2022年北京市房山区高考数学二模试卷（含答案解析）

2022年北京市房山区高考数学二模试卷

1. 已知集合，集合，则

A.  B.
C.  D.

2. 双曲线的焦点坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是第一象限角，且角，的终边关于y轴对称，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知数列满足，为其前n项和．若，则

A. 20 B. 30 C. 31 D. 62

5. 已知函数，则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

6. 已知，是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，，那么的最小值为

A. 13 B. 14 C. 17 D. 18

8. 如表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

该生活超市本季度的总营业利润率为营业利润率是净利润占营业收入的
百分比，给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过
其中正确结论的序号是

A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④

9. 抛物线的准线方程为______
10. 若复数z满足，则______ .
11. 已知圆C：和直线l：，则圆心坐标为______；若点P在圆C上运动，P到直线l的距离记为，则的最大值为______.
12. 已知函数若函数在R上不是增函数，则a的一个取值为______.
13. 在中，，
    求；
    再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上的高．
    条件①：；
    条件②：；
    条件③：的面积为
    
    
    
    
    
    
     
14. 如图，在四棱锥中，底面在底面ABCD中，，，，
    求证：平面PAB；
    若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求点B到平面PCD的距离．

15. 北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间单位：分钟，得到下表：

从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率；
从参加体育实践活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，当m满足什么条件时，结论不要求证明






 

16. 已知椭圆C：的一个顶点为，一个焦点为
    求椭圆C的方程和离心率；
    已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线PM与椭圆C的另一个交点为若的面积等于，求直线PM的斜率．
    
    
    
    
    
    
     

已知数集…，具有性质P：对任意的，，，…使得成立．
分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
已知…，求证：；
若，求数集A中所有元素的和的最小值．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：集合，集合，
，故AC均错误；
，故B正确，D错误．
故选：
求出集合A，集合B，利用并集和交集定义能求出，
本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：双曲线，可知，，，所以双曲线的焦点坐标为
故选：
直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：是第一象限角，且角，的终边关于y轴对称，
，，

故选：
根据题意可知，，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可．
本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：，数列为等比数列，且公比为2，
，，
，
故选：
根据等比数列的通项公式和求和公式进行计算即可．
本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，
不等式的解集为
故选：
利用对数函数的单调性求解即可．
本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：当直线，且，，则，l与相交，故充分性不成立；
当直线，且，时，，故必要性成立，
““是“的必要而是不充分条件．
故选：
根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概含判断即可．
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由等差数列的通项公式，得
，
，
只有，，或，时，
即，，或，时，有最小值为
故选：
由，，得到，然后分析出n，d的所有可能取值，从而得到答案．
本题考查了等差数列的通项公式，解答的关键是由各项均为正整数得到公差d为正整数，是基础题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；
生鲜区的净利润占比，故②正确；
生鲜区的营业利润率为，故④正确；
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区为，最高，故③正确．
故选：
根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断．
本题考查了概念与统计的相关知识，属于基础题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：抛物线的准线方程为：
故答案为：
直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
化为，

故答案为：
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由圆的方程知圆心坐标为；
由直线l：知直线l过定点，则，
当时，圆心C到l距离最大，
又圆C的半径为，
故答案为：；
由圆的村准方程可得圆心的坐标，根据直线l过定点，可知当时，圆心C到l距离最大，则
本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
 

12.【答案】答案不唯一，满足或即可
 

【解析】解：和的图象如图所示：

当或时，有部分函数值比的函数值小，
故当或时，函数在R上不是增函数．
故答案为：
作出和的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
 

13.【答案】解：由正弦定理及，知，
因为，
所以，
因为，所以，
又，所以
选择条件①：因为，且，所以，
所以，
故该不存在．
选择条件②：因为，所以，
由，知，
所以，
所以BC边上的高
选择条件③：的面积，所以，
由余弦定理知，，
所以，
因为，所以BC边上的高
 

【解析】利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，即可得解；
条件①：由，求出的值，再由，展开运算求得的值，由于，故该三角形不存在；
条件②：易知，从而知，再由，展开运算求得的值，然后由，得解；
条件③：由，求得c，再利用余弦定理，求出a，然后根据等面积法，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】解：证明：以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，
过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
，，，，
，，又，平面PAB，平面PAB，
平面

由可知为平面PAB的一个法向量，
由知，
，，
设平面PDC的一个法向量为，
则，令，则，，
平面PDC的一个法向量为，
，，
又平面PAB与平面PCD的夹角等于，
，解得，
平面PDC的一个法向量为，又，
点B到平面PCD的距离为
 

【解析】以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明，，从而得到平面PAB；
利用平面PAB与平面PCD的夹角等于，可得，求出a，再利用向量法可求点B到平面PCD的距离．
本题考查线面垂直的证明，以及面面角的求法，点到面的距离的求法，属中档题．
 

15.【答案】解：方法一：女生共有人，记事件A为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在“，
由题意可知，，
因此，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为；
方法二：女生共有人，记事件M为“从所有调査学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在“，
由题意知，从所有调査学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，
抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个，
所以，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为；
方法一：X的所有可能值为0，1，2，
时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人，
记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件C，D相互独立，且，
所以，
，
，
所以x的分布列为：

故X的数学期望；
方法二：X的所有可能值为0，1，2，
因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故，
所以，
，
，
所以X的分布列为：

故X的数学期望；
根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：

内初中生的总运动时间，内高中生的总运动时间，
则由题，，2，3…11，
又，，
由可得
，
当，3…11时成立，故m的取值范围
 

【解析】方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；
方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；
补全初中段的人数表格，再分别计算，，关于m的解析式，代入求解m的范围即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

16.【答案】由题设，得，，则，
所以椭圆C的方程为，离心率
设直线PM的方程为，
由得，
解得
设，，则，，即，同号．
根据椭圆的对称性知，，所以
，
整理得，
解得，满足
所以，或
 

【解析】根据题意得到b，c，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；
设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M，Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：，，3，5不具有性质P；
，，，具有性质P；
证明：集合…，具有性质P，
即对任意的，，，使得成立，
又…，，
，
即，，，…，，，
将上述不等式相加得……，
…，由于，
…，…；
解：最小值为
首先注意到，根据性质P，得到，
易知数集A的元素都是整数，
构造或者，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75；
下面，证明75是最小的和：
假设数集…，…，，满足存在性显然，满足的数集A只有有限个，
第一步：首先说明集合…，…，中至少有7个元素：
由可知，，…
又，，，，，，
；
第二步：证明，，
若，设，，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而，
假设，根据性质P，对，有，，使得，
显然，，
而此时集合A中至少还有4个不同于，，的元素，
从而，矛盾，
，进而，且，
同理可证：，
同理可以证明：若，则，
假设，
，根据性质P，有，，使得，
显然：，
而此时集合A中至少还有3个不同于，，，的元素，
从而，矛盾，
，且，
至此，我们得到了，，
根据性质P，有，，使得，
我们需要考虑如下几种情形：
①，，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则，
②，，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则，
③，，此时集合的和最小，为75，
④，，此时集合的和最小，为
 

【解析】对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，，，使得成立，故可判断它具有性质P；
根据题意可知，，从而，故而可得，，，…，，，将这些式子累加即可得…，从而可变形为要证的结论；
根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．
本题考查了数列的综合应用，属于难题．