2024年湖北省荆州市荆楚初中联盟中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省荆州市荆楚初中联盟中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −12024C. −2024D. 12024
2.如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是( )
A. 左视图B. 主视图C. 俯视图D. 左视图和俯视图
3.天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为( )
A. 0.393×107B. 3.93×105C. 3.93×106D. 393×103
4.下列计算正确的是( )
A. a3+a3=a6B. a3⋅a3=a9C. (a3)2=a6D. a3−a3=a
5.不等式组3m−2≤12−m<3的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=150°，∠3=55°，则∠2的度数为( )
A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°
7.如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是( )
A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③
8.随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身.其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg.如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，请列出关于的x分式方程( )
A. 12000x=14000x+1500B. 14000x=12000x+1500
C. x12000=x+150014000D. x14000=x+150012000
9.如图，点C(4,0)，D(0,3)，O(0,0)，在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=( )
A. 12
B. 34
C. 45
D. 35
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不相等的实数根；③a+b+c>7.其中，错误结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.计算：|−2|−38=______．
12.如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是______．
13.用火柴棍摆出一组如图所示的图形：

按照这种规律摆下去，则第n个图形用火柴棍的根数为______(用含n的式子表示)．
14.如图，将边长为6的等边△ABC纸片沿DE折叠，使B点落在AC上的F点，若CF=2，则折痕DE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.化简：a−ba÷(a−2ab−b2a).
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：直线l及其外一点A.求作：l的垂线，使它经过点A.小华同学按下列步骤作图(如图)：①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁；②以点A为圆心，AM长为半径作弧，交直线l于点B和D；③分别以点B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C；④作直线AC，直线AC即为所求．
(1)证明：AC⊥直线l；
(2)若点A到直线l的距离为8，AB=10，求四边形ABCD的面积．
17.(本小题8分)
如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点A处，测得塔顶C的仰角为30°，然后沿着AD的方向前进60m，到达B点，在B处测得塔顶C的仰角为60°.(A、B、D三点在同一条直线上).请你根据他们的测量数据计算塔CD的高度.(结果精确到整数， 3=1.732)
18.(本小题8分)
中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广.为了传承优秀传统文化，某校教务处组织了一次全校1500名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)这次比赛成绩的中位数落在______分数段；
(4)若成绩在80分以上(包含80分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
19.(本小题8分)
如图，直线l1：y=−12x+72与y轴交于点B，与直线l2：y=112x交于点A，双曲线y=kx(x>0)过点A．
(1)求反比例函数y=kx的解析式；
(2)①若将直线l2射线AB方向平移，当点A到点B时停止，则直线l2在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为______；
②直接写出直线l1与双曲线y=kx(x>0)围成的区域内(图中阴影部分，不含边界)整点(横坐标和纵坐标都是整数)的坐标．
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作DE/​/AB交CB的延长线于点E，连接AD，BD．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，CE=AC.求BC的长度．
21.(本小题8分)
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．

(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上.点B，C在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
22.(本小题8分)
【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
(1)如图2，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，垂足为点G，若4AB=3AD，BE=6，求AF的长．
【迁移探究】
(2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AC上一点，连接BD，作AE⊥BD交BC于点E，求证：ABAD=BECE．
【拓展应用】
(3)如图4，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，作点A关于BC的对称点D，点E为AB上一点，连接CE，过点D作CE的垂线，交AC于F，垂足为G，若E为AB中点，则DF= ______．
23.(本小题8分)
已知抛物线G1：y=−14x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点C(0,2)，点B(0,−2)为y轴上一点．

(1)求抛物线G1的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且∠ABE=12∠BAC，BE与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是G1上的一个动点，连接BP，取BP的中点P′，设点P′构成的曲线是G2，直线y=m与G1，G2的交点从左至右依次为P1，P2，P3，P4，则P3P4−P1P2是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的相反数是2024，
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
3.【答案】B
【解析】解：将393000用科学记数法表示应为3.93×105，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，原式计算错误，不符合题意；
B、a3⋅a3=a6，原式计算错误，不符合题意；
C、(a3)2=a6，原式计算正确，符合题意；
D、a3−a3=0，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据相应的运算法则逐一分析判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：3m−2≤1①2−m<3②，
解①得：m≤1，
解②得：m>−1，
∴不等式组的解集为−1将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由于平行，∠1+∠PFO=180°，
∵∠1=150°，
∴∠PFO=30°，
∵∠3=∠PFO+∠POF，∠3=55°，
∴∠POF=25°，
∴∠2=25°，
故选：C．
由于平行，∠1+∠PFO=180°，已知∠1=150°，可得∠PFO的度数，又因∠P O F，可得∠POF的度数，对顶角相等，可得∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴②处应该填上条件“对角线相等”；
∵对角线相等的菱形是正方形，
∴③处应该填上条件“对角线相等”．
故选：D．
由菱形，矩形，正方形的判定，即可解决问题．
本题考查菱形，矩形，正方形的判定，关键是掌握菱形，矩形，正方形的判定方法．
8.【答案】A
【解析】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为x kg，
∴第二块试验田每公顷的产量为(x+1500)kg．
根据题意得：12000x=14000x+1500．
故选：A．
根据两块试验田每公顷的产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为(x+1500)kg，利用种植面积=总产量每公顷的产量，结合两块小麦试验田的面积相等，可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵D(0,3)，C(4,0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD= 32+42=5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35．
故选：D．
连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0,3)，C(4,0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，
∴c=1，a−b+c=−1，
∴a=b−2，
∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1．
∴4a−2b+1>1，
∴4(b−2)−2 b+1>1，
解得：b>4，
∴a=b−2>0，
∴abc>0，故①正确；
②∵a=b−2，c=1，
∴(b−2)x2+b x+1−3=0，
∴(b−2)x2+bx−2=0，
∴Δ=b2−4×(−2)×(b−2)=b2+8b−16=b(b+8)−16，
∵b>4，
∴Δ>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a=b−2，c=1，
∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1，
∵b>4，
∴2b−1>7，
∴a+b+c>7，
故③正确；
故选：A．
①当x=0时，c=1，由点(−1,−1)得a=b−2，由x=−2时，与其对应的函数值y>1可得b>4，进而得出abc>0；②将a=b−2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b−2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断．
本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：|−2|−38
=2−2
=0
故答案为：0．
首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12.【答案】135°
【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每一个外角为360°8=45°，
∴正八边形的每一个内角为180°−45°=135°，
故答案为：135°．
由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
本题考查正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角和与外角是解题的关键．
13.【答案】7n+2
【解析】解：图①中有火柴棍9=7×1+2(根)，
图②中有火柴棍16=7×2+2(根)，
图③中有火柴棍23=7×3+2(根)，
⋯，
第n个图形用火柴棍的根数为7n+2，
故答案为：7n+2．
由图①中有火柴棍9=7×1+2(根)，图②中有火柴棍16=7×2+2(根)，图③中有火柴棍23=7×3+2(根)，⋯，总结规律即可，
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据所给的图形总结出存在的规律并灵活运用．
14.【答案】7 2110
【解析】解：过点D作DM⊥BE，交BE于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=6，
将等边△ABC纸片沿DE折叠，使B点落在AC上的F点，
∴BE=EF，BD=DF，∠DFE=∠B=60°，
∵∠CFE+∠AFD=180°−60°=120°，∠AFD+∠ADF=180°−60°=120°，
∴∠CFE=∠ADF，
又∵∠C=∠A，
∴△CFE∽△ADF，
∴CFAD=CEAF=EFDF，
设BE=EF=x，BD=DF=y，则CE=6−x，AD=6−y，
则26−y=6−x4=xy，
∴2y=x⋅(6−y)y⋅(6−x)=4x，
解得：x=145，y=72，
在Rt△BDM中，BM=12BD=74，DM=BD⋅sin60°=72× 32=7 34，
∴EM=BE−BM=145−74=2120，
在Rt△DEM中，DE= DM2+EM2= (7 34)2+(2120)2=7 2110，
故答案为：7 2110．
首先作辅助线，过点D作DM⊥BE，交BE于点M，利用等边三角形的性质和折叠的性质求出∠CFE=∠ADF，从而得到△CFE∽△ADF，设BE=EF=x，BD=DF=y，根据CFAD=CEAF=EFDF求出BE和BD的值，在Rt△BDM和Rt△DEM中利用勾股定理即可求出DE的长．
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
15.【答案】解：a−ba÷(a−2ab−b2a)
=a−ba÷(a−b)2a
=1a−b
【解析】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可．
16.【答案】(1)证明：由作法得AB=AD=CB=CD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即AC⊥直线l．
(2)解：如图，设AC与BD相交于O点，则OA=8，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AC=16，
在Rt△AOB中，OB= AB2−OA2= 102−82=6，
∴BD=12，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×16×12=96．
【解析】(1)利用基本作图得到AB=AD=CB=CD，则可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得到结论；
(2)设AC与BD相交于O点，运用勾股定理求出BD=12，根据菱形的性质得到AC=16，即可求出面积．
本题考查了作图−基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：∵∠A=30°，∠CBD=60°
∴∠ACB=30°，
∴BC=AB=60，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=60°，BC=60，
sin60°=CDBC，
∴CD=60sin60°=30 3≈52(m)，
答：塔CD的高度约52米．
【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
此题考查了解直角三角形的应用，三角形的外角，等腰三角形的性质，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
18.【答案】10 0.30 80≤x<90
【解析】解：(1)a=100×0.10=10,b=30100=0.30，
故答案为：10，0.30；
(2)补全频数分布直方图如图所示：
(3)一共有100人，中位数为第50人和第51人成绩的平均数，
∵5+10+15=30<50，5+10+15+30=60>51，
∴中位数落在80≤x<90分数段，
故答案为：80≤x<90；
(4)∵1500×(0.3+0.4)=1050(人)，
∴该校参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的大约有1050人．
(1)用抽取学生总人数乘以成绩为60≤x<70人数的频率，即可求出a的值；用80≤x<90的人数除以抽取学生总人数，即可求出b的值；
(2)根据频数分布表中的数据，即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义即可解答；
(4)用参加比赛总人数乘以成绩“优”等的频率，即可解答．
本题考查了频数分布表和频数分布直方图，掌握求中位数，用样本估计总体是解题的关键．
19.【答案】−42≤x≤0
【解析】解：(1)联立方程组y=−12x+72y=112x，
解得x=6y=12，
∴A(6,12)，
∵双曲线y=kx(x>0)过点A(6,12)，
∴12=k6，解得k=3，
∴反比例函数的解析式为：y=3x；
(2)①对于直线l2：y=112x，令y=0，则x=0，
∴直线l2与x轴的交点坐标为(0,0)，即横坐标为0；
对于直线l1：y=−12x+72，令x=0，则y=72，
∴B(0,72)，
设直线l2平移后的解析式为y=112x+b，
∵平移后的直线过点B(0,72)，
∴b=72，
∴平移到点B时停止的直线解析式为y=112x+72，
令y=0，则112x+72=0，解得x=−42，
此时与x轴的交点为(−42,0)，即交点的横坐标为−42，
∴直线l2在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为−42≤x≤0；
②如图，
解方程组y=−12x+72y=3x，解得：
x1=1y1=3，x2=6y2=12，
∴直线l1与双曲线y=3x的交点为A(6,12)，C(1,3)，
∴在点C与点A之间的整数点的横坐标为2，3，4，5，
当x=2时，直线l1：y=−12x+72上的点为(2,52)，双曲线y=3x上的点为(2,32)，
此时可得整点为(2,2)；
当x=3时，直线l1：y=−12x+72上的点为(3,2)，双曲线y=3x上的点为(3,1)，
此时不能得到整点；
当x=4时，直线l1：y=−12x+72上的点为(4,32)，双曲线y=3x上的点为(4,34)，
此时可得整点为(4,1)，
当x=5时，直线l1：y=−12x+72上的点为(5,1)，双曲线y=3x上的点为(5,35)，
此时不能得到整点．
综上，直线l1与双曲线y=3x围成的区域内(图中阴影部分，不含边界)整点的坐标为(2,2)，(4,1)．
(1)解由直线l1和l2组成的方程组，得到点A的坐标，代入反比例函数y=kx中，即可解答；
(2)①先求出直线l2平移前与x轴的交点的横坐标．设直线l2平移后的解析式为y=112x+b，把点B的坐标代入，求出平移到点B时停止的直线解析式，即可求出此时与x轴的交点的横坐标，即可解答；
②根据数形结合，求出满足要求的整点横坐标，即可解答．
本题考查函数图象的交点，待定系数法，函数图象的平移，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是关键．
20.【答案】解：(1)∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=12×90°=45°，
∴∠BOD=90°，
又DE/​/AB，
∴∠ODE=90°，
又OD为半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴AD=BD，
在△ACD和△ECD中
AC=CE∠ACD=∠ECDCD=CD，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DE=AD，
∴DE=BD，
∵∠ABD=∠ACD=45°，DE/​/AB，
∴∠BDE=45°，∠DEB=∠OBC，
∴∠DEB=180°−∠BDE2=180°−45°2=67.5°，
∴∠OBC=67.5°，
又OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=67.5°，
∴∠COB=180°−∠OCB−∠OBC=180°−67.5°−67.5°=45°，
∴弧BC的长度为45°πd360∘=π．
【解析】(1)根据圆周角定理以及推论，知道∠ACB=90°，结合角平分线的性质，知道∠DCB=45°，从而推出∠DOB=90°，最后利用平行线的性质，得到∠ODE=90°，得证；
(2)由∠AOD=∠BOD=90°得到AD=BD，易证△ACD≌△ECD，得到AD=DE，从而得到DB=DE，通过同弧所对的圆周角相等可以知道∠ABD的度数，再结合平行，推出∠BDE的度数，以及∠OBC=∠DEB，然后利用三角形内角和算出∠DEB和∠C O B的度数，最后结合弧长的计算公式算出答案．
本题考查了切线的证明，弧长的计算，全等三角形的证明，圆周角定理以及推论，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M(16,0)，顶点P(8,8)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
把点M(16,0)，点P(8,8)代入得：
64a+8b=8256a+16b=0，
解得a=−18b=2，
∴抛物线的解析式为y=−18x2+2x，
∵OM=16，M(16,0)，
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
(2)当x=8−2.5−1=92时，y=−18×(92)2+2×92=20732>5，
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
(3)设OB=x，则BC=16−2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16−2x，AB=DC=−18x2+2x
设l=AB+AD+DC，则l=−14x2+4x+16−2x，
∴l=−14x2+2x+16，
∵−14<0，
∴当x=−b2a=4时，l有最大值为4ac−b24a=20．
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
【解析】(1)根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
(2)由题知，当x=92时，y=20732，而20732>5，即可得出结论；
(3)设OB=x，则BC=16−2x，根据矩形的性质得出AD=BC=16−2x，AB=DC=−18x2+2x，设l=AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是二次函数性质的熟练应用．
22.【答案】45 17
【解析】(1)解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∵AF⊥BE于点G，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠DFA=∠AEB，
∴△DFA∽△AEB，
∴ABAD=BEAF，
∵4AB=3AD，BE=6，
∴34=6AF，
解得AF=8；
(2)证明：作CH⊥AC，延长AE交CH于点H，如图3，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB+∠CAH=90°，
∴∠ABD=∠CAH，
∵AB=AC，∠ACH=∠BAD=90°，
∴△ACH≌△BAD(ASA)，
∴AD=CH，
∵∠ACH+∠BAD=180°，
∴AB//CH，
∴△CHE∽△BAE，
∴ABCH=BECE，
∴ABAD=BECE．
(3)解：连接AD，交BC于点N，由对称的性质可知AD⊥BC于点N，AN=DN，作DM⊥AC于点M，交BC于点Q，如图4，
∵∠DNQ=∠CMQ=90°，∠NQD=∠MQC，
∴∠MCQ=∠ADM，
∵∠BAC=90°，AB=2，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=2 5，tan∠MCQ=12，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AN，
∴2×4=2 5AN，
解得AN=4 55，
∴AD=∖dfrac8 55，
∵tan∠ADM=tan∠MCQ=12=AMDM，
设AM=x，DM=2x，
有x2+(2x)2=(8 55)2，
解得x=85，
∴DM=165，
∵∠MFD+∠ACE=90°，
∴∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠MFD=∠AEC，
∵∠FMD=∠EAC=90°，
∴△FMD∽△EAC，
∴DMAC=DFEC，
∵E为AB中点，
∴AE=12AB=1，
∴EC= AE2+AC2= 17，
∴1654=DF 17，
解得DF=45 17．
故答案为：45 17．
(1)利用矩形的性质证明△DFA∽△AEB，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题；
(2)作CH⊥AC，延长AE交CH于点H，利用等腰三角形性质，证明△ACH≌△BAD(ASA)，得到AD=CH，再证明△CHE∽△BAE，利用相似三角形性质得到ABCH=BECE，结合等量代换，即可证明ABAD=BECE；
(3)连接AD，交BC于点N，由对称的性质可知AD⊥BC于点N，AN=DN，作DM⊥AC于点M，交BC于点Q，利用三角形内角和证明∠MCQ=∠ADM，得到tan∠ADM=tan∠MCQ，利用等面积法求得AN，进而得到AD，设AM=x，DM=2x，利用勾股定理建立等式求解，得到DM，再证明△FMD∽△EAC，利用相似的性质得到DMAC=DFEC，再结合题干条件利用勾股定理得到EC，将EC代入等式求解，即可解题．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
23.【答案】解：(1)将点A(4,0)，C(0,2)代入抛物线G1，
得到−4+4b+c=0c=2，
解得b=12c=2，
∴抛物线G1的解析式为y=−14x2+12x+2，
(2)∵A(4,0)，B(0,−2)，C(0,2)，
∴OA=4，OB=OC=2，
又∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴OA平分∠BAC，
∵∠ABE=12∠BAC，
∴∠ABE=∠OAB，
∴BD=AD，
设OD=m，则AD=BD=4−m，
在Rt△OBD中，OD2+OB2=BD2，
∴m2+22=(4−m)2，
解得，m=32，
∴D(32,0)，
设直线BD解析式为y=kx−2，代入点D，则32k−2=0，
解得k=43，
∴直线BD解析式为y=43x−2，
联立抛物线G1与直线BDy=43x−2y=−14x2+12x+2，
∴43x−2=−14x2+12x+2，
得x1=83，x2=−6(舍去)，
∴点E的横坐标为83；
(3)P3P4−P1P2为定值，理由如下：
设点P′(x,y)，作P′M⊥y轴于M，作PN⊥y轴于N，则P′M//PN，M(0,y)，如图2，

又∵P′为PB中点，
∴P′M为△PBM中位线，
∴PN=2P′M，M为BN中点，
∴xP=2x，yP−y=y−(−2)，
∴yP=2y+2，
∴P(2x,2y+2)，
将点P代入抛物线G1，
∴2y+2=−14×(2x)2+12×2x+2，
化简得y=−12x2+12x，
设P1，P2，P3，P4的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
则P3P4−P1P2=(x4−x3)−(x2−x1)=(x4+x1)−(x2+x3)，
由−14x2+12x+2=m得x4+x1=2，
由−12x2+12x=m得x2+x3=1，
∴P3P4−P1P2=2−1=1定值．
【解析】(1)利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可；
(2)先证明AC=AB，根据等腰三角形三线合一，得到OA平分∠BAC，结合∠ABE=12∠BAC，推出AD=BD，然后在Rt△OBD中利用勾股定理求出OD的长度，得到D的坐标，下一步求出直线BD的表达式，联立直线BD与抛物线，得到点E的坐标；
(3)设点P′(x,y)，作P′M⊥y轴于M，作PN⊥y轴于N，通过P′M是中位线表示出点P的坐标，然后将点P代入抛物线G1，得到P′的轨迹方程，将P′的轨迹方程与G1分别与y=m联立，利用未达定理，得到x1+x4，x2+x3的值，最后算出P3P4−P1P2的值．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．成绩/分
频数
频率
50≤x<60
5
0.05
60≤x<70
a
0.10
70≤x<80
15
0.15
80≤x<90
30
b
90≤x<100
40
0.40