2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（上）期中数学试卷


一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. -15的倒数是(    )
A. -15 B. -5 C. 15 D. 5
2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 在比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地间的图上距离为25厘米，则两地间的实际距离用科学记数法表示为(    )
A. 1.25×105米 B. 12.5×105米 C. 1.25×106米 D. 1.25×107米
4. 下列计算正确的是(    )
A. (-2a2b)3=-8a6b3 B. a6÷a3+a2=2a2
C. 2a+3b=5ab D. a2⋅a4=a8
5. 如图，要拧开一个边长为a(a=6mm)的正六边形，扳手张开的开口b至少为(    )
A. 43mm
B. 63mm
C. 42mm
D. 12mm
6. 如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是(    )
A. AB=BC
B. BE平分∠ABC
C. BE⊥AC
D. AB=AC
7. 受疫情反弹的影响，某景区今年3月份游客人数比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，随着疫情逐步得到控制，预计5月份游客人数将比2月份翻一番(即是2月份的2倍)，设5月份与4月份相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是(    )
A. (1-40%-50%)(1+x)=2 B. (1-40%-50%)(1+x)2=2
C. (1-40%)(1-50%)(l+x)2=2 D. (1-40%)(1-50%)(1+x)=2
8. 直角三角形两直角边是方程x2-8x+14=0的两根，则它的斜边为(    )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 27
9. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑨个图中●的个数为(    )

A. 50 B. 53 C. 64 D. 73
10. 若整数a使得关于x的方程2-3x-2=a2-x的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组3y-22+2>y-22y-a10≤0至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为(    )
A. 23 B. 25 C. 27 D. 28
11. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：
①△APE≌△AME；②PE+PF=22；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤四边形OEPF的面积可以为3.⑥EF的最小值为2，其中正确的隹是(    )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12. 已知：M=x2+ax-3，N=x+1(其中a为整数，且a≠0)；有下列结论，其中正确的结论个数有(    )
①M⋅N中不含x2项，则a=-1；
②若MN为整式，则a=±2；
③若a是M+N=0的一个根，则a2+1a2=74；
④若关于x的方程M=0的两个解分别是x1=t2，x2=2t-3，则实数a的最大值为4．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 计算：4-(-2)2+(-3)2+3-8=______．
14. 已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于______．
15. 下面是小李同学探索107的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是107，且10<107<11，
∴设107=10+x，其中0 ∵图中S正方形=102+2×10⋅x+x2，S正方形=107，
∴102+2×10⋅x+x2=107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即107≈10.35．
仿照上述方法，探究76的近似值为______．
16. 小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地．他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种(每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树).小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为______元．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)x2-2x-1=0；
(2)ba-b+a2-b2a2-2ab+b2÷a+ba-b．
18. (本小题8.0分)
如图，已知正方形ABCD，点E为AD边上一点，连接BE．
(1)用尺规完成以下基本作图：(要求：不写作法，保留作图痕迹)
①在AB边上截取线段BF，使BF=AE，连接CF，与BE交于点G；
②过点A作BE的垂线，垂足为H；
(2)在(1)所作图形中，求证：BF：FA=BG：GH，请补全下面的证明过程．
证明：
∵______，
∴AB=BC，∠BAE=∠CBF=90°．
由(1)知BF=AE，在△ABE与△BCF中，
AB=BC∠BAE=∠CBFAE=BF
∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴______．
∵∠1+∠2=∠CBF=90°，
∴∠BCF+∠2=90°．
∵∠FGB是△BGC的一个外角，
∴______．
由(1)知AH⊥BE，
∴∠AHB=∠FGB=90°．
∴______．
∴BF：FA=BG：GH．

19. (本小题10.0分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试(满分100分).为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x(分)
年级
85 90 95 七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
(1)填空：a=______，b=______，c=______，d=______；
(2)若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
(3)从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
20. (本小题10.0分)
在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB=AC，DE=AE，点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90°.如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点C重合．
(1)求证：△BAN∽△CMA；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出BN⋅CM的值；
②若BM=CN，请求出MN的长．

21. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两个实数根．
(1)若x1=1，求x2及m的值；
(2)是否存在实数m，满足(x1-1)(x2-1)=6m-5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
22. (本小题10.0分)
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了143m个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
23. (本小题10.0分)
一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数m为“青年数”.“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P(m)；“青年数”m的千位数字与4的差记为Q(m)，令F(m)=P(m)Q(m)．
例如：∵对7240，7-2=5，4-0=4，∴7240是“青年数”．
∵P(7240)=2×(7+2)+4+0=22，Q(7240)=7-4=3，
∴F(7240)=P(7240)Q(7240)=223．
又如：∵对5093，5-0=5，但9-3≠4，∴5093不是“青年数”．
(1)请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F(m)的值；
(2)若一个“青年数”m，当F(m)能被10整除时，求出所有满足条件的m．
24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA=1，OB=3OA，直线OC：y=3x交直线AB于点C．

(1)求直线AB的解析式及C点的坐标；
(2)如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ=32，当S△PCB=938时，求PQ+QM+MA最小值；
(3)如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE=32，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN=NC，求证：AM⊥BC；
(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠EHG=∠EFG+∠CEF，且HF=2GH，求EF的长．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：-15的倒数是-5．
故选：B．
倒数：乘积是1的两数互为倒数．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

3.【答案】C 
【解析】解：根据题意，0.25÷(1：5000000)
=1250000
=1.25×106(米)．
故选：C．
根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
考查了比例线段和科学记数法-表示较大的数，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．

4.【答案】A 
【解析】解：A、(-2a2b)3=-8a6b3，故A符合题意；
B、a6÷a3+a2=a3+a2，故B不符合题意；
C、2a与3b不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、a2⋅a4=a6，故D不符合题意；
故选：A．
利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用解直角三角形进行求解．
根据题意，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，再根据30°的直角三角形的知识求解．
【解答】
解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6mm，∠AOB=60°，
利用勾股定理可得：AM=33(mm)，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=12AC，
∴AC=2AM=63(mm)．
故选B．  
6.【答案】D 
【解析】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=12BC，EF=12AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形，故A正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，故B正确，不符合题意，
当BE⊥AC，可证AB=BC，可得四边形DBFE是菱形，故C正确，不符合题意．
故选：D．
当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，当BE⊥AC，可证AB=BC，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．

7.【答案】D 
【解析】解：根据题意，得(1-40%)(1-50%)(1+x)=2，
故选：D．
根据“5月份游客人数将比2月份翻一番(即是2月份的2倍)”列方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形两直角边是方程x2-8x+14=0的两根，
∴a+b=8，ab=14．
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=64-28=36，
∴c=6．
故选：C．
根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的运用，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查数字的变化规律．
根据已知图形得出图第n个图中点的个数为(n+1)2-(1+2+3+…+n-1)，据此可得．
【解答】
解：因为图①中点的个数为4=22-0，
图②中点的个数为8=32-1，
图③中点的个数为13=42-(1+2)，
图④中点的个数为19=52-(1+2+3)，
……
所以图⑨中点的个数为102-(1+2+3+…+8)=100-36=64，
故选：C．  
10.【答案】B 
【解析】解：分式方程去分母得：2(x-2)-3=-a，
整理得：2x-4-3=-a，
解得：x=7-a2，
∵分式方程的解为非负数，且a为整数，
∴7-a2≥0且7-a2≠2，即a≤7且a≠3，
不等式组整理得：y>-2y≤a，即-2 ∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥1，
综上，a的范围为1≤a≤7，即a=1，2，4，5，6，7，
则满足条件的a之和为1+2+4+5+6+7=25．
故选：B．
表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出a的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出a的范围，进而求出a的具体范围，确定出整数a的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵PM⊥AC，
∴∠AEM=∠AEP=90°，
在△APE和△AME中，
∠BAC=∠DACAE=AE∠AEP=∠AEM，
∴△APE≌△AME，故①正确；

②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠AOB=90°，
∴OB=12BD=12×42=22，
∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OF=PE，
∵∠FBP=45°，∠BFP=90°，
∴△BFP是等腰直角三角形，
∴BF=PF，
∴PE+PF=OF+BF=OB=22，故②正确；
③在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
由PE=OF，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确；
④∵∠CBF=45°，∠BFN=90°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
而△OPF是直角三角形，
∴△POF与△BNF不相似；故④错误；
⑤∵四边形OFPE是矩形，
∴四边形OEPF的面积=PE⋅PF，
设PE=x，则PF=22-x，
若四边形OEPF的面积为3，则x(22-x)=3，
x2-22x+3=0，
Δ=(22)2-4×1×3=8-12=-4<0，
此方程无实数解，
∴四边形OEPF的面积不可以为3，故⑤错误；
⑥当OP⊥AB时，OP最小=2，当EF=OP时，EF最小，
EF的最小值为2，故⑥正确．
其中正确的是①②③⑥．
故选：C．
①根据ASA可证明△APE≌△AME；
②证明四边形OFPE是矩形，利用勾股定理计算BD的长，从而得OB的长，可得结论；
③利用勾股定理和矩形的对边相等可得结论；
③证明△BFN是等腰直角三角形和△OPF是直角三角形可作判断；
⑤根据矩形的面积=长×宽列式，将S=3代入解方程，方程无解可作判断．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定，证明四边形OFPE是矩形是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：①M⋅N=(x2+ax-3)(x+1)
=x3+ax2-3x+x2+ax-3
=x3+(a+1)x2+(a-3)x-3，
∵不含x2项，
∴a+1=0，
∴a=-1，故①符合题意；
②∵MN为整式，
∴M=x2+ax-3=(x-3)(x+1)=x2-2x-3，
∴a=-2，故②不符合题意；
③若a是M+N=0的一个根，
则a是x2+ax-3+x+1=0的一个根，
∴a是x2+(a+1)x-2=0的一个根，
∴a2+(a+1)a-2=0，
∴2a2+a-2=0，
∴a2=2-a2，
∴a2+1a2
=2-a2+22-a
=a2-4a+82(2-a)
=a22(2-a)+2
=a22×2a2+2
=14+2
=94，故③不合题意；
∵关于x的方程M=0的两个解分别是x1=t2，x2=2t-3，
则方程为(x-t2)(x-2t+3)=0，
整理得x2-2tx+3x-t2x+2t3-3t2=0，
∴a=-t2-2t+3，
∴a=-t2-2t+3
=-(t+1)2+4，
故a有最大值为4.故④符合题意．
故选：B．
求得MN=x3+(a+1)x2+(a-3)x-3，根据题意a+1=0，求得a=-1，即可判断①正确；由MN为整式，可知M能够分解出(x+1)这个因式，从而求得a=-2，即可判断②错误；由题意求得2a2+a-2=0，变形为a2=2-a2，代入a2+1a2，通过计算分式的加法，从而求得a2+1a2=94，即可判断③错误；关于x的方程M=0的两个解分别是x1=t2，x2=2t-3，则方程为(x-t2)(x-2t+3)=0，整理得到a=-t2-2t+3，配方即可得出a的最大值．
本题考查了整式的运算，分式的运算，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题的关键．

13.【答案】1 
【解析】解：4-(-2)2+(-3)2+3-8
=2-2+3+(-2)
=1，
故答案为：1．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．

14.【答案】8cm2 
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较大三角形的面积等于18cm2，
∴较小三角形的面积为8cm2，
故答案为：8cm2．
根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

15.【答案】8.75 
【解析】解：∵82=64，92=81而64<76<81，
∴64<76<81，即8<76<9，
∴设76=8+x，其中0 ∵图中S正方形=82+2×8⋅x+x2，S正方形=76，
∴82+2×8⋅x+x2=76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，
∴76≈8.75，
故答案为：8.75．
根据题目提供的方法进行计算即可．
本题考查估算无理数的大小，理解“探索无理数107的近似值”的过程是正确解答的关键．

16.【答案】2910 
【解析】解：∵苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，
∴一号区域面积为36×512=15(亩)，
∴二号、三号区域共36-15=21(亩)，
设二号区域x亩，则三号区域(21-x)亩，设桃树每亩a元，梨树每亩b元，
根据题意可得：ax+b(21-x)=1590①bx+a(21-x)=1590-30②，
①-②得：(a-b)(2x-21)=30，
∵8≤a-b≤14，a、b、x都是整数，
∴a-b、2x-21是30的因数，
∴a-b=10，2x-21=3，
∴x=12，a=b+10，
把x=12代入①得12a+9b=1590，
∴12(b+10)+9b=1590，
解得b=70，
∴a=80，
∴二号区域12亩，则三号区域9亩，桃树每亩80元，梨树每亩70元，
∴面积最大的一号区域15亩种植每亩70元的梨树，面积最小的三号区域9亩种植每亩100元的苹果树，可以使花费最少，
最少花费为15×70+9×100+12×80=2910(元)，
故答案为：2910．
由苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，知一号区域面积为15亩，设二号区域x亩，则三号区域(21-x)亩，设桃树每亩a元，梨树每亩b元，则ax+b(21-x)=1590①bx+a(21-x)=1590-30②，可得：(a-b)(2x-21)=30，又8≤a-b≤14，a、b、x都是整数，故a-b=10，2x-21=3，从而可得x=12，b=70，a=80，即可得最少花费为2910元．
本题考查应用类问题，解题的关键是理清题意，列出方程组，根据a、b、x都是整数求出a、b、x的值．

17.【答案】解：(1)x2-2x-1=0，
x2-2x=1，
x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，
∴x-1=±2，
解得：x1=1+2，x2=1-2；
(2)原式=ba-b-(a+b)(a-b)(a-b)2⋅a-ba+b
=ba-b-1
=b-a+ba-b
=2b-aa-b． 
【解析】(1)利用因式分解法求解可得；
(2)根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，即可求出答案．
此题考查了解一元二次方程，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】正方形ABCD为正方形  ∠1=∠BCF  ∠FGB=∠2+∠BCF=90  FG//AH 
【解析】(1)解：如图，CF、AH为所作；

(2)证明：∵正方形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠CBF=90°，
由(1)知BF=AE，在△ABE与△BCF中，
AB=BC∠BAE=∠CBFAE=BF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠1=∠BCF，
∵∠1+∠2=∠CBF=90°，
∴∠BCF+∠2=90°，
∵∠FGB是△BGC的一个外角，
∴∠FGB=∠2+∠BCF=90°，
由(1)知AH⊥BE，
∴∠AHB=∠FGB=90°，
∴FG//AH，
∴BF：FA=BG：GH，
故答案为：正方形ABCD为正方形，∠1=∠BCF，∠FGB=∠2+∠BCF=90°，FG//AH，
(1)①在BA上截取BF=AE；②过A点作BE的垂线得到AH；
(2)先利用正方形的性质得到AB=BC，∠BAE=∠CBF=90°，再证明△ABE≌△BCF得到∠1=∠BCF，接着证明∠FGB=90°，所以AH//CF，根据利用平行线分线段成比例定理得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例定理证明比例线段．也考查了正方形的性质．

19.【答案】(1)1  4  92.5  95
(2)200×410=80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
(3)画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率=820=25． 
【解析】解：(1)a=1，b=4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c=90+952=92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d=95；
故答案为1，4，92.5，95；

(1)利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
(2)用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
(3)画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．

20.【答案】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
同理，∠DAE=45°，
∵∠BAN=∠BAM+∠DAE=∠BAM+45°，
∠AMC=∠BAM+∠B=∠BAM+45°，
∴∠BAN=∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；

(2)解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB=AC=22，
∵△BAN∽△CMA，
∴BNAC=ABCM，
∴BN22=22CM，
∴BN⋅CM=8，
故BN⋅CM的值为8；

(2)∵BM=CN，
∴BN=CM，
∵BN⋅CM=8，
∴BN=CM=22，
∴MN=BN+CM-BC=42-4，
故MN的长为42-4． 
【解析】(1)利用三角形外角的性质可证∠BAN=∠AMC，又由∠B=∠C=45°，可证明结论；
(2)①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由△BAN∽△CMA，得BNAC=ABCM，则BN⋅CM=8；
②由BM=CN，得BN=CM，由(1)知BN⋅CM=8，得BN=CM=22，从而得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．

21.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(-6)2-4(2m-1)≥0，即-8m+40⩾0解得m≤5，
由根与系数关系知：x1+x2=6，x1x2=2m-1，
∵x1=1，
∴1+x2=6，x2=2m-1，
∴x2=5，m=3；
(2)存在．
∵(x1-1)(x2-1)=6m-5，
∴x1x2-(x1+x2)+1=6m-5，
即2m-1-6+1=6m-5，
整理得m2-8m+12=0，解得m1=2，m2=6，
经检验，m1=2，m2=6是原方程的解
∵m≤5且m≠5，
∴m=2． 
【解析】(1)先利用根的判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m-1，然后利用x1=1可求出x2和m的值；
(2)利用(x1-1)(x2-1)=6m-5得到2m-1-6+1=6m-5，整理得m2-8m+12=0，解得m1=2，m2=6，然后利用m的范围确定m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式等．

22.【答案】解：(1)设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：x-y=4020x=30y，
解得：x=120y=80．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
(2)依题意得：(150-120)(120+143m)+(100-m-80)(150+m)=6600，
整理得：m2-10m=0，
解得：m1=10，m2=0(不符合题意，舍去)．
答：m的值为10． 
【解析】(1)设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，根据一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元且进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总利润=每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23.【答案】解：(1)7240不是“青年数”，9462是“青年数”，
理由：∵对5093，5-0=5，9-3=6≠4，
∴7240不是“青年数”；
∵对9462，9-4=5，6-2=4，
∴9462是“青年数”，
∵P(9462)=2×(9+4)+6+2=34，Q(9462)=9-4=5，
∴F(9462)=P(9462)Q(9462)=345；
(2)设“青年数”m的千位数是a，十位数是b，则m的百位数是a-5，个位数是b-4，(5≤a≤9,4≤b≤9)，
则P(m)=2(a+a-5)+b+b-4=4a+3b-14，
Q(m)=a-4，
∵F(m)能被10整除，
当P(m)=10Q(m)，有4a+3b-14=10(a-4)，
解得：a=6，b=5，或者a=7，b=8，
∴m=6151或m=7284；
当P(m)=20Q(m)，有4a+3b-14=20(a-4)，
解得：a=5，b=7，
∴m=5073；
∴所有满足条件的m值为：6151或7284或5073． 
【解析】(1)根据题中的定义进行判断；
(2)根据题意列方程，再根据10倍，20倍，30倍进行讨论，求出满足条件的整数解．
本题考查了因式分解的应用，求整数解是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标是(0,1)，
∵OB=3OA，
∴OB=3，
∴点B的坐标为(3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A 和点B的坐标代入可得，b=13k+b=0，
解得k=-33b=1，
∴直线AB的解析式为y=-33x+1，
联立直线OC：y=3x和直线AB的解析式得，y=-33x+1y=3x，
解得x=34y=34，
∴点C的坐标是(34,34)；

(2)∵OB=3，OA=1，
∴AB=OA2+OB2=2，
∴AB=2OA，
∴∠OBA=30°，∠OAB=60°，
∵直线OC：y=3x交直线AB于点C．
∴∠COB=60°，
∴∠OCB=90°，
∵S△OBC=12×3×34=338<938，
∴点P在点C的上方，
∵P为直线OC上一动点且在第一象限内，
设点P的坐标为(m,3m)，其中m>0，
∴点P到x轴的距离为3m，
∵S△OBP=S△OCB+S△PCB=338+938=332，
∴12×3×3m=332，
解得m=3，
∴3m=3，
∴点P的坐标是(3,3)，
如图，过点P向左作PP1//x轴，且PP1=MQ=32，则P1的坐标为(32,3)，再作点P1关于x轴的对称点P2，则P2的坐标为(32,-3)，则连接AP2交x轴于点M，在x轴上截取MQ=32，连接PQ，

由作图过程知四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ=P1M，
∴PQ+QM+MA的最小值为P1M+QM+MA=P2M+QM+MA=P2A+MQ，
作AA1⊥P1P2于点A1，则A1的坐标为(32,1)，则AA1=32，A1P2=4，
∴PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ=AA12+A1P22+32
=(32)2+42+32
=67+32．
即PQ+QM+MA最小值为67+32；

(3)存在，理由如下：
第一种情况，DF是正方形的边，由勾股定理得AB=12+(3)2=2，
由点C的坐标是(34,34)，点C沿OC移动到点O(0,0)，由于平移规律相同，可得点A(0,1)平移到点D(-34,14)，点B(3,0)平移到点F(334,-34)，
如图，以AB为边作正方形ABH2H1，过点H2作H2B1⊥x于点B1，

∵∠ABO+∠H2BB1=∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠H2BB1=∠OAB，
∵AB=BH2，∠AOB=∠BB1H2=90°，
∴△ABO≌△BH2B1(AAS)，
∴BB1=AO=1，H2B1=BO=3，
∴OB1=3+1，
∴点H2的坐标为(3+1,3)，
同理可得点H1的坐标为(1,3+1)，
点C的坐标是(34,34)，点C沿OC移动到点O(0,0)，
由于平移规律相同，可知点H1(1,3+1)，点H2(3+1,3)，平移后的坐标即点H的坐标分别为(1-34,3+14)，(334+1,3-34)；
②DF为对角线时，如图，

由题意可得DF=AB=2，
在Rt△DHF中，DH2+HF2=DF2=4，
∴DH2=HF2=2，
∴DH=HF=2，
由点D(-34,14)，F(334,-34)，可知点K的坐标为(34,-14)，
设HN的表达式为y=k1x+b1，
∵HN⊥DF，OC⊥DF，
∴HN//OC，
∴k1=3，
把点K的坐标代入y=3x+b1得，
-14=3×34+b1，
解得b1=-1，
∴HN的表达式为y=3x-1，
设点H的坐标为(h,3h-1)，
由两点间距离公式得，DH=(h+34)2+(3h-54)2，
∴(h+34)2+(3h-54)2=(2)2，
解得h1=3+24(舍去)，h2=3-24，
∴h=3-24，
∴3h-1=-23-14，
∴点H的坐标为(3-24,-23-14)，
综上所述，点H的坐标是(1-34,3+14)或(334+1,3-34)或(3-24,-23-14). 
【解析】(1)先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和OC的解析式，即可求得点C的坐标；
(2)先求出△OBC的面积，证明点P在点C的上方，设点P的坐标为(m,3m)，其中m>0，由S△OBP=S△OCB+S△PCB=338+938=332，求得m，得到点P的坐标，作四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ=P1M，证得PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ，由勾股定理求出答案即可；
(3)分两种情况：DF是正方形的边和DF为对角线，分别进行求解即可．
此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．

25.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，DC=AB=5，AD=BC=6，
∴∠GAE=∠CDE，∠AGE=∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴AGDC=AEDE，
∵AE=32，
∴DE=92，
∴92AG=5×32，
∴AG=53．
②证明：∵AD//BC，
∴∠EFN=∠CMN，
∵∠ENF=∠CNM，EN=NC，
∴△ENF≌△CNM(AAS)，
∴EF=CM，
∵AE=32，AE=DF，
∴DF=32，
∴EF=AD-AE-DF=3，
∴CM=-3，
∵BC=6，
∴BM=3，
∴BM=MC，
∴AB=AC，
∴AM⊥BC．
(2)连接CF，
∵AB=AC，AB=DC，
∴AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA，
∵AE=DF，
∴△AEC≌△DFC(SAS)，
∴CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴∠EHG=∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG=∠EFG+∠CFE=∠CFG，
∴EH//CF，
∴GHHF=GEEC，
∵HF=2GH，
∴GEEC=12，
∵AB//CD，
∴∠GAE=∠CDE，∠AGE=∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴AEDE=GECE，
∴AEDE=12，
∴DE=2AE，
设AE=x，则DE=2x，
∵AD=6，
∴x+2x=6，
∴x=2，
即AE=2，
∴DF=2，
∴EF=AD-AE-DF=2． 
【解析】(1)①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
(2)连接CF，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．