点作MN⊥x轴交于N点，过P作PM⊥MN交于M点，
∵∠NAC＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠PCM＝45°，
∴PM＝CM，
∴4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），
解得x＝﹣1或x＝4（舍），
∴P（﹣1，﹣8），
∵∠KAQ＝45°，
∴KQ＝AK，
∴﹣b＝1﹣a，
∵QP＝AC，
∴3＝，
∴a＝﹣4，
∴b＝﹣5，
∴Q（﹣4，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（5，﹣2）或（﹣4，﹣5）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用垂线段最短求最短距离，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；
（1）如图1，若AB＝2，求BC的长；
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转，
①当点D、E、C三点共线时，求证：CD＝AD+BD；
②若DE交AB于点F，且AE⊥CE，AD＝DF，请直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．利用直角三角形30度角的性质求出AH，再利用勾股定理求出BH，即可解决问题．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CD于T．证明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD＝EC，再证明DE＝AD，即可解决问题．
（3）如图3中，延长AE交BC于J，在EC上取一点R，使得RJ＝CR，连接RJ．证明CA＝CJ，AF＝GJ，设AE＝EJ＝a，求出CJ，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵AB＝2，∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AH＝AB＝1，
∴BH＝＝＝，
∴BC＝2BH＝2．
（2）证明：如图2中，过点A作AT⊥CD于T．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC，
∵AD＝AE，AT⊥DE，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，DT＝ET，
∴DE＝2DT＝2AD•cos30°＝AD，
∴CD＝DE+EC＝AD+BD．
（3）如图3中，延长AE交BC于J，在EC上取一点R，使得RJ＝CR，连接RJ．
∵∠ADF＝30°，DF＝DA，
∴∠DAF＝∠DFA＝75°，
∵∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠BAJ＝120°﹣75°＝45°，∠CAJ＝120°﹣45°＝75°，
∴∠ACJ＝30°，
∴∠CAJ＝∠CJA＝75°，
∴CA＝CJ，
∵CE⊥AJ，
∴AE＝EJ，
∵∠AED＝∠JEG＝30°，
∴∠EJG＝∠EGJ＝75°，
∴EJ＝EG，
∴AD＝AE＝DF，
∴DA＝DF＝EJ＝EG，
∴△DAF≌△EGJ（SAS），
∴AF＝JG，
∴CG+AF＝CG+JG＝CJ，
设AE＝EJ＝a，
∵CA＝CJ，CE∠AJ，
∴∠ECJ＝∠ACB＝15°，
∵RC＝RJ，
∴∠RJC＝∠RCJ＝15°，
∴∠ERJ＝∠RJC+∠RCJ＝30°，
∴RJ＝RC＝2a，ER＝a，
∴CJ＝＝＝（+）a，
∴＝＝+．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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