重庆市梁平区梁山初中教育集团2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年重庆市梁平区梁山初中教育集团九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 二次函数图象的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

5. 二次函数的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，，按此规律排列下去，则第个图案中菱形的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某小区年屋顶绿化面积为，计划年屋顶绿化面积要达到设该小区年至年屋顶绿化面积的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知抛物线与直线有两个公共点，它们的横坐标分别为、，又有直线与轴的交点坐标为，则、、满足的关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列选项中，正确的是(    )

A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于 D. 当时，随值得增大而增大

12. 关于的分式方程解为正数，且关于的不等式组，解集为，则满足所有条件的整数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 若是二次函数，则的值是______ ．
14. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系为______．
15. 如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点则图中阴影部分的面积为______结果保留

16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动．过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    
    ．
18. 本小题分
    若抛物线与轴只有一个交点，求实数的值．
19. 本小题分
    已知、、分别是等腰三角形非等边三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值．
20. 本小题分
    约定：为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”若关联数为的函数图象与轴有两个整交点为正整数，求这个函数图象上整交点的坐标．
21. 本小题分
    如图，已知抛物线经过，两点．
    求抛物线的解析式；
    将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．

22. 本小题分
    已知关于的一元二次方程：．
    试判断原方程根的情况；
    若抛物线与轴交于，两点，则，两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．友情提示：
23. 本小题分
    某公司生产某种产品的成本是元件，售价是元件，年销售量为万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是万元，产品的年销售量将是原销售量的倍，且与之间满足二次函数关系：．
    如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润万元与广告费用万元的函数关系式无需自变量的取值范围；
    如果公司年投入的广告费不低于万元且不高于万元，求年利润的最大值．
24. 本小题分
    材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点与定线段所成的为常量，那么点的运动轨迹为射线，如图如果动点与定直线的距离为常量，动点的运动轨迹即为过点且与直线平行的直线，如图．
    如图中，矩形中，，，点在边上且，点为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点在直线的右下方，连接，当点在边上运动时，
    
    分析点的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹尺规作图．
    求周长的最小值．
25. 本小题分
    已知：，点为轴上的一动点，过点作轴的垂线交的垂直平分线于点．
    请利用图进行探讨：
    若点，则点的坐标为______；若点，则点的坐标为______；若点时，点的坐标为______；
    设，请列关于函数关系式，并在图中画出点的运动轨迹；
    图中，点，点，有动点，且；按下列要求作图，轨迹与直线相交于点，点在左，点为线段的中点，连接，直接写出线段的长度范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，，
故选：．
找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意将代入方程得：，
解得：，
故选：．
由为方程的解，将代入方程即可求出的值．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
故选：．
先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，
当时，有最大值是；
故选：．
利用二次函数的图象与性质解答即可，，开口向下，顶点是抛物线的最高点，当时有最大值是．
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图形知，第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，即，
第个图案中有个菱形即，

则第个图案中菱形有个，
第个图案中有个菱形，
故选：．
根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第个图案中菱形有个，从而得出答案．
本题主要考查了图形的变换规律，归纳出第个图案中菱形的个数为，是解题的关键．，体现了从特殊到一般的数学思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该小区年及年屋顶绿化的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是．
故选A．
由平移的规律即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
 

9.【答案】 

【解析】解：、由图知，，，即，
已知，故本选项错误；
B、由图知，而已知，且，必须，故本选项错误；
C、图中条件满足，且，故本选项正确；
D、，
即当时，与图中与轴的交点不符，故本选项错误．
故选：．
由，且，确定，，与轴交点一个是，采取排除法即可选出所选答案．
本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得和为方程的两个根，即，
，；
，
直线与轴交点的横坐标为：，
；
．
故选：．
先将直线与抛物线联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与的交点横坐标，即可得出答案．
此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于、的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
当时，随增大而减小，
抛物线开口向上，且跟轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
时，随增大而增大，故D错误，不符合题意；
由对称性可知，在处取得最小值，且最小值小于故C正确，符合题意；
故选：．
根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值有，，共个，
故选：．
解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
利用二次函数定义可得，且，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
，，是抛物线上的点，
点关于对称轴的对称点是，
，
，
故答案为：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：
先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
四边形为矩形，
，
而轴，
的长等于点的纵坐标，
当点在抛物线的顶点时，点到轴的距离最小，最小值为，
对角线的最小值为．
故答案为．
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再根据矩形的性质得，由于的长等于点的纵坐标，所以当点在抛物线的顶点时，点到轴的距离最小，最小值为，从而得到的最小值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
 

17.【答案】解：移项，得
所以
即或
所以，
移项，得
所以
即或
所以，． 

【解析】移项后提取公因式，用因式分解法；
移项后用因式分解法．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是关键．
 

18.【答案】解：抛物线与轴只有一个交点，
，即．
解得：． 

【解析】抛物线与轴只有一个交点，则．
本题主要考查的是抛物线与轴交点，根据题意得到是解题的关键．
 

19.【答案】解：当时，，
解得，
，
满足条件；
当时，，，
解得，，
当时，同理可得，，
综上所述，的值为或． 

【解析】讨论：当时，利用判别式的意义得到，则；当时，根据根与系数的关系得，，解得，；当时，同理可得，．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
 

20.【答案】解：根据题意，令，将关联数代入函数，则有，
，
有两个根，且，
由求根公式可得，
，
，
，
当时符合题意；此时；
所以这个函数图象上整交点的坐标为，；
令，可得，即得这个函数图象上整交点的坐标．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为，和． 

【解析】根据题意令，将关联数代入函数，则有，利用求根公式可得，将代入可得函数图象与轴的交点坐标；令，可得，即得这个函数图象与轴上整交点的坐标．
本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：抛物线经过，两点，
，解得，
抛物线解析式为；
设的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为，
直线与抛物线只有一个公共点，
有两个相等的实数解，
整理得，
，解得，
即的值为． 

【解析】把点和点坐标代入利用待定系数法求解即可；
先确定直线的解析式为，则平移后的直线的解析式为，利用有两个相等的实数解得到，然后解的方程即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
 

22.【答案】解：，
，
，
原方程有两个不等实数根；
存在，
理由：由题意知，是原方程的两根，
，．
，
，
当时，有最小值，
有最小值，即． 

【解析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
根据根的判别式，可得答案；
根据根与系数的关系，可得、间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
年利润万元与广告费用万元的函数关系式为；
，
当时，随着的增大而增大；
当时，随着的增大而减小；
当时，有最大值．
故年利润的最大值为万元． 

【解析】根据利润销售单价成本销售量广告费用，列出函数关系式，化简成一般式即可得；
将中二次函数一般式配方成二次函数的顶点式，由的范围结合二次函数的性质即可得．
本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：的运动轨迹是下方，到等于的一条直线理由如下：
如图，作于，

四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
≌，
，
点的运动轨迹是直线在的下方，到直线的距离为，
画出图象如下：
；
作关于这条直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，最小值线段的长，

在中，，
周长的最小值为． 

【解析】作于，利用全等三角形的性质证明，则可得点的运动轨迹是直线在的下方，到直线的距离为；
作关于这条直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，最小值线段的长．
本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确判断的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
 

25.【答案】     

【解析】解：如图，

当时，的垂直平分线的解析式为：，
当时，，
，
当时，的解析式为：，
，
当点时，，
故答案为：，，；
点在的垂直平分线上，
，即，
，
，
图象如图：

如图，

当时，，
，，
，
连接，取的中点，连接，
点是的中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
作射线，分别交于，，
，
，
，，
．
当时，的垂直平分线的解析式为：，当时，，从而求得点的坐标，同样求得另外的情形；
由列出等式，进而变形得出结果；
先求出点的坐标，连接，取的中点，连接，可推出点在以点为圆心，为半径的圆上运动，作射线，分别交于，，进一步得出结果．
本题考查了线段垂直平分线的性质，画二次函数的图象，圆的定义，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，找出点的运动轨迹．