2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）（含答案解析）

2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）

1. 设集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若是成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

4. 若，则

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图像大致为

A.  B.
C.  D.

6. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，，则

A.  B.  C.  D.

8. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为

A.  B. 4 C. 2 D. 3

9. 已知，且，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像．若，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点不同于点，且满足，则点N的坐标为

A.  B.  C.  D.

13. 已知，是双曲线的左、右焦点，A是其左顶点．若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为______.
14. 在平行四边形ABCD中，，，现将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，当异面直线AD和BC所成的角为时，AC的长为______.
15. 如图，的内角A，B，C的对边分别是a，b，已知，则______.若线段AC的垂直平分线交AB于点E，且，则的面积为______.
16. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围是______.
17. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，冰壶比赛将在北京国家游泳中心“水立方”进行，为了落实“绿色办奥”的筹办理念，冰立方在“水冰转换”中造就了“绿色节能”的冰壶场馆．某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从大学生中抽取了男、女各100人进行调查．经统计，对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣．
    完成列联表，并分别估计男、女大学生对冰壶运动感兴趣的概率；
    能否有的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异？

附：

18. 已知为数列的前n项和，且，，，
    求的通项公式；
    为数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，正三棱柱的底面边长为2，
    求证：；
    若点M在线段上，且，求三棱锥的体积．
    
    
     

20. 如图，，B分别是椭圆C：的左顶点和上顶点，圆O经过点B，P为椭圆C上一点，过A且与AP垂直的直线交圆O于两点C，若点在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．
    求椭圆C的标准方程；
    求面积的最大值．

21. 已知函数
    求函数的图像在点处的切线方程；
    若函数在定义域上无极值，求正整数a的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 以直角坐标系xOy的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线
    求的直角坐标方程；
    设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数，，若实数a，b满足
求不等式的解集；
证明：对于任意，都有







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求

【解答】

解：，或，
，
，
故选：

2.【答案】A
 

【解析】解：，
，
，
则z的共轭复数对应的点在第一象限．
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：
根据题意可知解得
故选：
根据题意可知然后可求得实数a的取值范围．
本题考查分式不等式解法、集合间关系应用及充分不必要条件的应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：因为，
则，
故选：
利用切化弦以及正余弦的同角关系化简即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：函数，因为，函数是偶函数，排除D；时，，
排除选项A，C，
故选：
利用函数的奇偶性，结合特殊值对应点的位置，判断选项的正误即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方，
相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1，
大小五角星的面积之比为9：1，
设大五角星的面积为9a，则小五角星的面积为a，
则五星图案的面积之和为，
则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为，
故选：
根据几何概型的概率公式进行计算即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理，平面向量线性运算，属于中档题．
由已知可得，，，再列出方程组求解即可．

【解答】

解：在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，
，，，
，
，
，
故选：

8.【答案】C
 

【解析】解：由约束条件写出可行域如图，

化为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，且，
，，，
，故A错误，
令，，则，故B错误，
令，，
则，
故在递增，故，
故，故，
故，故C错误，
，
，故D正确，
故选：
根据对数的运算性质判断A，根据特殊值法判断B，根据函数的单调性以及对数函数的性质判断C，根据基本不等式的性质判断
本题考查了不等式以及基本不等式的性质，考查对数函数的性质以及函数的单调性问题，是基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：由是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，
可得在上单调递增，
，，
因为，，
所以，即，
故选：
由题意可得偶函数在上单调递增，运用偶函数的定义和对数函数、指数函数的单调性，可得所求大小关系．
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：，
，
的周期为，且，，
，
或，
所以，，所以，
故选：
由题意求出函数的周期，的最小值为1个周期，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，属于中档题．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：直线过点且斜率不为0，
设该直线方程为，
当时，联立，化简整理可得，，，
恒成立，
设，，，
则，，
，
，即，即，
故，则，
即，
，即，
当时，A，B两点关于x轴对称，显然恒成立，
综上所述，
故选：
设该直线方程为，当时，联立，化简整理可得，，，再结合韦达定理以及斜率公式，求解．
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

13.【答案】3
 

【解析】解：令，又，，，则，
，故，

故答案为：
令，应用向量共线关系的坐标表示可得，即可求离心率．
本题考查双曲线的性质，以及向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，，，
，，，
平面ABD，又平面ABD，
，
又，，，
，，，
平面BCD，又平面BCD，
，
，
故答案为：
在中利用余弦定理求出BD，进而得到，由线面垂直的判定定理可得平面ABD，求出CD的长，再证得平面BCD，得到，最后利用勾股定理即可求出AC的长．
本题主要考查了线面垂直的判断，考查了余弦定理的应用，是基础题．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：由余弦定理知：，而，
所以，
又，
则，
在中，设，则，可得，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则，
所以，可得，
而，故，
所以，，
故的面积为
故答案为：，
由已知利用余弦定理可求，结合范围，可求B的值，在中，设，利用正弦定理可得，由题意可求，可得，可得，结合，可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，，且，
当时，的最小值为0，不可能是，此时不成立，
故，此时当时，的最小值是，
当时，，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，则当时，取得极小值，
要使的最小值为，则，即，得，此时，
综上实数a的取值范围是，
故答案为：
讨论a的取值范围，分别求出当和当时，对应函数的最小值，然后进行比较建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式，分别求出对应范围上的最小值，然后进行比较是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解：对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣，
所以女生有60人对冰壶运动感兴趣，

男大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为，
女大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为，
故男大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为，女大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为
，
有的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异．
 

【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查了独立性检验公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，可知，
两式相減得，
即，
因为，则，
又，
解得，
即是首项为3，公差为2的等差数列，
所以的通项公式
由知，，数列与的公共项满足，
即，
而k，，于是得，
即，此时，，
因此，，
即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前n项和为，则，
所以的前10项的和为
 

【解析】由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解．
根据给定条件求出数列的通项即可计算作答．
本题考查了数列的递推式以及等差数列的综合，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取AB中点D，连接CD，，则，

因为平面平面ABC，平面平面，
所以面，因为面，
所以，
因为，，
所以，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以
解：由题可得：，

所以，又点C到平面的距离为，
三角形的面积为，
所以，
所以，
故三棱锥的体积为
 

【解析】取AB中点D，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证平面，即证；
由题可得，再利用棱锥的体积公式即求．
本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：由题意可知，，所以，所以，
由，
所以椭圆C的标准方程：；
设直线AP的方程：，直线AC的方程：，
联立方程组，消去x，整理得，
解得，，
又O到直线AC的距离距离，则且，于是，
又，
从而，，
当且仅当，即，满足，且，
综上可知，的面积的最大值为
 

【解析】根据题意，将点A和点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
设直线AP和AC的方程，将AP方程代入椭圆方程，求得P点坐标，求得及，即可表示出面积，利用基本不等式，即可求得面积的最大值．
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以函数在的切线方程为，即
由题得定义域为，
若无极值，则恒成立或恒成立，
①当恒成立时，，
即恒成立，
所以，
令，
所以，
令，
所以，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在使，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以整数a的最大值为5，
②恒成立，
所以，
由①知在单调递增，
所以不存在最大值，
综上所述，正整数a的最大值为
 

【解析】求导得，再计算出，即可得出切线方程为，即可得出答案．
若无极值，则恒成立或恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，
所以的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程；
设点B的极坐标为，
所以，
所以
当时取得最大值．
 

【解析】直角利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：，，
，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
综上所述，的解集为或
证明：，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，，则，
，
，即，当且仅当时，等号成立，
，
故对于任意，都有，即得证．
 

【解析】由题意可得，，再分，，三种情况讨论，即可求解．
先求出的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．