2023年山东省东营市利津县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省东营市利津县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用计算器计算，按键顺序是，，，，显示的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

5.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C. 无解 D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根

7.  如图，在等边中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点设点的运动时间为秒，的面积为当，，三点共线时，不妨设，则能够反映与之间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知抛物线交轴于点和轴正半轴于点，且，交轴正半轴于点有下列结论：；；时有最大值；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的正切值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.  年黄河口生态旅游区“十一”期间接待游客人次，实现旅游收入万元，则万元用科学记数法表示为______元．

12.  因式分解：______．

13.  在党中央的正确领导和全国人民的共同努力下，我国新冠肺炎确诊人数逐日下降，同时为构建人类命运共同体，我国积极派出医疗队帮助其他国家抗疫，由我国援助的国刚开始每周新增新冠肺炎确诊人数是人，两周后每周新增新冠肺炎确诊人数是人，若平均每周下降的百分率相同，则平均每周下降的百分率是______．

14.  若不等式组的解集是，则的取值范围是______．

15.  若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．

16.  如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象交于点，若，则 ______ ．

17.  如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是        ．

18.  如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．
先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．

20.  本小题分
某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．
求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？
该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

21.  本小题分
为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

类女生有______名，类男生有______名，将上面条形统计图补充完整；
扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是______；
为了共同进步，郑老师想从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．

22.  本小题分
如图，一次函数为常数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点，且点的坐标为．
分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
点在轴上，当时，求点的坐标．
 

23.  本小题分
如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．
求与之间的距离；
求天线的高度．参考数据：，结果保留整数

24.  本小题分
综合与实践
如图，抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．
求，，三点的坐标；
如图，当点在第四象限时，连接，和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；
点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图探究，直接写出点的坐标．

25.  本小题分
如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．
证明：．
如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展与应用：如图，、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合，点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选：．
根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：被开方数是非负数；算术平方根本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据题意得出，求出即可结果．
本题考查了计算器有理数和有理数的乘方的应用，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
依据平行线的性质，即可得到，再根据三角形外角的性质得到，计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：设绳长是尺，井深是尺，
依题意得：，
解得：，
即井深是尺．
故选：．
设绳长为尺，井深为尺，根据等量关系：绳长的井深尺；绳长的井深尺；列出方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
整理得：
解得：，
检验：把代入，
所以分式方程的无解．
故选：．
分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

6.【答案】 

【解析】解：将原方程化为一般形式为．
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
将原方程转化为一般形式，由根的判别式，即可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，当点运动到点时，，即时，的面积发生变化，由此可排除选项；
当点在上，即时，如图，

由点的运动可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
由此可排除，；
当点在上，即时，如图，

由点的运动可知，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，

故选：．
根据点的运动可知，当点运动到点时，用时，由此可排除选项；当点在上，即时，由点的运动可知，，，，所以，由此可排除和选项，当点在上，即时，经过验证，选项正确．
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

解：由题意得是的平分线，过点作于，
所以，

又，
，
在和中，

≌，
，
的面积为：．
故选：．
【分析】
判断出是的平分线，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．  

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
；
对称轴在轴的右侧，
，
，
又抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
，
，
，
，
，
对称轴为：直线，
即，
，
所以正确；
抛物线交轴于点和点，
，
，
时，有最大值，
所以正确；
当时，，
由知：，
，
，
所以正确．
正确结论有，共有个．
故选：．
根据抛物线开口方向得到；对称轴在轴的右侧，与异号，得到，又抛物线与轴的交点在轴上方，则，于是可判断错误；
根据，确定点的坐标，可得抛物线的对称轴为直线，于是可判断正确；
根据和点确定抛物线的解析式，并化为顶点式，于是可判断正确；
根据和可判断正确．
本题考查了二次函数的顶点式，与轴的交点及二次函数的图象与系数的关系：当，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，正确得出是直角三角形是解题关键．
根据题意平移使点与点重合，进而得出，是直角三角形，再利用，进而求出答案．
【解答】
解：如图所示：平移到位置，使点与点重合，至位置，连接，

可得，
，，，
，
是直角三角形，
．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：数据万用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每周下降的百分率是，
由题意得：，
解得，舍去，
答：平均每周下降的百分率是．
故答案为：．
根据减少率问题应用题的思路：减少率减少数量原数量如：若原数是，每次减少的百分率为，则第一次减少后为；第二次减少后为，即原数减少的百分率后来数．即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到符合题意的等量关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集是，
．
故答案为：．
根据“同大取较大”的法则进行解答即可．
本题考查的是不等式的解集，熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：，
方程两边同乘得，，
解得，，
，
，
由题意得，，
解得，，
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，设．
，
．
的面积为，
，
，
，，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为．
作轴于，设由，根据三角形的面积公式得出根据相似三角形性质即可表示出点的坐标，把点坐标代入反比例函数即可求得．
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
连接，而点、分别为、的中点，故是的中位线，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，此时最大，
则，
故答案为：．
当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，
余，
点在轴正半轴，横坐标是，横坐标是，
的坐标为．
故答案为：．
首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可．
本题是对点的坐标变化规律的考查，根据是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

，
，
，
则原式． 

【解析】先代入三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、去绝对值符号、逆用积的乘方进行变形，再计算乘法，最后计算加减即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定出的值，代入计算即可．
本题主要考查实数的运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，
依题意有，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元；
设购进一次性医用外科口罩只，依题意有
，
解得．
答：至少购进一次性医用外科口罩只． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
可设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
可设购进一次性医用外科口罩只，根据购进的总费用不超过万元，列出不等式即可求解．
 

21.【答案】解：总人数名，
类学生人数：名，
类女生人数：名，
类学生占的百分比：，
类学生人数：名，
类男生人数：名，
故C类女生有名，类男生有名；
补充条形统计图，











故答案为：，；
，
答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是；
故答案为：；
由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学． 

【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据类有人，所占的比例是，据此即可求得总人数，利用求得的总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，同理求得类男生的人数；
利用，即得到对应圆心角度数；
利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
 

22.【答案】解：两函数图象相交于点，
，，
解得，，
反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为；
联立，
解得舍去，，
所以，点的坐标为，
设，则有，
或，
或． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把交点的坐标代入解析式计算即可，比较简单，注意两函数的交点可以利用联立两函数解析式解方程的方法求解．
分别把点的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可；
联立两函数解析式，解方程组即可得到点的坐标．
 

23.【答案】解：由题意得，在中，，
米，
米，
米，
即与之间的距离是米；
在中．，米，
米，
米，
米，
，
米．
即天线的高度为米． 

【解析】由等腰直角三角形的性质得出米，则可求出答案；
解直角三角形求出米，则可求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入中，
得，
解得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
把代入中，得，
点的坐标是；
设点的坐标是，
如图，过点作轴于点，作轴于点，连接，

，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，
，
化简，得，
，
当时，的面积最大为，
，
点的坐标是；
如图所示，当四边形是平行四边形时，
则，，
点的纵坐标为，
令，
解得：或舍去，
，
，
；

如图所示，当四边形是平行四边形时，可得；

如图所示，当四边形是平行四边形时，
设点的坐标是，点的坐标为，
，
解得或舍去，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
，
解得，
；

如图所示，当四边形是平行四边形时，可求 ；

综上所述，点的坐标为或或或． 

【解析】求出当时的值即可求出、的坐标，求出当时的值即可求出点的坐标；
如图，过点作轴于点，作轴于点，连接根据推出，据此求解即可；
分图，，，四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．
本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，直线，直线，
，
，

，
，
在和中，

≌，
，，
．
解：成立；
理由：如图，，
，
，
在和中，

≌，
，，
；
解：为等边三角形．
理由：如图，由可知，≌，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
为等边三角形． 

【解析】根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断≌，则，，于是；
由，就可以求出，进而由就可以得出≌，就可以得出，，即可得出结论；
由等边三角形的性质，易证≌，就有，进而得出≌，得出，，而得出，就有为等边三角形．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．