【解析版】2022年道生中学九年级上第一次月考数学试卷

2022学年重庆市万州区道生中学九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x＜1 B． x≤1 C． x＞1 D． x≥1

2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

　 A． B． C． D．

3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

　 A． x2+1=0 B． x2﹣2x+1=0 C． x2+x+2=0 D． x2+2x﹣1=0

4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）

　 A． x≥0 B． x≠1 C． x＞0 D． x≥0且x≠1

5．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（　　）

　 A． =• B． =+ C． （）2=a D． =

6．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 1或2 D． 0

8．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a；②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解为x=；③若分式的值为0，则x=3或x=﹣1．其中答案完全正确的题目有（　　）

　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

9．估计×+的运算结果应在（　　）

　 A． 5到6之间 B． 6到7之间 C． 7到8之间 D． 8到9之间

10．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（　　）

　 A． x1=1，x2=3 B． x1=﹣2，x2=3 C． x1=﹣3，x2=﹣1 D． x1=﹣1，x2=﹣2

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．方程x（x﹣2）=x的根是　　　　　　．

12．计算：4﹣=　　　　　　．

13．当x＞时，得　　　　　　．

14．化简的结果是　　　　　　．

15．若最简二次根式与﹣2是同类二次根式，则x等于　　　　　　．

16．“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头将成为推动山西经济发展的重要动力．2012年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2014年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么平均增长率应为　　　　　　．

17．+=　　　　　　．

18．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是　　　　　　．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．用恰当的方法解下列方程．

（1）x2﹣4x+1=0；

（2）（x+4）2﹣（x+5）2+（x﹣3）2=24+4x．

20．计算：+（﹣ ）+．

21．（10分）（2012•滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．

解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打　　　　　　场比赛，比赛总场数用代数式表示为　　　　　　．根据题意，可列出方程　　　　　　．

整理，得　　　　　　．

解这个方程，得　　　　　　．

合乎实际意义的解为　　　　　　．

答：应邀请　　　　　　支球队参赛．

22．（10分）（2014秋•万州区校级月考）已知x=+，y=﹣．

求：（1）+；

（2）2x2+6xy+2y2．

23．（10分）（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0．

（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

24．如x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．

（1）填空：m+n=　　　　　　，m•n=　　　　　　；

（2）计算的值．

25．（12分）（2014•兴庆区校级一模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加　　　　　　件，每件商品盈利　　　　　　元（用含x的代数式表示）

（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

2022学年重庆市万州区道生中学九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x＜1 B． x≤1 C． x＞1 D． x≥1

考点： 二次根式有意义的条件． 

分析： 根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

解答： 解：∵式子在实数范围内有意义，

∴x﹣1≥0，解得x≥1．

故选D．

点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 最简二次根式． 

分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解答： 解：A、=2被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；

B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；

C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；

D、被开方数不含分母，故D错误；

故选：B．

点评： 本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

　 A． x2+1=0 B． x2﹣2x+1=0 C． x2+x+2=0 D． x2+2x﹣1=0

考点： 根的判别式． 

分析： 分别计算各选项中根的判别式△=b2﹣4ac的值，再找出△＞0的方程即可．

解答： 解：A、∵△=0﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根；

B、∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根；

C、∵△=1﹣8=﹣7＜0，∴方程没有实数根；

D、∵△=4+4=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；

故选D．

点评： 本题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）

　 A． x≥0 B． x≠1 C． x＞0 D． x≥0且x≠1

考点： 分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 

专题： 计算题．

分析： 代数式有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．

解答： 解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．

解得：x≥0且x≠1．

故选：D．

点评： 式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件．

分式有意义的条件为：分母≠0；

二次根式有意义的条件为：被开方数≥0．

此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件，导致漏解情况．

5．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（　　）

　 A． =• B． =+ C． （）2=a D． =

考点： 二次根式的混合运算． 

分析： 分别根据二次根式的乘除法及二次根式的加法法则进行逐一分析即可．

解答： 解：A、正确，符合二次根式乘法的逆运算；

B、错误，不符合二次根式的加法法则；

C、正确，符合二次根式乘法法则；

D、正确，符合二次根式的除法法则．

故选B．

点评： 本题考查的是二次根式的乘除法及加法法则，比较简单．

6．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 同类二次根式． 

分析： 先把各根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．

解答： 解：=3，

A、=2，与被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；

B、=2，与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；

C、与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；

D、=3，与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；

故选A．

点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 1或2 D． 0

考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义． 

分析： 根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，

∴，

解得：m=2．

故选：B．

点评： 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

8．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a；②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解为x=；③若分式的值为0，则x=3或x=﹣1．其中答案完全正确的题目有（　　）

　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

考点： 解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方法． 

专题： 计算题．

分析： 根据直接开平方法解方程可对①进行判断；利用因式分解法解方程可对②进行判断；利用因式分解法解方程和分式有意义的条件可对③进行判断．

解答： 解：若x2=a2，则x=±a，所以①错误；

方程2x（x﹣1）=x﹣1的解为x1=，x2=1，所以②错误；

若分式的值为0，则x=3，所以③错误．

故选A．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了分式的值为零的条件．

9．估计×+的运算结果应在（　　）

　 A． 5到6之间 B． 6到7之间 C． 7到8之间 D． 8到9之间

考点： 二次根式的乘除法；估算无理数的大小． 

分析： 首先急速那二次根式的乘法，然后进行化简，最后确定结果的范围即可．

解答： 解：原式=+3=2+3=5，

∵49＜（5）2=50＜64，

∴7＜5＜8．

故选C．

点评： 本题考查了二次根式的乘法运算，正确对二次根式进行化简是关键．

10．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（　　）

　 A． x1=1，x2=3 B． x1=﹣2，x2=3 C． x1=﹣3，x2=﹣1 D． x1=﹣1，x2=﹣2

考点： 换元法解一元二次方程． 

专题： 换元法．

分析： 首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．

解答： 解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，

设y=2x+5，

方程可以变为 y2﹣4y+3=0，

∴y1=1，y2=3，

当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；

当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，

所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．

故选：D．

点评： 此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．方程x（x﹣2）=x的根是　x1=0，x2=3　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 

专题： 压轴题．

分析： 观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解．

解答： 解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，

x（x﹣2﹣1）=0，

x=0或x﹣3=0，

解得：x1=0，x2=3．

点评： 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．

12．计算：4﹣=　0　．

考点： 二次根式的加减法． 

专题： 计算题．

分析： 先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．

解答： 解：原式=4×﹣2=0．

故答案为：0．

点评： 此题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．

13．当x＞时，得　2x﹣1　．

考点： 二次根式的性质与化简． 

专题： 计算题．

分析： 由x的范围确定出2x﹣1的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

解答： 解：∵x＞，

∴2x﹣1＞0，

则原式==|2x﹣1|=2x﹣1．

故答案为：2x﹣1．

点评： 此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．化简的结果是　　．

考点： 二次根式的乘除法． 

分析： 首先把分母中的根式进行化简，然后进行分式化简即可．

解答： 解：原式===．

故答案是：．

点评： 本题考查了分式的除法运算，正确对根式进行化简是关键．

15．若最简二次根式与﹣2是同类二次根式，则x等于　3　．

考点： 同类二次根式． 

分析： 根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．

解答： 解：∵最简二次根式与﹣2是同类二次根式，

∴2x+1=3x﹣2，

解得：x=3，

故答案为：3．

点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

16．“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头将成为推动山西经济发展的重要动力．2012年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2014年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么平均增长率应为　20%　．

考点： 一元二次方程的应用． 

专题： 增长率问题．

分析： 根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．

解答： 解：设年平均增长率为x，

则1000（1+x）2=1440，

解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去）．

故年平均增长率为20%．

故答案为：20%．

点评： 本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．

17．+=　0　．

考点： 二次根式有意义的条件． 

分析： 根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后计算即可得解．

解答： 解：由题意得，1﹣x≥0且x﹣1≥0，

解得x≤1且x≥1，

所以，x=1，

所以，+=0+0=0．

故答案为：0．

点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

18．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是　（32﹣2x）（20﹣x）=570　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 

分析： 设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．

解答： 解：设宽为xm，

（32﹣2x）（20﹣x）=570．

故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．

点评： 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．用恰当的方法解下列方程．

（1）x2﹣4x+1=0；

（2）（x+4）2﹣（x+5）2+（x﹣3）2=24+4x．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 

专题： 计算题．

分析： （1）利用配方法得（x﹣2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；

（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

解答： 解：（1）x2﹣4x+4=3，

（x﹣2）2=3，

x﹣2=±，

所以x1=2+，x2=2﹣；

（2）x2﹣12x﹣24=0，

（x﹣12）（x+2）=0，

x﹣12=0或x+2=0，

所以x1=12，x2=﹣2．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．

20．计算：+（﹣ ）+．

考点： 二次根式的混合运算． 

专题： 计算题．

分析： 先分母有理化，再根据二次根式乘除法进行计算即可．

解答： 解：原式=

=4．

点评： 本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．

21．（10分）（2012•滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．

解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打　（x﹣1）　场比赛，比赛总场数用代数式表示为　x（x﹣1）　．根据题意，可列出方程　x（x﹣1）=28　．

整理，得　x2﹣x﹣56=0　．

解这个方程，得　x1=8，x2=﹣7　．

合乎实际意义的解为　x=8　．

答：应邀请　8　支球队参赛．

考点： 一元二次方程的应用． 

分析： 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程求解．

解答： 解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打（x﹣1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为 x（x﹣1）．

根据题意，可列出方程x（x﹣1）=28．

整理，得x2﹣x﹣56=0，

解这个方程，得 x1=8，x2=﹣7．

合乎实际意义的解为 x=8．

答：应邀请 8支球队参赛．

故答案为：（x﹣1）； x（x﹣1）；x（x﹣1）=28；x2﹣x﹣56=0；x1=8，x2=﹣7；x=8；8．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

22．（10分）（2014秋•万州区校级月考）已知x=+，y=﹣．

求：（1）+；

（2）2x2+6xy+2y2．

考点： 二次根式的化简求值． 

分析： （1）先求出x+y和xy的值，再通分，变形，最后整体代入求出即可；

（2）先求出x+y和xy的值，提取公因式2，再变形，最后整体代入求出即可

解答： 解：∵x=+，y=﹣，

∴xy=1，x+y=2，

（1）+

=

=

=

=10；

（2）2x2+6xy+2y2

=2（x2+3xy+y2）

=2[（x+y）2+xy]

=2×[（2）2+1]

=26．

点评： 本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算的应用，能灵活变形是解此题的关键，用了整体代入思想．

23．（10分）（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0．

（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-配方法． 

专题： 配方法．

分析： （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要说明△＞0即可．

（2）当k=2时，原方程即x2+2x﹣3=0，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的两边同时加上一次项系数的一半，则方程左边就是完全平方式，右边是0，即可利用开平方法求解．

解答： （1）证明：∵a=1，b=k，c=﹣3，

∴△=k2﹣4×1×（﹣3）=k2+12，

∵不论k为何实数，k2≥0，

∴k2+12＞0，即△＞0，

因此，不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：当k=2时，原一元二次方程即x2+2x﹣3=0，

∴x2+2x+1=4，

∴（x+1）2=4，

∴x+1=2或x+1=﹣2，

∴此时方程的根为x1=1，x2=﹣3．

点评： 本题是对根的判别式和配方法的综合试题，考查了对根的判别式与配方法的应用，同时也考查了非负数的性质．

24．如x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．

（1）填空：m+n=　3　，m•n=　　；

（2）计算的值．

考点： 根与系数的关系． 

专题： 计算题．

分析： （1）直接根据根与系数的关系求解；

（2）先把通分得到，然后把（1）中的结果代入计算即可．

解答： 解：（1）根据题意得m+n=﹣=3，mn=；

（2）原式=

=

=4．

故答案为3，．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

25．（12分）（2014•兴庆区校级一模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　50﹣x　元（用含x的代数式表示）

（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

考点： 一元二次方程的应用． 

专题： 销售问题．

分析： （1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；

（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．

解答： 解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x；

故答案为：2x；50﹣x；

（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100

化简得：x2﹣35x+300=0，

即（x﹣15）（x﹣20）=0

解得：x1=15，x2=20

由于该商场为了尽快减少库存，因此降的越多，越吸引顾客，

故选x=20，

答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．

点评： 考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．