2022年湖北省鄂州市中考数学一模试卷（含解析）

2022年湖北省鄂州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
   在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．
   以为圆心，长为半径画，交于点，连接，此时有则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 若是不为的有理数，则把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，则

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且≌设直线的表达式为，直线的表达式为，则

A.  B.  C.  D.

8. 如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差即为米．则秋千链子的长为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，为任意实数，当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. “最美鄂州，从我做起”“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动名志愿者参加劳动的时间单位：小时分别为：，，，，，这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______．
13. 实数，分别满足，，且，则的值是______．
14. 如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点是______．

15. 如图，直线：与轴、轴分别相交于点和点，以线段为边在第一象限作正方形若双曲线与正方形的边始终有一个交点，的取值范围是______．
     

16. 如图，在四边形中，，，，连接、，若，则的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 戏曲进校园，经典共传承．为进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了戏曲文化知识竞赛，将所有参赛选手的成绩单位：分，均为整数分成了，，，四个等级，根据成绩绘制成如下统计图表部分信息未给出：

本次参赛选手共有______名，等级学生人数有______名；
赛前规定，成绩由高到低前的选手获奖，选手小明的成绩为分，试判断他是否获奖，并说明理由；
学校准备从成绩为等级的选手中任选名学生作为代表在全校师生大会上发言，求选中的名学生至少有名学生的成绩不低于分的概率．

19. 如图，在中，，，垂足为，是的中点，的延长线与的延长线交于点．
    若，求的值；
    若，，求的值．
     

20. 西山公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为：，一楼到地下停车场地面的垂直高度米，一楼到地平线的距离米．
    
    为保证斜坡的坡度为：，斜面的长度应为多少米？
    如果给该地下停车场送货的货车高度为米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．参考数据：
21. 已知、两地之间有一条千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程千米与甲车的行驶时间时之间的函数关系如图所示．
    ______，______．
    求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
    当甲车到达距地千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

22. 如图，在中，，是的角平分线．以为圆心，为半径作．
    求证：是的切线．
    已知交于点，延长交于点，，的半径为，求的值．
     

23. 若三个实数，，满足，且，则有：结论不需要证明．
    例如：．
    根据以上阅读，请解决下列问题：
    【基础训练】
    求的值．
    【能力提升】
    设，求的整数部分．
    【拓展升华】
    已知，其中，且当取得最小值时，求的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
    求抛物线的函数表达式；
    若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
    如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；
    若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】
解：实数 的相反数是： ．
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．
故选 D ．   

5.【答案】

【解析】解：由题意，
，，
设，则，
，
，
，
故选：．
由题意，推出，，设，则，利用三角形内角和定理，构建方程求解．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

6.【答案】

【解析】解：根据题意可知：
，
，
，
，
，
依此类推，发现，，三个数为一个循环，
，
则．
故选：．
根据题意可以求出前四个数，进而可得，，三个数一个循环，进而可得结果．
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律；三个数一个循环．
 

7.【答案】

【解析】解：直线的表达式为，
，，
，，
直线的表达式为，
，，
，，
≌，
，，
，，
，，
，
故选：．
根据直线和直线的解析式，求出，，，点坐标，进一步求出，，，，再根据≌，可得，，表示出，，进一步求解即可．
本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的性质，求出两直线与两坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：
，
设的半径为米，
由勾股定理得：，
，
解得：．
故选：．
由垂径定理得：，设的半径为米，再根据勾股定理求得的长，可得结论．
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
对称轴为直线，
与时，的值相同，
当时，，故错误；
当时，，
，
，故正确；
当时，的值最小，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
当时，随的增大而减小，故错误，
综上，结论正确的有个．
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况、二次函数图象上点的坐标的特征以及二次函数的最值，对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
又，
≌，
，，
，
即，
，
即点在的角平分线上运动，
作点关于的对称点，
点在的延长线上，
当点，，三点共线时，最小．
在中，，，
，
的最小值为，
此时的周长为．
故选：．
连接，过点作交延长线于点，先证明≌，即可得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，当点，，三点共线时，最小，根据勾股定理求出的最小值为，即可求出此时的周长为．
本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短路径是本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可得解．
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：数据，，，，，的平均数是，
，
解得，
这组数据按照从小到大排列是：，，，，，，
这组数据的中位数是，
故答案为：．
根据数据，，，，，的平均数是，可以计算出的值，然后将这组数据排序，找出中间的两个数，求这两个数的平均数，即可得到这组数据的中位数．
本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会求一组数据的中位数．
 

13.【答案】

【解析】解：实数，分别满足，，且，
与为方程的两个根，
，，
则原式．
故答案为：．
根据题意得到与为方程的两个根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，，，
即轴，
在中，
由勾股定理得：，
的面积．
故答案为：．
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，再利用三角形的面积公式解答即可．
此题主要考查了菱形的性质和勾股定理，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：作轴于，则，
直线：与轴、轴分别相交于点和点，
，，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为．
同理可得出点的坐标为．
当双曲线过点时，；
当双曲线过点时，，
当双曲线与正方形的边始终有一个交点时，的取值范围为．
故答案为：．
作轴于，易证≌，利用全等三角形的性质可求出点的坐标，同理可求出点的坐标，利用极限值法可求出的最大、最小值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用全等三角形的性质，求出点、的坐标，利用极限值法找出的取值范围．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作，且，，连接
、，如图所示：

，
，
又，
，
又，
，
又，，
，
又，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：
，
又，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌
，
又，
，
在中，由勾股定理得；
，

作辅助线求得，由勾股定理求得，，，根据边角边证明≌，其性质得，最后在中，由勾股定理求得，即求得的长为．
本题综合考查了垂直的定义，等腰三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，勾股定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形和全等三角形．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式．

【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次参赛选手共有：名，
在扇形统计图中，等级的人数为：名，
在扇形统计图中，等级的人数为名，
故答案为：，；

获奖，理由如下：
选手小明的成绩为分，
在范围内，
组有人，人，前的选手获奖即前人都获奖，
小明应获奖；

把不低于分的记为，低于分的记为，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，选中的名学生至少有名学生的成绩不低于分的结果有个，
选中的名学生至少有名学生的成绩不低于分的概率为．
由的人数除以所占百分比求出参赛选手共有的人数，即可解决问题；
由小明的成绩得出在组，再由题意前的选手获奖即前人都获奖，即可得出结论；
画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和扇形统计图．
 

19.【答案】解：，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
∽，
；
，，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．

【解析】证明，再由，得到∽，即可解决问题；
证明∽，得到，根据∽计算，求得．
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，同时还渗透了对直角三角形的性质等几何知识的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
 

20.【答案】解：斜坡的坡度为：，
，
米，
在中，米，
故AD米，
答：斜面的长度应约为米．

过作，垂足为，
，
，
，
，
设米，则米，
在中，
，
解得：，
则，
，
货车能进入地下停车场．

【解析】由题意可得米，然后在中，坡比的定义以及勾股定理，即可求得的长；
首先过作，垂足为，在中，由坡角的定义即可得的长，继而求得答案．
此题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解．
 

21.【答案】 

【解析】解：乙车的速度为：千米时，
，．
故答案为：；；
千米，
当时，设，根据题意得：
，解得，
；
当时，，
．
甲车到达距地千米处时，，
将代入，
得，
即当甲车到达距地千米处时，甲、乙两车之间的路程是千米．
根据图象可知两车小时后相遇，根据路程和为千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定、的值；
运用待定系数法解得即可；
求出甲车到达距地千米处时行驶的时间，代入的结论解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：如图，过点作于点，

平分，，，
，
是的切线；
如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
设，，
∽，
，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，，
由可知：，
，
，
∽，
，
设，
，
，
在中，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，
．

【解析】由于题目没有说明直线与有交点，所以过点作于点，然后证明即可；
连接，先求证，然后可知∽，所以，进而得出．
本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明∽本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．
 

23.【答案】解：；





，
故整数部分为；
由题意得，

，
又，
原式，
因为取最小值，
所以，而，
因此，，
答：的取值范围为．

【解析】根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
将进行化简，再确定整数部分；
将原式化简为，再根据取最小值时，确定的取值范围．
本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．
 

24.【答案】解：点，在抛物线上，
，
，
抛物线的表达式为，

如图，令，则，
，
，
，
，，
要使以，，为顶点的三角形与相似，
，
则有或
当时，
，
，
当时，
，
，

即：的坐标为或

设，
轴，
点的纵坐标为，
在抛物线上，
，
舍或，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
轴，轴，
，
，
当时，四边形的面积最大为．
当时，，
；

如图，为抛物线的顶点，
，
关于轴的对称点，
在抛物线上，
，
点关于轴的对称点，
直线的解析式为，
，

【解析】根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；
分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点的坐标；
先求出直线的解析式，进而求出四边形的面积的函数关系式，即可求出最大值；
利用对称性找出点，的位置，进而求出，的坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，对称性，极值的确定，解的关键是分类讨论，解的关键是表示出，解的关键是利用对称性找出点，的位置，是一道中等难度的题目．