2022年湖北省十堰市中考数学一模试卷（含解析）

2022年湖北省十堰市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 数，，，中最小的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 一副直角三角板如图摆放，点在的延长线上，，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是

A. 一组数据，，，，的中位数是
B. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应选用普查方式
C. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
D. 若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，，，则甲的成绩较稳定

6. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接下列结论中不一定成立的是

A.  B.
C. 平分 D.

7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，，，是上三点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”如图现分别在，上取点，如图，使得，连接，，，记的面积为，的面积为，若正方形的面积为，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上．则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 伴随“互联网”时代的来临，预计到年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到，将数据用科学记数法表示为______．
12. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
13. 如图所示的网格是正方形网格，则          点，，是网格线交点．
    
     

14. 定义运算“”：，若，则的值为______．
15. 如图，中，，，以点为中心逆时针旋转，使点旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形图中阴影部分的面积是______ ．

16. 如图，已知中，，，，将绕点逆时针旋转一定的角度，若，直线分别交，于点，，当为等腰三角形时，则的长为______ ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：

根据信息解答下列问题：
填空：______，______，并补全条形统计图；
这名朋友一天行走步数中位数落在______组；填组别
张老师准备随机给排名前名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．

20. 关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一根大于，求的取值范围．
21. 如图，在四边形中，，是的中点，，．
    求证：四边形是菱形；
    过点作于点，若，，求的长．

22. 如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接．
    求证：是的切线；
    延长交的延长线于点，若，，求的值．

23. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过天完成．这种设备的出厂价为元台，该企业第一天生产台设备，第二天开始，每天比前一天多生产台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天为整数的生产成本为元台，与的关系如图所示．
    若第天可以生产这种设备台，则与的函数关系式为______，的取值范围为______；
    第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
    求当天销售利润低于元的天数．
24. 在等边三角形外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接交于点．
    依据题意补全图形；
    当时，______；______；
    连接，求证：；
    当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．

求该抛物线的表达式；

点为该抛物线上的一动点与点、不重合，设点的横坐标为．

当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值；

该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
数，，，中最小的是．
故选：．
先根据有理数的大小比较法则比较四个数的大小，再得出答案即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；
C、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
D、这个三棱柱的主视图是正方形，左视图是三角形，符合题意；
故选：．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【解答】
解： ，原来的运算错误，故选项 A 不符合题意；
B. ，原来的运算错误，故选项 B 不符合题意；
C. ，原来的运算错误，故选项 C 不符合题意；
D. ，原来的运算正确，故选项 D 符合题意．
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：与为一副直角三角板，
，，
，
，
．
故选：．
本题根据一副直角三角板，可知，，再借助平行线的性质，先求出，从而求出的大小．
本题考查了平行线的性质，学生需悉知一副直角三角板各个角的大小特点，再结合平行线的性质便可解决问题．体现了数学的转化思想、模型思想．
 

5.【答案】

【解析】解：、一组数据，，，，的中位数是，故原命题错误，不符合题意；
B、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽查的方式，故原命题错误，不符合题意；
C、“买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
D、若甲、乙两人六次跳远成绩平均数相同，，，则甲的成绩较稳定，正确，符合题意，
故选：．
利用中位数的定义、调查方式的选择、事件的性质的判断及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了中位数的定义、调查方式的选择、事件的性质的判断及方差的知识，属于基础性知识，比较简单．
 

6.【答案】

【解析】解：由尺规作图可知：，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
平分，，，故选项A、C正确，
，
，故选项B正确；
故选：．
首先证明四边形是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，，，，
，，
，
故选：．
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，
，
，
由，
，
．
故选：．
连接，要求的度数，只要在等腰三角形中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图中，设，，
则有，
解得，
，
故选：．
如图中，设，，构建方程组求出，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、弦图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】

【解析】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、
则，三角形是等腰直角三角形，，，，
其斜边的中点在反比例函数，即，
，
设，则此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，

，
故选：．
根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
 

11.【答案】

【解析】解：将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：多边形的外角和是度，多边形的内角和是外角和的倍，
则内角和是度，
，
这个多边形是六边形．
故答案为：．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，

，，
，
故答案为：．
根据图形，可知，，从而可以得到的值．
本题考查三角形的内角和外角的关系，解答本题的关键是明确题意，知道三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和．
 

14.【答案】或

【解析】解：当时，，，
经检验，是原分式方程的解；
当时，，，
经检验，是原分式方程的解；
综上所述，或；
故答案为：或．
首先认真分析找出规律，根据与的取值范围，分别得出分式方程，可得对应的值．
本题主要考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．
 

15.【答案】

【解析】解：根据旋转变换的性质，≌，
，，，
，
阴影面积．
根据旋转变换的性质可得与全等，从而得到阴影部分的面积扇形的面积小扇形的面积．
本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
 

16.【答案】或

【解析】解：如图中，当时，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，当时，过点作于．

同法可证，，设，则有，
解得，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，过点作于分别求解即可．
考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】，  ；

；
画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为，
甲、乙被同时点赞．

【解析】解：组人数为，
则，，
故答案为；；
，组共有人，
这名朋友一天行走步数的中位数落在组；
故答案为；

分别用组、组的频数除以总人数得到、的值；
利用中位数的定义进行判断；
画树状图展示种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：依题意，得，
，
方程总有两个实数根；
，
，
，，
方程有一个根大于，
，
．
的取值范围是．

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据判别式即可得；
因式分解法得出，，由方程有一个根大于知，解之可得．
 

21.【答案】证明：，是的中点，

，
又，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形．
过点作于点，
，，
，
，
，
，
又，
，
．

【解析】根据直角三角形的性质和菱形的判定解答即可；
根据菱形的性质和面积解答即可．
此题考查菱形的判定和性质，关键是根据菱形的性质和判定解答．
 

22.【答案】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

连接，设的半径为，
、，
，，
则，
解得：，
，
，
，
∽，
，即，
解得：．

【解析】连接，由得，由知，根据得，从而得出，即可得证；
连接，设，再中利用勾股定理求得，再证∽得，据此求解可得．
本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：，
设当天的销售利润为元，
则当时，
，
，
随的增大而增大，
当时，．
当时，
设，将和代入得：
，
解得：，
与的关系式为：，


．
此时图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，天数为整数，
当时，有最大值，为元，
，
当时，最大，且元，
答：该厂第天获得的利润最大，最大利润是元．
由可得，
时，，
解得：
则第天当天利润低于元，
当时，，
解得舍去，或，
第天当天利润低于元，
故当天销售利润低于元的天数有天．

【解析】解：根据题意，得与的解析式为：，
故答案为：，；
见答案，
见答案．
本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键在于理解题意、利用待定系数法确定函数的解析式并分类讨论．
 

24.【答案】如图，补全图形：

   由对称可知，，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
当时，，
证明：在上截取，

，
是等边三角形，
，
，
≌，
，
，
，
即．

【解析】解：见答案
连接，

三角形为等边三角形，
，，
由对称可知，，
，
，
，
，
，
，
故答案为，；
见答案
见答案
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点、坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
将代入二次函数表达式，得：或点舍去，
则点，
如图，过点作轴的平行线交于点，

将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
则点，点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；


当点在直线下方时，设直线与交于点，
，点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，
过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线中垂线的表达式为：，
因为抛物线的表达式为：，
所以顶点的坐标为
同理直线的表达式为：，
联立并解得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
联立并解得：或点舍去，
故点；
当点在直线上方时，
，，
根据的表达式，可设直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：，
联立并解得：或点舍去，
故点，
故点的坐标为或．

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中要分类求解，避免遗漏．
将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解；
由即可求解；
分点在直线下方、上方两种情况分别求解即可．