2023年山东省东营市广饶县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省东营市广饶县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若代数式与的值相等，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  某活动小组购买了个篮球和个足球，一共花费元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在中，、分别是边、上的点，且，，则下列说法不正确的是(    )

 

A. ：： B.
C. ：： D.

7.  如图，随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是米，底面半径为米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，当时，的取值范围是(    )
 

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10.  如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交于点，连结、、下列结论：≌；；；其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  “天宫课堂”第三课于年月日在“天宫”空间站顺利开展，神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲面向广大青少年进行太空授课“天宫”空间站在轨运行速度每小时约为千米，该速度用科学记数法可表示为        千米时．

12.  因式分解______．

13.  为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______．

14.  如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为______ ．

15.  如图，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接若，，则的度数为          ．
 

16.  如图，是的一条弦，是上一动点不与点，重合，，分别是，的中点若，，则长的最大值为______ ．

17.  如图在正方形纸片的边长为，，分别是，边上的点，连接，把正方形纸片沿折叠，使点落在上的点处，若，则的长为______ ．

18.  如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，，这样依次下去，得到一组线段：，，，则线段的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  计算：；
先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______ 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______ 度；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中，两人的概率．

21.  本小题分
如图，在等腰中，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．

22.  本小题分
如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度．结果用表示．参考数据：，
 

23.  本小题分
为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵元，且用元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的倍．
求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
商场决定甲品牌以每件元出售，乙品牌以每件元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

求这个二次函数的解析式；
点是直线上方的抛物线上一动点，设四边形的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标；
点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，说明理由．

25.  本小题分
【问题发现】
如图所示，和均为正三角形，、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为        ；        ；
【类比探究】
如图所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图所示，在中，，，，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是算术平方根、同底数幂的除法运算、完全平方公式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
A、根据算术平方根的概念解答判断即可；
B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；
C、根据完全平方公式计算判断即可；
D、根据合并同类项法则计算判断即可．
【解答】
解：、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：


，且，
，
，
，
故选：．
由平行可得，又结合直角定义可得出，可求得答案．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
 

4.【答案】 

【解析】解：结合已知，得，
，
即，
，
所以或．
故选：．
结合已知，可得，整理并因式分解得到：；接下来根据或求解即可．
本题考查的是一元二次方程的知识，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故选：．
根据题意可得等量关系：个篮球的花费个足球的花费元，篮球的单价足球的单价元，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，故选项A正确，不符合题意；
，
，，
∽，
，
，故选项B，D正确，不符合题意；
∽，
，故选项C错误，符合题意．
故选：．
利用，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可．
本题考查了相似三角形的判断与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图，如图所示：

随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，
能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合，
则能让两盏灯泡、同时发光．
故选：．
找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率．
此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长米，
圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
圆锥的侧面积平方米．
故选：．
根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，找出点横坐标是解题关键．属于基础题型．
先根据点与关于原点对称，得出点横坐标，再找出正比例函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】
解：由反比例函数与正比例函数相交于点、，可得点与点关于原点对称．
故点的横坐标为．
当时，即正比例函数图象在反比例函数图象上方，
观察图象可得，当或时满足题意．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，，
，，
把沿折叠使落在的位置，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，故正确；
设，则，，
在中，，，，
，
，解得，
，
，故正确；
，
，
又≌，
，
而，
，
，
，故正确；
过作于，

，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
先求出，，由折叠的性质，，，，由“”证明≌，则，，所以；；设，则，，在中，根据勾股定理得，解得，则，则点为的中点；同时得到，根据等腰三角形的性质得，再由≌得到，然后根据三角形外角性质得，易得，根据平行线的判定方法得到；过作，则∽，∽，由相似比为，可计算，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解．
本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时有公因式先提取公因式，然后再考虑用公式法因式分解．
 

13.【答案】分 

【解析】解：由图可知，
分的人，分的人，分的人，分的人，
则这些成绩的中位数是分，
故答案为：分．
根据统计图可以写出各个分数的人数，然后即可计算出成绩的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
由三角形的内角和定理可求得的度数，再由题意可得，结合三角形的外角性质可得，从而可求解．
【解答】
解：，，
，
以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
为的中位线，
，
当的长最大时，的长最大，
点为直径时，最长，
此时，
，
的最大值为，
长的最大值为．
故答案为．
先判定为的中位线得到，由于为直径时，最长，此时，利用含度的直角三角形三边的关系求出此时的长，从而得到长的最大值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠及轴对称的性质可知，≌，垂直平分，交于，

，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠及轴对称的性质可知，≌，垂直平分，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，灵活运用正方形的性质和轴对称的性质是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题可知，直线：与轴的夹角为，
，
，
，
，
，
同理，，
，

，
当时，．
故答案为：．
根据题意可分别写出线段，，的长度，继而发现规律得到的长度，令，即可求出线段的长．
本题主要考查三角函数的知识点，熟练特殊角度三角函数的求值是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
原式

，
当时，
原式． 

【解析】根据二次根式的化简，绝对值化简，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可．
先计算括号里的，再按照运算顺序计算化简即可，最后代入求值．
本题考查了实数运算、分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则，以及通分、约分．
 

20.【答案】   

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：连接，

是直径，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，只需证即可；
连接，由∽即可求解．
本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是掌握并能熟练应用这些知识点．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得，，，
设，则，，，
两船同时到达处海岛，
，
即，
，
． 

【解析】过点作的垂线，构造直角三角形，可得是含有角的直角三角形，是含有角的直角三角形，设辅助未知数，表示，，再根据时间相等即可求出甲船的速度．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设甲品牌每件的进价为元，则乙品牌每件的进价为元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲品牌每件的进价为元，则乙品牌每件的进价为元；
设该商场购进甲品牌恤衫件，则购进乙品牌恤衫件，利润为元，
购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的倍，

解得，
，
，
当时，取得最大值，此时元，，
答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌恤衫件，购进乙品牌恤衫件，最大利润是元． 

【解析】根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵元，且用元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的倍，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
根据题意，可以求得购买甲种品牌的恤衫数量的取值范围，然后列出利润与甲种品牌的恤衫数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

24.【答案】解：将点，代入中，
，
解得．
；

令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，

设，则，
，
，
点是直线上方，
，
当时，有最大值，
此时点的坐标为；



如图，当且时，

，
，
在中，
当时，，，
，
，
，
，
或；
当时，
，
，
，
在中，
当时，，，
，，
，
，
或，
或，
综上所述，点的坐标为或或或． 

【解析】将点，代入中，即可求解；
求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，再求解即可；
分情况讨论，分当且时和时，根据平行四边形的性质及平移规律可分别求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段与之间的数量关系是，
故答案为：，；

结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

分两种情况：
如图，

，，，
，
，
为的中位线，
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
∽，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
如图，同得：∽，
则，，

设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
综上所述，的长为或．
证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论；
分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．