2022年河北省衡水市高考数学质检试卷（4月份）（二模）（含答案解析）

2022年河北省衡水市高考数学质检试卷（4月份）（二模）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 复数其中i为虚数单位在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知双曲线C：的焦距为，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

4. 已知为锐角，且，则

A.  B.  C.  D.

5. 共有5名同学参加演比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，则

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，，点C满足，则点C到点的距离的最大值为

A. 3 B.  C. 4 D. 5

9. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，则

A.
B.
C.
D.

10. 在某独立重复实验中，事件A，B相互胜立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中若进行x次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 已知三棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为4，，，为正数，则下列命题是真命题的是

A. 若，则三棱锥的体积的最大值为
B. 若P，O，A不共线，则平面平面ABC
C. 存在唯一点P，使得平面ABC
D. m的最大值为

12. 已知函数，其中对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是

A. 函数的最小正周期小于
B. 函数在内不一定取到最大值
C.
D. 函数在内一定会取到最小值

13. 已知向，，若，则实数______.
14. 已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是______.
15. 已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点P在圆C：上，且直线OP与圆C相切，则______.
16. 在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，取等条件为，所以的最小值为已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为______；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为______.
17. 在中，角A，B，C所对的边分到为a，b，c，已知，
    证明：为等腰三角形；
    设的面积为S，若_____，S的值．
    在①；②；③三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解．
    
    
    
    
    
    
     
18. 设等比数列的前n项和为，已知，且
    求数列的通项公式；
    已知数列是等差数列，且，，设，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，
    证明：平面平面ABCD；
    若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分，已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为
    求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；
    设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X，求X的分布列．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点为，，离心率为过点作直线l与椭圆C相交于A，B两点．若A是椭圆C的短轴端点时，
    求椭圆C的标准方程；
    试判断是否存在直线l，使得，，成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
当时，求函数的极值；
若曲线有，两个零点．
求a的取值范围；
证明：存在一组m，，使得的定义域和值域均为







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：因为的解为，所以，
所以
故选：
求出集合A，由此能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，
复数z在复平面内对应的点在第一象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由焦距可知，再由实轴长2可知，所以，即，
所以焦点在x轴上的双曲线的渐近线的方程为，
故选：
由双曲线的截距和实轴长可得c，a的值，再由a，b，c之间的关系可得b的值，进而求出焦点在x轴的双曲线的渐近线的方程．
本题考查双曲线的性质的简单应用，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：为锐角，且，即，即，
则，
故选：
由题意，利用两角和差的三角公式，计算求得的值．
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：5人参加比赛出场顺序总的方法有：种；
将甲乙捆绑，丙进行插空，总的方法有：种，
故甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率，
故选：
甲乙相邻使用捆绑法，丙与甲乙不相邻使用插空法，即可解出．
本题考查了概率的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，
易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积
故选：
可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出．
本题考查了圆台的特征，侧面展开图面积的计算，属于基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：令，
则，
故为偶函数，
，
当时，，
故在上是增函数，
而，
，
，
，
，
即，
故选：
构造函数，判断函数的奇偶性及单调性，再利用三角函数比较三个数的大小，结合单调性判断即可．
本题综合考查了导数的综合应用、三角函数，奇偶性等，属于中档题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：如图所示，
因为点A在x轴上，点B在y轴上，，点C满足，
所以点C在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为，则，
所以，
所以，
所以，
即点C到点P的距离的最大值为
故选：
根据题意画出图形，结合图形得出点C在以AB为直径的圆上，由此求出点C到点P距离的最大值．
本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合思想与运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】ABD
 

【解析】解：当时，得，
解得，A正确，，
所以时，，，B正确；
，，C错误；
，，D正确．
故选：
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
 

10.【答案】BC
 

【解析】解：因为，，即A错误；
因为，，即B正确；
因为A，B独立，所以，所以，即C正确；
因为，，即D错误．
故选：
利用独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式进行判断即可．
本题考查了独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式，属于基础题．
 

11.【答案】AB
 

【解析】解：对于A，若，则，，
则外接圆的半径，球心O到平面ABC的距离，
三棱锥高的最大值为，
体积的最大值为，A正确；
对于B，设BC的中点为H，连接OB，OC，OH，PH，AH，
则，，，

又，，PH，平面PHA，PH，平面PHO，
平面PHA，平面PHO，又平面平面，
，O，H，A四点共面，平面POA，又平面ABC，
平面平面ABC，B正确；
对于C，设直线OP与球的另一交点为，若平面ABC，则平面ABC，C错误；
对于D，当m最大时，O，A，B，C四点共面，
，，，D错误．
故选：
由可求得球心O到平面ABC的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知A正确；设BC的中点为H，可证得平面PHA，由外接球性质可知平面PHA，由面面垂直判定可知B正确；设直线OP与球的另一交点为，可知平面ABC，知C错误；由O，A，B，C四点共面可求得，由此可得BC，知D错误．
本题主要考查锥体体积的最值，面面垂直的判定，线面垂直的判定，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 

12.【答案】AD
 

【解析】解：由题意可知，，即A正确；
因为，所以，
则当时，，
又，
所以函数在上一定有最大值点，即B错误；
由题意可知，任意，总存在，使得：
，故，
整理得，
可得，即C错误；
当时，，
又因为，
故，
所以函数在上一定有最小值点，即D正确．
故选：
先根据在区间上至少能取到两次最大值可得，据此可得，从而可得判断AB的正误，再根据的范围可得判断CD的正误，注意范围的进一步探究．
对于含参数的正弦型函数问题，注意根据最值的特征合理刻画函数的性质，从而得到参数的取值范围内，此类问题，整体法是处理此类问题的基本策略．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
，且，

故答案为：
根据即可得出，再根据即可求出k的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量数量积的坐标表示，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：因为奇函数在上单调递增，在上单调递减，
由奇函数性质可得，
又有且仅有一个零点，
则，时，，
故满足条件的答案不唯一
故答案为：答案不唯一
由已知结合奇函数性质可得，由有且仅有一个零点得，时，，结合基本初等函数性质可求．
本题主要考查了奇函数的性质的应用，解题的关键是灵活利用函数性质，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点P在圆C：上，
，
抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，
，，，
当OP与圆相切时，，
，
，

故答案为：
由点P在圆C上，得到，而点P也在两抛物线上，代入抛物线方程可得，当OP与圆相切时，可得，由此能求出结果．
本题考查抛物线、圆、直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】70 540
 

【解析】解：，则，，
曲线在处的切线方程为，当时，可知，
，则，
当且仅当时，等号成立；
曲线在处的切线为，
，则令此切线过原点，解得或，
曲线在处的切线方程为，且，
，当且仅当或时，等号成立，
取，，即的前100项中有60项为3，40项为0时，等号成立．
故答案为：70，
求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程为，由时，，可得，分别取，2，，10，即可求得数列的前10项和的最大值；求出曲线在处的切线方程，由，则令此切线过原点，解得或，可得曲线在处的切线方程为，且，取x分别为，，，，即可得到数列的前100项和的最小值．
本题是新定义题，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：证明：因为，所以，
由余弦定理可知，，即，即为等腰三角形；
选①；
由可知，，所以，
所以，
整理得，解得，
所以，，
所以，又由，可得，
所以；
选②；
因为，所以，解得，
所以，得，；
选③；
因为，且，，所以，所以，
所以，所以
 

【解析】由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证；
分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系式和向量数量积的定义、面积公式，可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，以及向量的数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，所以，，
两式相减可得：，整理得：，，
时，，，，，
，，，
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
；
由得：，，，
，，
，
，
两式相减得：，

 

【解析】先将转化成，得递推公式，再根据递推公式及等比数列的定义、通项公式求解．
采用错位相减法即可求解．
本题考查数列前n项和与通项的相互转化，等比数列定义及通项公式，错位相减法求和，属基础题．
 

19.【答案】解：证明：设，连接PO，
在菱形ABCDK，O为BD中点，且，
因为，所以，
又因为，PO，平面PAC，
所以平面PAC，
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD；
解：作平面ABCD，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
易知，则，，
因为，，所以为二面角的平面角，所以，
则，，，，
所以，，，
设平面PAB的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面PAD的法向量为，则，
取，则，，所以，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值为
 

【解析】设，连接PO，推导出，从而平面PAC，由此能证明平面平面ABCD；
作平面ABCD，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：设得分不低于分为事件A，
则；
易知X的取值可能为0，5，10，15，20，
则；，，，，
则X的分布列为

【解析】根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可．
先写出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
 

21.【答案】解：由题意可知，，即，
当A为椭圆的短轴端点时，不妨设，
则，，
所以，
因为，所以，所以，
解得，所以，，
所以椭圆C的标准方程为；
设l：，
将直线方程与椭圆C的方程联立得，
消去y，整理得，
因为，
解得，
设，，
则，，
所以，
易知，
所以，
同理，
所以，
又因为，
所以，
则得，
因为分解为，
解得，
因为
所以不存在直线l符合题意．
 

【解析】设，由数量积坐标运算可得，结合离心率和椭圆a，b，c的关系可构造方程求得a，b，c，由此可得椭圆方程；
设l：，与椭圆方程联立，由可得k的范围及韦达定理的形式，进而得到可构造方程求得，不符合k的范围，则直线l不存在．
本题考查直线与椭圆综合应用中的存在性问题的求解，也考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，则，令，解得，
列表可知，

的极大值为，无极小值；
由题意可知，有两解，即有两解，
设，则，令，解得，
列表可知，，
因为有两个零点，所以，解得，
当时，有，可得，
令，有，可得函数的增区间为，减区间为，
有，可得，
当时，
所以存在，，使得，所以；
证明：因为，令，解得，
列表可知，在上单调递增，在上单调递减，
①当时，，解得，
所以，所以，即在上单调递增，
所以，，即，，
所以当时，存在一组m，n符合题意；
②当时，，所以，所以不存在符合题意，
若，则在上单调递减，
所以，，
所以，即，不符题意；
若，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，所以，
即，，所以当时，存在一组m，n符合题意；
综上，存在一组m，n符合题意．
 

【解析】当时，，列表可求得函数的极值；
由题意可知，有两解，即有两解，设，求导分析，可求得实数a的取值范围；
，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，当时，，
分析得存在一组m，n符合题意；当时，，所以不存在符合题意，进一步分析得存在一组m，n符合题意．
本题考查利用导数研究函数的极值与最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．