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2022年河南省开封市高考数学二模试卷（理科）

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这是一份2022年河南省开封市高考数学二模试卷（理科），共19页。

设x，，集合，，若，则

A. B. C. D.

命题：，的否定为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则

A. B. C. D.

已知，，则

A. B. C. D. 7

设A，F分别是双曲线C：的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则C的渐近线方程为

A. B. C. D.

溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH是参考数据：

A. B. C. D.

已知公差为1的等差数列中，，若该数列的前n项和，则

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

若表示不超过x的最大整数，例如，则如图中的程序框图运行之后输出的结果为

A. 102
B. 684
C. 696
D. 708

已知函数的图象过点，现将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则

A. 的最小值为2 B. 的最小值为6 C. 的最大值为2 D. 的最大值为6

已知是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积

A. 有最小值4 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最大值16

骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为

A. B. C. D.

如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为

A. B. C. D.

已知两个单位向量的夹角为，则_______.
在的展开式中，常数项为______.
若函数为奇函数，则不等式的解集为______.
如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，则小岛B与小岛D之间的距离为______海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为______平方海里．
已知数列的前n项和为，，且
证明：数列为等差数列；
选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和
如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是DP的中点．
若G是DP的中点，求证：；
若，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．

已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点与点S不重合
若l过点F且倾斜角为，在第一象限，求C的方程；
若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．
某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率
若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；
已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元．记设备升级后单位时间内的利润为单位：元
请用表示；
设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高
已知函数
当时，求在处的切线与y轴的交点坐标；
已知，若时，恒成立，求m的取值范围．
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线的参数方程为，为参数，，直线的参数方程为为参数，
将C的参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；
已知点，M，N分别为，与曲线C相交所得弦的中点，且的面积为，求的值．
已知a，b，，且
求证：；
若，求a的最小值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：，，且，
，即，则，
可得，，

故选：
由已知可得，得到x值，进一步得到y值，再由并集运算得答案．
本题考查交集与并集运算，考查集合中元素的特性，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，的否定为：，
故选：
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：设，
，
，解得，，
在复平面内z对应的点位于第一象限，
，，

故选：
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：，，可得，
，
则，
故选：
由同角的基本关系式和两角差的正切公式可得所求值．
本题考查两角差的正切公式和同角的基本关系式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

5.【答案】A

【解析】解：设，，双曲线的一条渐近线为，
由，即，
可得，
即为，
则，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故选：
设，，双曲线的一条渐近线为，由点到直线的距离公式推得，再由a，b，c的关系可得双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

6.【答案】C

【解析】解：由可得，
故选：
由已知结合对数的运算性质即可直接求解．
本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础试题．

7.【答案】D

【解析】解：公差，，该数列的前n项和，
，，
解得，
故选：
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.【答案】C

【解析】解：由程序图可知，最终输出的，
从到共10项，均为0，
从到共10项，均为1，
，
从到共10项，均为11，
从到共3项，均为12，
故
故选：
由程序图可知，最终输出的，再结合取整的定义，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9.【答案】A

【解析】解：函数的图象过点，
所以，
故；
当函数的图象向左平移个单位，得到，
由于函数的图象经过点；
所以，
故的最小值为
故选：
直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

10.【答案】B

【解析】解：因为是椭圆C：上的点，
所以，
所以当且仅当，即时，取等号，
所以，即，
所以连接连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为，
所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，
故选：
把点代入椭圆C方程，则，由基本不等式可得当且仅当，即时，取等号，进而可得连接连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．

11.【答案】B

【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，则，，圆D的方程为，
设，则，，

，
当仅当时取“=”，此时，
则，
所以点P到地面的距离为，
故选：
建立如图所示平面直角坐标系，设，求出，，利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，求解函数的最值即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，三角函数的化简求值，是中档题．

12.【答案】A

【解析】解：设正四棱柱的底面正方形边长为a，高为h，
则底面正方形的外接圆半径，，，
正四棱柱体积，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
又半球的体积为，
切割掉的废弃石材的体积为
故选：
利用正四棱柱底面正方形外接圆半径、高与半球的半径构成直角三角形可得到正四棱柱底面边长和高的关系，由此得到正四棱柱体积，利用导数可求得，结合半球体积可求得结果．
本题主要考查立体几何的实际应用，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．

13.【答案】

【解析】

【分析】
根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．本题考查了平面向量数量积的定义与模长公式的应用问题，是基础题目．
【解答】
解：两个单位向量，的夹角为，
，

，

故答案为

14.【答案】

【解析】解：的展开式的通项公式为，
令，则，
所以常数项为
故答案为：
先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可得解．
本题考查二项式定理，牢记二项式定理的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：函数为奇函数，
可得，即，解得，
即有，
，可得为奇函数，
由，可得在R上单调递增，
则不等式等价为，
可得，解得，
可得所求解集为
故答案为：
由题意可得，求得a，再求的导数，判断的单调性，将原不等式去掉两边的“f”，由对数不等式的解法可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及对数不等式的解法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．

16.【答案】 15

【解析】解：圆的内接四边形对角互补，，
C为锐角，，
在三角形BCD中，由正弦定理得，可得，
在三角形BCD中，由余弦定理得，
整理得，可得，解得负根舍去，
所以平方海里．
故答案为：，
先求得，，利用正弦定理求得BD，利用余弦定理求得CD，从而求得三角形BCD的面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17.【答案】证明：数列的前n项和为，，且，
，即，
数列为等差数列；
解：由知，，
，即，

【解析】把已知数列递推式变形，可得，即可得到数列为等差数列；
由知，，即，再由数列的分组求和及等比数列的前n项和公式求解．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．

18.【答案】证明：设圆柱OQ的底面半径为r，高为
因为三角形OPB是边长为的等边三角形，所以
因为圆柱OQ的侧面积为，所以，解得：
在底面圆中，，，所以
因为圆柱 OQ 的母线底面 APB，所以，
因为，所以，又，所以面
因为面APD，所以
在三角形DAP 中，，G是DP的中点，所以
又，所以面
因为面 PBD，所以
解：在底面内过O作，连结以O为原点，分别为x，y、z轴正方向建立空间直角坐标系．

则所以
因为，所以，
所以
显然，x轴的单位向量是平面ABCD的一个法向量．
设GB与平面ABCD所成角，则

【解析】设圆柱OQ的底面半径为r，高为求出先证明出，，利用线面垂直的判定定理证明出面 BPD，即可证明；
在底面内过O作，连结以O为原点，分别为x，y、轴正方向建立空间直角坐标系．用向量法求解．
本题考查线面垂直及利用向量法求空间角的大小，考查学生的运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：抛物线C：的焦点为，
因为过点F且倾斜角为，所以，
联立，可得，
解得或，
又M在第一象限，所以，
因为，所以，
解得，
所以抛物线C的方程为；
解：由已知可得抛物线C的方程为，点，
设直线l的方程为，点，
将直线l的方程与抛物线C：联立得，
所以，，，
直线SM的方程为，
令求得点A的纵坐标为，同理求得点B的纵坐标为，
由，化简得，
将上面式代入得，即，
所以直线l的方程为，即，
所以直线l过定点

【解析】由已知条件，利用点斜式写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，求出M点的横坐标，进而根据焦半径公式即可求解；
设直线l的方程为，点，将直线l的方程与抛物线C：联立，根据已知条件及韦达定理找到m、n之间的关系即可求解．
本题考查了抛物线的定义和方程以及直线恒过定点问题，属于中档题．

20.【答案】解：因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
所以，
，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为，
设备升级后，在正常运行状态下，单位时间内的利润为，所以Y的分布列为：

Y	10a	0
设备运行概率

所以
若控制系统增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以，
所以，
所以当时，，单调递增，即增加2个相同元件，设备正常工作的概率变大，
当时，，即增加2个相同元件，设备正常工作的概率没有变大，
因为，
所以当时，提高；当时，没有提高．

【解析】结合二项分布的知识求得分布列、数学期望，从而求得；
求得Y的分布列，从而求得，
通过差比较法，对p进行分类讨论，来分析能否提高
本题考查了利用二项分布求分布列和均值的实际应用，属于中档题．

21.【答案】解：当时，，
，，
故切线方程为，
即，当时，，
所以在处的切线与y轴的交点坐标为；
依题意，当时，恒成立，
即恒成立，
即时，恒成立，
取代入，则，此时，
取代入，则，此时，
所以；
下面证明，当时，恒成立，
构造函数，
也即是证明在区间上恒成立．
下面分两种情形进行讨论：
情形一：当时，有，
此时，
因为，
所以，即；
情形二，当时，，
此时，
设，
则，
当时，，此时，
所以在上递减，所以，
当时，，，递增，
所以，
所以此时，在上递增，
所以，
结合情形一和情形二得到，当时，对任意，都有，
综上所述，m的取值范围是

【解析】将代入中，求导后求出切线的斜率，再得到切线方程；
由得，先利用，时不等式成立求得
，然后根据的符号进行分类讨论，结合导数来确定m的取值范围．
本题考查了利用导数求曲线的切线方程，关键点是两个：一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率；切点即在切线上，也在曲线上，切线的斜率可通过导数来进行求解，属于难题．

22.【答案】解：曲线C的参数方程为，
，
故C的普通方程为，
由直线与的参数方程可知，两直线斜率分别为，，
则，即，
故与的夹角为
和均经过椭圆C内部的点，
，与椭圆C分别交于两点，
将代入可得，，
设，是方程的两根，
则，
是与椭圆C相交弦中点，
，
将为为参数，代入，同理可得，，
，解得或舍去，
，
，
或