2022年山东省东营市广饶县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省东营市广饶县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各数中属于无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 数学课上，老师指导同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下第一步：将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴；第二步：将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则请问小明这样画图的依据是

A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 同位角相等，两直线行

4. 某班名学生的身高情况如下表

关于身高的统计量中，不随、的变化而变化的有

A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 均数，方差 D. 平均数，众数

5. 某项工作甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲先干天，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲、乙合作了天，所列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 在中，，，，则边长为     

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为

A. 且 B.
C. 且 D. 且

8. 如图，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动．设点经过的路程为，的面积为把看作的函数，函数的图象如图所示，则图中的等于

A.  B.  C.  D.

9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为点和点均在直线上．
   ；
   ；
   抛物线与轴的另一个交点是；
   方程有两个不相等的实数根；
   ；
   不等式的解集为．
   其中结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，下列结论：
    ；
    四边形为菱形；
    ；
    ．
    其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 据统计：我国微信用户数量已突破亿人，亿用科学记数法表示为______．
12. 若进行因式分解的结果为，则______．
13. 若方程组的解满足，则的取值范围是______．
14. 如图所示的是一个面积为的正方形微信二维码，小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，他将若干次有效试验的结果点落在正方形区域外不计试验结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此估计黑色部分的面积大约为______．

15. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为______．
    
    
     

16. 如图，半径为的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则图中阴影部分的面积是______．
     

17. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图主视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为______．
18. 如图，曲线是抛物线的一部分其中是抛物线与轴的交点，是顶点，曲线是双曲线的一部分．曲线与组成图形由点开始不断重复图形形成一组“波浪线”；若点在该“波浪线”上，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分）

19. 计算：；
    化简然后选一个合适的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 年因为疫情，上级要求进行线上学习．某校师生积极开展网络授课教学，为了解九年级学生网课发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在网课上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知，两组发言人数的比为：，请结合图中相关数据回答下列问题：

样本容量为______；在扇形统计图中，“”所对应的圆心角的度数是______，并补全直方图．
该年级共有学生人，估计全年级在这天里发言次数不少于的人数为______；
该校九年级组织一次网络授课经验专项视频会议，从组里挑两名同学发言，其中该组中有两名男生，利用“树状图”或列表法求出正好选中一男一女的概率．

21. 如图，在中，，是的角平分线．
    以上一点为圆心，为弦作；
    求证：为的切线；
    如果，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每天有辆货车未出租，日租金总收入为元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为元．
    该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
    经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨元，每天租出去的货车就会减少辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为，一次函数的图象经过点，，反比例函数图象也经过点．
    求反比例函数的关系式；
    直接写出当时，的解集．
    若是轴正半轴一点，当是等腰三角形时，求出点的坐标．

24. 如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，已知， 
     

求抛物线的解析式；   

在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；   

点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由   






 

25. 如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于．
    如图，猜想______；
    如图，若当是锐角时，其他条件不变，猜想的度数，并证明；
    如图，若，，且，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：利用平移的性质得到，
所以．
故选：．
先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行可判断．
本题考查了作图复杂作图，作图平移变换，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
所以众数为，中位数也是，
所以众数、中位数不会随着、的变化而变化，
故选：．
根据总人数确定的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是确定原数据的中位数及众数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设甲、乙合作了天，则甲工作了天，
由题意得：．
故选：．
设甲、乙合作了天，则甲工作了天，然后再根据甲的工作效率甲的工作时间乙的工作效率乙的工作时间，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
首先根据特殊角的三角函数值求得的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得和的长后即可求得线段的长．
本题考查了解直角三角形的知识，能从中整理出直角三角形是解答本题的关键，难点为分类讨论，难度中等．
【解答】
解：，
，
当为钝角三角形时，如图，


，，
，
，
由勾股定理得，
；
当为锐角三角形时，如图，
，
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】解：将分式方程转化为整式方程得：
解得：．
方程得解为正数，所以，解得：．
分式的分母不能为，
，
，即．
．
故且．
故选：．
先求得分式方程的解含的式子，然后根据解是正数可知，从而可求得，然后根据分式的分母不为，可知，即．
本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于的不等式是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，连接交于，
由图可知，，，
，
在中，，
，
所以，菱形的面积，
当点在上运动时，的面积不变，为，
所以，．
故选：．
连接交于，根据图求出菱形的边长为，对角线为，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后求出的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，为点在上时的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．
本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线的长是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以错误；
抛物线开口向上，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的一个交点为，所以错误；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，所以错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，，
，
直线经过抛物线的顶点坐标为，
，
，所以正确；
当时，，
不等式的解集为所以正确．
故选：．
利用抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；由抛物线开口向上得到，则，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点为，则可对进行判断；利用抛物线与直线只有一个交点可对进行判断；利用二次函数的增减性可对进行判断；结合函数图象可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：折叠正方形，使边落在上，点落在点处，
，，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形，故正确；设，则，
，
，故正确；
平分，，
，
，故正确，
故选：．
根据正方形的性质和折叠的性质可知，，则，得，故正确；根据，，得四边形是平行四边形，由，可知▱是菱形，故正确；设，则，则，得，故正确；由角平分线的性质得，从而得出正确．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：亿．
故答案是：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，
故答案为：．
将展开，则，从而求出、的值，代入计算可得答案．
本题考查了因式分解的应用，知道因式分解前后两式相等是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：两个方程相加得，
则，
，
，
解得，
故答案为：．
两个方程相加得，则，由可得关于的不等式，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

14.【答案】
 

【解析】解：观察图发现点落在白色部分的频率逐渐稳定在附近，
估计点落在白色部分的概率为，
落在黑色部分的概率为，
据此可估计黑色部分的面积约为，
故答案为：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设，
则，，
，
，
，
，
点在上，
，
故答案为：．
根据三角形的面积求出，代入反比例函数的解析式，即可求出．
本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式和反比例函数系数的几何意义，能求出是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接交于点，连接、，

由题意知，，且，
在中，，，
，
，，
，
则

，


．
故答案为：．
连接交于点，连接、，根据题意且，继而求出、，然后根据、计算可得答案．
本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
可以确定点和点分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为．
故答案为：．
首先根据题中所给的三视图，得到点和点在圆柱上所处的位置，点在上底面上，点在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点、在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果．
本题考查了由三视图判断几何体，平面展开最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点、所在位置．
 

18.【答案】
 

【解析】解：，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
点在的图象上，
，
点在的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标是，
点的坐标为，
，
点的纵坐标和时的纵坐标相等，
当时，，
在的图象上，
．
故答案为：．
由抛物线求出点、点，由点求出双曲线的，再求出点，得到个单位为一个循环，求出．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：原式

．
原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
当时，
原式答案不唯一．
 

【解析】根据乘方运算、二次根式的性质、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义即可求出答案．
根据分式的加减运算、乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查乘方运算、二次根式的性质、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及分式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】   
 

【解析】解：、两组发言人数的比为：，组发言人数占，
组发言人数占，
由直方图可知组的人数是人，
被调查的学生人数为人，
样本容量是；
组的人数为人，
组的人数是人，
在扇形统计图中，“”所对应的圆心角的度数是；
补图如下：

故答案为：，；

根据题意得：人，
答：全年级在这天里发言次数不少于的人数为人；
故答案为：；

组有名学生，其中有两名男生，
组有名女生，
画树状图如下：

共有种等情况数，其中正好选中一男一女的有种，
则正好选中一男一女的概率是．
根据、两组发言人数的比，求出所占的百分比和人数，从而得出样本容量；用总人数乘以组和组各占的百分比求出组合组的人数，即可补全统计图；用总人数乘以“”所占的百分比求出，“”所对应的圆心角的度数；
用该年级总人数乘以发言次数不少于的人数所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数和正好选中一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图所示，
连接，
平分，
，
又，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线．
，，
，
，，
设的半径为，则，，
，
∽，
，
即，，
解得，，
的半径为．
 

【解析】因为是弦，所以圆心即在上，也在的垂直平分线上；
因为在圆上，所以只要能证明就说明为的切线；
根据的正切值，先求出、的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．
本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．
 

22.【答案】解：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是分式方程的根，
元，
答：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，淡季每辆货车的日租金元；
设每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入为元，
根据题意得，，
，
，
当时，有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入最高．
 

【解析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
根据题意可以列出方程，进而求得结论；
根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
 

23.【答案】解：过点作轴于点，

，
．
又，
，
，．
≌，
，，
点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数解析式可得：，解得：，
故可得反比例函数解析式为；
结合点的坐标及图象，可得：
当时，的解集为：；
分三种情况求解：如图，

当时，
点在轴正半轴，
符合要求，不符合要求，
，，
，
，
，
；
当时，在轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点与点重合，不符合题意，故AC时，不存在；
当时，设，
，
在中，由勾股定理，得
，
解得，，
，
综上所述，点坐标为或．
 

【解析】过点作轴于点，利用证明≌，得，，可知点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
根据图象直接可得答案；
分、、三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，函数与不等式的关系等知识，构造全等三角形求出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式是；
将直线表达式与二次函数表达式联立方程组，得：

解得：
 ，
当点、、三点不共线时，
，
当点、、三点共线时，
，
当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，
过点作轴于点，

在中，由勾股定理得，
取最大值为；
存在点使得以、、为顶点的三角形与相似．
设点坐标为
在中，，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
过点作交轴于点，则，过点作轴于点，

，
，
∽，
，
当时，
∽，
，
解得，舍去
点的纵坐标为，
点为；
当时，
∽，
，
解得舍去，舍去，
此时无符合条件的点
综上所述，存在点．
 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中、，要注意分类求解，避免遗漏．
将，代入，即可求解；
分当点、、三点不共线时、当点、、三点共线时，两种情况分别求解即可；
分当时、当时两种情况，分别求解即可．
 

25.【答案】解：；
．
理由如下：如图，

是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
作于，如图，

与一样可证明≌，
，
，，
，，
由，
为等腰直角三角形，，
则，即，
解答，
，
在中，，
，由勾股定理可得，
，
．
 

【解析】解：；
证明：如图，与的交点记为，

，且，
是等边三角形，
，，
则和中，
，
≌，
，
在和中，，
．
故答案为：；

见答案；
见答案．
先利用等边三角形和旋转性质，判断出≌，依次可得出度数；
同也根据“”可证明≌，得到，然后利用三角形内角和定理可得到；
作于，与一样可证明≌，则，由，，利用勾股定理依次求得得出长度，长度即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出≌是解本题的关键．