2022年湖北省荆州市中考数学一模试卷（含解析）

2022年湖北省荆州市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，主视图是长方形的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 一副三角尺的位置如图所示，其中三角尺绕点逆时针旋转度，使它的某一边与平行，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

5. 平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

7. 将无限循环小数．化为分数，可以设．，则，解得：仿此，将无限循环小数．化为分数为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 关于的分式方程的解为正数．为得到的取值范围，下列过程或结论，其中不正确的是

A.  B.
C.  D. 且

10. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 或个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是______．
13. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为______ 米结果保留根号．
    
     

14. 如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则的值为______．
    
     

15. 如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______．
    
     

16. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 若，求关于的不等式的解集．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在的正方形网格中小正方形的顶点称为格点，请按要求画图，且所画的点都必须是格点，两端点都在格点上的线段称之为格点线段．
    作格点线段，使是等腰直角三角形作一种情况即可；
    作点关于的对称点，保留格点线段．

20. 某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等第：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如图统计图部分信息未给出．
    
    由图中给出的信息解答下列问题：
    求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
    求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
    这次测试成绩的中位数是什么等级？
    如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
    
    
    
    
    
    
     
21. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
点，，，在函数图象上，则______，______；填“”，“”或“”
当函数值时，求自变量的值；
在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值；
若直线与函数图象有三个不同的交点，求的取值范围．






 

22. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
    
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

求与的函数关系式不求自变量的取值范围；
在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为元，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．






 

24. 如图，在矩形中，，，点为线段上的一个动点，点从点出发，以每秒个单位的速度从点向点运动，过点作的平行线交于点，将沿折叠，点落在点处，连、，如图，设运动的时间为秒；
    观察猜想：
    当点运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，求的变化范围，若不发生变化，直接写出的值．
    在点运动过程中，线段的最小值为______直接写出答案；
    推理探究：设与的重叠部分的面积为，请你直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
    拓展延伸：延长交直线于，交直线于，在运动过程中，当为的中点时如图，试求出的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
根据相反数的定义，即可解答．
【角度】
解：的相反数是．  

2.【答案】
 

【解析】解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆形，四面体的主视图是三角形，
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，主视图就是从正面看该物体所得到的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的运算，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，当时，

，
，
即的最小值是．
故选：．
当时，由平行线的性质可得出，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，关于轴对称，此选项不符合题意；
B、，两个分支处在一、三象限，关于原点对称，此选项符合题意；
C、，过一、三、四象限，此选项不符合题意；
D、，第四象限的角平分线，此选项不符合题意．
故选：．
分别根据函数的性质来判断是否对称．
本题考查反比例函数的对称性，解题的关键是要熟练掌握反比例函数不但关于原点对称，也关于象限的角平分线对称．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
．
故选：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设．，
则，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：，
．．
故选：．
设．，则，根据解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此题主要考查了无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
且，
且，
解得：且，
选项A符合题意；
故选：．
根据题意列出求的取值范围的解答过程，再对比每个选项即可得出答案．
本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意正确得出不等式组是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：直线不经过第一象限，
，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：．
由直线解析式求得，然后确定的符号即可．
本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】且
 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．
故答案为：．  

13.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由可得出∽，利用三角形相似的性质结合，可得即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：图中阴影部分的面积为，
圆的面积，
圆的半径，
在圆上，
，解得或舍去，
点坐标为，
把代入得，
反比例函数的解析式为．
故答案为．
根据反比例函数图象的对称性得到圆的面积，再计算出圆的半径，然后利用勾股定理得到，解得或舍去，则点坐标为，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求得．
本题考查了待定系数法以及反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：二、四象限的角平分线；一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
解得．
故答案为：或．
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的一元二次方程，解方程即可求解．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等，对“相反点”的理解是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：

，
把代入不等式得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
 

【解析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义求出的值，代入不等式计算即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：



，
分式的分母，，，
解得：，
取，
当时，原式．
 

【解析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，线段即为所求．

如图所示，点即为所求．
 

【解析】作点关于的对称点即可；
作以、为邻边的菱形即可得出答案．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及菱形的性质等知识点．
 

20.【答案】解：人，
人，
直方图如图所示：


“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

这次测试成绩的中位数是良好．

人，
答：估计该校获得优秀的学生有人．
 

【解析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题．
根据圆心角百分比计算即可．
根据中位数的定义判断即可．
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
 

21.【答案】如图所示：

，，
与在上，随的增大而增大，；
，，
观察图象可得；
故答案为，；
当，时，，；
当时，时，有，
或；
，在的右侧，
时，点关于对称，
，
；
由图象可知，；
 

【解析】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
描点连线即可；
与在上，随的增大而增大，所以；观察图象可得；
当时，，则有或；
由图可知时，点关于对称，当时；
由图象可知，；
 

22.【答案】解：
连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
，
即，
是的切线；
，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得或舍去，
．
 

【解析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义，圆周角定理和勾股定理可求出、及，证明∽，再根据相似三角形的性质得到，设，则，，进而可求出答案．
 

23.【答案】解：设和的函数表达式为，则，
解得，
故和的函数表达式为；
设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
由题意得，
解得，
则，
与之间的函数关系式，自变量的取值范围为．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
由周利润每件的利润销售量列出函数解析式，并根据销售单价不低于成本价，且不高于元件求出自变量的取值范围．
本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
 

24.【答案】
 

【解析】解：的大小不变，，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
；
由，
当时，，
故答案是：；
，
，
当时，
，
如图，

当时，
连接交于交于点，
，
，
，
，
由∽得，
，
，
，
；
如图，

作交于，作于，作于，于，
由∽得，
，
设，则，
，
，，
由得，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，，
，，
在中，
--，
，
，
在中，
，
，
．
可推出，从而求得；
时，；
当时，，当时，，进而表示出上的高，根据相似三角形面积比等于对应高的比，从而表示出，进而求得结果；
作交于，作于，作于，于，先求得的三角函数值，进而求得，从而表示出，求出，进而表示出及，解直角三角形，进而解直角三角形，进而求得结果．
本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强计算能力．