2021年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）及解析

这是一份2021年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）及解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，C．D．，
2．（5分）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）复数的虚部为
A．B．1C．D．
4．（5分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标．“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是．“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于，到2025年基础研究经费占比要达到以上，请估计2025年我国基础研究经费为
A．1500亿元左右B．1800亿元左右C．2200亿元左右D．2800亿元左右
5．（5分）、两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹．共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如表：
小组根据表中数据，直接对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数；
小组先将数据依变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数．
根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知双曲线的离心率等于2，，分别是的左、右焦点，为的右顶点，在的渐近线上，且，若的面积为，则的虚轴长等于
A．B．2C．D．4
7．（5分）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点，若满足的点的个数为4．则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
8．（5分）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）百年大计，教育为本．十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出．近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果．其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：
（名词解释：高中阶段毛入学率在校生规模适龄青少年总人数
根据图中信息，下列论断正确的有
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．（5分）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是
A．B．
C．在，上有4个零点D．在，上单调递增
11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是
A．若，则是上的减函数
B．若，则有两个零点
C．若，则
D．若，则曲线上存在相异两点，处的切线平行
12．（5分）已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是
A．的最大值是6B．
C．一定是奇数D．137一定是数列中的项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
14．（5分）已知函数，则不等式的解集为 ．
15．（5分）已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，过点且倾斜角为的直线与点仅有一个公共点，则 ．
16．（5分）在中，点，是线段上的两点，，，则 ，的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列，满足．
（1）若是等差数列，，，求数列的前项和；
（2）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为等比数列，并说明理由．
18．（12分）如图1，在梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，如图2所示．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
19．（10分）在①，②，③这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知的内角，，的对边分别为，，，_____，，，求的面积．
20．（12分）已知椭圆的某三个顶点形成边长为2的正三角形，为的中心．
（1）求椭圆的方程；
（2）在上，过的左焦点且平行于的直线与交于，两点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（12分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置1、2、3接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为、、型，它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7．假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立．当且仅当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．
（1）共可组装出多少种不同的电路子模块？
（2）求电路子模块能正常工作的概率最大值；
（3）若以每件5元、3元、2元的价格分别购进、、型元件各1000件，组装成1000套电路子模块出售，设每套子模块组装费为20元．每套子模块的售价为150元，但每售出1套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的3倍作为赔偿金．求生产销售1000套电路子模块的最大期望利润．
22．（12分）已知函数．
（1）求实数的值，使；
（2）若，证明：当时，．
2021年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，C．D．，
【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：时，若，则，充分性成立；
若，则或，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3．（5分）复数的虚部为
A．B．1C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再得到复数的虚部．
【解答】解：，
复数的虚部为1．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4．（5分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标．“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是．“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于，到2025年基础研究经费占比要达到以上，请估计2025年我国基础研究经费为
A．1500亿元左右B．1800亿元左右C．2200亿元左右D．2800亿元左右
【分析】由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于，再根据2025年基础研究经费占比要达到以上，即可求出2025年我国基础研究经费的最低值，从而选出正确选项．
【解答】解：由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于（亿元），
又因为2025年基础研究经费占比要达到以上，
年我国基础研究经费不得低于（亿元），
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是基础题．
5．（5分）、两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹．共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如表：
小组根据表中数据，直接对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数；
小组先将数据依变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数．
根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．
【解答】解：由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，
又小组的相关指数，小组的相关指数，
组的拟合效果好，则回归方程为，
又，，，
即．
故选：．
【点评】本题考查回归方程的求法与相关指数的应用，考查统计学中的基础知识，是基础题．
6．（5分）已知双曲线的离心率等于2，，分别是的左、右焦点，为的右顶点，在的渐近线上，且，若的面积为，则的虚轴长等于
A．B．2C．D．4
【分析】利用已知条件求出的坐标，结合双曲线的离心率以及三角形的面积，求解即可．
【解答】解：设在上，
，分别是的左、右焦点，，，
，
，
，
，即，
的面积为，
①，
双曲线的离心率等于2，
②，
联立①②解得，
故的虚轴长等于4．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（5分）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点，若满足的点的个数为4．则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】分别讨论的位置，判断的范围，结合已知条件，推出结果即可．
【解答】解：点分别在，，，上运动时，的取值范围是，，
当点分别在，上运动时，的取值范围是，，
当点分别在棱，上运动时，的取值范围是，，
当分别在棱，，，上运动时，的取值范围是，，
由结合图形可知，点在正方体的每一条棱上运动时，
它所在的位置与的值是一一对应的，
当的点的个数为4，
则的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，两点间距离的和的范围的判断，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（5分）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的性质，结合已知的等式对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：由已知，因为，
所以原式可变形为，
令，，
函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），
当时，，，，
当时，，，，
要比较与的大小，只需比较与的大小，
，
设，则，
故在上单调递减，
又（1），（2），
则存在使得，
所以当时，，
当，时，，
又因为（1），（1），（4），
所以当时，，当时，正负不确定，
故当，时，，所以（1），故，
当，时，正负不定，所以与的正负不定，
所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．
故选：．
【点评】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）百年大计，教育为本．十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出．近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果．其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：
（名词解释：高中阶段毛入学率在校生规模适龄青少年总人数
根据图中信息，下列论断正确的有
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
【分析】根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：对于，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项错误；
对于，近六年高中阶段在校生规模的平均值为万人，故选项正确；
对于，2019年未接受高中教育的人数为万人，超过420万人，故选项错误；
对于，2020年普通高中的在校生人数为万人，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
10．（5分）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是
A．B．
C．在，上有4个零点D．在，上单调递增
【分析】根据三角函数的变换即可得出，再根据三角函数的诱导公式、零点的定义及三角函数的单调性即可判断每个选项的正误．
【解答】解：根据题意得，，错误；
，正确；
由，得，在，上有4个零点，正确；
由得，在上没有单调性，错误．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的伸缩变换和平移变换，三角函数的诱导公式，三角函数的零点，以及三角函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是
A．若，则是上的减函数
B．若，则有两个零点
C．若，则
D．若，则曲线上存在相异两点，处的切线平行
【分析】由，求得其导数，分别分析、、、四个选项，可得答案．
【解答】解：函数，
对于，当，，在上单调递增，又，
故当时，，则是上的减函数，故正确；
对于，若，则，故，
令，则，再令，显然，在上单调递增，又（1），
所以，当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
故（1），要使有零点，则，故错误；
对于，当时，，在上单调递增，又（1），
故当时，，则是在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，故（1），故正确；
对于，由于，
若曲线上存在相异两点，，，处的切线平行，
则，，且，
即，即，
也就是有两异根，即有两个交点．
令，则在上单调递增，当时，；当时，，
故与只有一个交点，故错误．
综上所述，正确，
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，考查导数的几何意义的应用，突出考查等价转换思想、逻辑思维能力以及数学运算能力等核心素养，是难题．
12．（5分）已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是
A．的最大值是6B．
C．一定是奇数D．137一定是数列中的项
【分析】推导出，的最大值为6，，，，当时，，从而137一定是等差数列中的项．
【解答】解：无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，
设，
解得，
的最大值为6，故正确；
，，
，故正确；
，当时，，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，，故错误；
，
一定是等差数列中的项，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
【分析】先确定旋转体是同底的两个圆锥，然后利用空间几何体的表面积公式求解即可．
【解答】解：如图所示，正三角形绕旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为，
所以几何体的表面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转体的求解，主要考查了圆锥的表面积的求解，考查了空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知函数，则不等式的解集为 ．
【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，然后利用函数的单调性及奇偶性即可求解．
【解答】解：因为，
所以，即为偶函数，
当时，单调递增，且（1）
则不等式可转化为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了不等式的求解，函数单调性及奇偶性的应用是求解问题的关键．
15．（5分）已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，过点且倾斜角为的直线与点仅有一个公共点，则 6 ．
【分析】求出的坐标，得到直线方程，与抛物线方程联立，求出交点坐标结合，求解即可．
【解答】解：抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，
可知，，过点且倾斜角为的直线：，
直线与点仅有一个公共点，可得，
可得可得，，解得，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与抛物线相结合，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16．（5分）在中，点，是线段上的两点，，，则 ，的取值范围是 ．
【分析】本题先根据题意及向量的运算计算出的值，再根据，即可得到的值；第二个空先根据向量内积的定义及，可推导出，然后将点看成一个在线段上移动的动点，并分别分析点与点重合，点与点重合，点与点重合三个特殊点情况，并计算出，的值，最后综合比较即可得到的取值范围．
【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：
结合题意及图形，
可知
，
，
，
又，，，
，
由题意可知点在线段上，
假设点与点重合，
则，，，
即，
或，
或，即，或，
假设点与点重合，
则，，，
此时，或，
综合可得，，，
，，
，
即，
故答案为：；，．
【点评】本题主要考查向量的运算，以及向量与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，数性结合法，向量内积的运用，分类讨论思想，极点分析法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档偏难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列，满足．
（1）若是等差数列，，，求数列的前项和；
（2）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为等比数列，并说明理由．
【分析】（1）由已知求得，的值，可得等差数列的公差，再求出首项，可得的通项公式，代入，由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解；
（2）写出的通项公式，代入，可得的通项公式，然后分类利用等比数列的定义判断是否为等比数列．
【解答】解：（1）由，且，，
得，，
又是等差数列，设公差为，则，
则，，
，
则数列的前项和
；
（2）令，
由，得，
，
当时，，
是公比为2的等比数列；
当时，不是常数，数列不是等比数列．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和，考查运算求解能力，是中档题．
18．（12分）如图1，在梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，如图2所示．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【分析】（1）连结，，，与交于点，由平面几何知识可知四边形为正方形，且，利用翻折前后不变的关系可得，，，由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连结，，，与交于点，
由题意可知，，，，
所以四边形为正方形，且，
在空间图形中，则有，，且，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：设，则，
所以，，
在中，则有，则，
由（1）可知，，，故，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，，，
所以，
故平面与平面所成二面角的余弦值为，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
【点评】本题考查了翻折问题的求解，考查了线面垂直的判定定理的运用，二面角角的求解，解题的关键是注意翻折前后不变的量，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
19．（10分）在①，②，③这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知的内角，，的对边分别为，，，_____，，，求的面积．
【分析】选①：结合二倍角公式和正弦定理，可得，从而知的值，再由，得解；
选②：由平面向量数量积的定义，可得的值，再运用两次余弦定理，求得，然后由，得解；
选③：由题意知，，根据正弦定理，得，再结合余弦定理，求得，再由，得解．
【解答】解：选①：，
，
即，
由正弦定理知，，
，
，，
的面积．
选②：
，且，
，
由余弦定理知，，
，即，
又，
，
，
的面积．
选③：，
，
由正弦定理知，，
，即，
由余弦定理知，，
即，解得，
，且，，
，，，
的面积．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆的某三个顶点形成边长为2的正三角形，为的中心．
（1）求椭圆的方程；
（2）在上，过的左焦点且平行于的直线与交于，两点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先判断正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点，由题意求出，的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程，联立方程组，可以韦达定理表示出，再设直线的方程，联立方程组，求出，然后分析求解即可．
【解答】解：（1）当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时，
此时边长分别为，，，不可能为正三角形，
所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点，
依题意可得，，
故椭圆的方程为；
（2）椭圆的左焦点的坐标为，，
由题意可知，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
联立方程，消去可得，，
设，，，，
则△，，
所以，
直线的方程为，
联立方程，消去可得，，
所以，
故，
所以存在常数，使得．
【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
21．（12分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置1、2、3接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为、、型，它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7．假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立．当且仅当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．
（1）共可组装出多少种不同的电路子模块？
（2）求电路子模块能正常工作的概率最大值；
（3）若以每件5元、3元、2元的价格分别购进、、型元件各1000件，组装成1000套电路子模块出售，设每套子模块组装费为20元．每套子模块的售价为150元，但每售出1套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的3倍作为赔偿金．求生产销售1000套电路子模块的最大期望利润．
【分析】（1）直接将三个电子元件全排列即可；
（2）分别求解1号位接入，，型元件时，子模块能正常工作的概率，然后比较大小即可得到答案；
（3）设1000套子模块中能正常工作的套数为，利润为，则，求出的关系式，然后解，即可．
【解答】解：（1）不同的电路子模块共有种；
（2）6种子模块正常工作的概率只有下面三种：
用，，分别表示事件“1号位接入，，型元件时，子模块能正常工作”，
则（A），
（B），
（C），
则（A）（B）（C），
所以当1号位接入型元件时，子模块正常工作的概率最大为0.846；
（3）子模块正常工作的概率越大，期望利润会越高，应把型元件接入1号位．
设1000套子模块中能正常工作的套数为，利润为，
则，且，
所以，
，
故生产销售1000套电路子模块的最大期望利润为27600元．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）求实数的值，使；
（2）若，证明：当时，．
【分析】（1）根据，求出的值，再检验即可；
（2）根据函数的单调性求出，问题掌握只需证明即可，令（a），求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（1）由题意得是的最小值点，同时也是极小值点，
故，，代入得，解得：，
当时，，则，
当时，，，故，
当时，，单调递增，
结合，知时，，
故在递减，在递增，成立，
故；
（2）证明：若，则，
，则，，
单调递增，则，
单调递增，故，
故只需证明即可，
令（a），
则（a），
故（a）单调递增，故（a），
故原命题成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．
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