2023年山东省东营市广饶县乐安中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年山东省东营市广饶县乐安中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列交通标志中，轴对称图形的个数为(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  将一副三角板按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛场双循环，计划安排场比赛，设有支球队，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为的等腰三角形，俯视图是直径为的圆，则这个几何体的全面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知▱的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，、为线段上两动点，且，过点、分别作、的垂线相交于点，垂足分别为、现有以下结论：；当点与点重合时，；；，其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.  冠状病毒的直径约为纳米，纳米米，若用科学记数法表示纳米为______ 米

12.  分解因式： ______ ．

13.  在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点对应点的坐标是______ ．

15.  若关于的分式方程无解，则______．

16.  如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线、与地面的夹角分别为和，该大灯照亮地面的宽度的长为米，则该大灯距地面的高度约为______ 参考数据：，，，

17.  如图，在矩形中，，，点、分别为、边上的点，且的长为，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______ ．

18.  在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，若到达终点，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算；
先化简，再求值：，其中是方程的根．

20.  本小题分
如今很多初中生喜欢购买饮品引用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：：白开水，：瓶装矿泉水，：碳酸饮料，：非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

这个班级有______ 名同学；请补全条形统计图；
若该班同学每人每天只饮用一种饮品每种仅限一瓶，价格如表，求该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
在饮用白开水的同学中有名班委干部其中有两名是班长，为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这名班委干部中随机抽取名作为良好习惯监督员，则恰好抽到名班长的概率是______ ．

21.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接、，．
求证：是的切线；
连接，若，且，的半径为，求的长．

22.  本小题分
如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
求和的值；
请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求的面积．

23.  本小题分

某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：

如果在线下购买、两种书架个，共花费元，求、两种书架各购买了多少个
如果在线上购买、两种书架个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式
在的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．

24.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点直线经过点，．
求抛物线的解析式；
抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由；
在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．

尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图证明；
基础训练：如图，在中，，是边上一点连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处若，，求的长；
拓展升华：如图，中，，，为的角平分线，的中垂线交延长线于，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据同底数幂的除法，绝对值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【解答】
解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】
解：第个是轴对称图形，符合题意；
第个是轴对称图形，符合题意；
第个不是轴对称图形，不合题意；
第个是轴对称图形，符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，

，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：设有支球队，每两队之间都赛场双循环，计划安排场比赛，
，
故选：．
设有支球队，根据题意每两队之间都赛场双循环，每支球队比赛场，列出一元二次方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥的高，
母线长，
圆锥的全面积．
故选：．
依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积侧面积底面积．
本题考查由三视图判断几何体，圆锥的计算．用到的知识点为：有个视图为三角形，另一个视图为圆的几何体是圆锥．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，
飞镖落在阴影区域的概率是．
故选B．
由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．
本题主要考查几何概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：▱的顶点，，
，，
中，，
由题可得，平分，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出，可得．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用三角形两边之差小于第三边，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即：，
，
由于，
，
，
．
．
故选：．
当，即在点时，；利用三角形两边之差小于第三边，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，是等腰直角三角形，
，故正确；

如图，当点与点重合时，点与点重合，

，，
，
，
，四边形是矩形，
，
，，
，
是的中位线，
，故正确；

如图所示，

，，
．
将顺时针旋转至，
则，，；；
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，即，故错误；

，
，
∽，
，
，
由题意知四边形是矩形，
，，
，，
；，
即；，
；，
，故正确；
故选：．
由题意知，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
如图，当点与点重合时，点与点重合，可得，四边形是矩形，进一步得到是的中位线，从而作出判断；
如图所示，可证≌，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
根据可证∽，根据相似三角形的性质可得，由题意知四边形是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到，依此即可作出判断．
此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：纳米米．
故答案为：．
根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，求解即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列，中位数是第个数，
则这些运动员成绩的中位数为．
故答案为：．
根据中位数的定义直接解答即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

14.【答案】或 

【解析】解：点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是：或，即或．
故答案为：或．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：．
求出分式方程的解为，由题意可得，求出即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
 

16.【答案】米 

【解析】解：过点作，垂足为，

设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
米，
该大灯距地面的高度约为米．
故答案为：米．
过点作，垂足为，设米，则米，然后在中，利用锐角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，，
，
当，，，共线时，的值最小，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，，由，推出当，，，共线时，的值最小，根据勾股定理求得，从而得出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查学生找规律能力和数形结合的能力，解题的思路：结合图形找出坐标所在象限，从移动规律中发现其纵坐标和横坐标与点的右下标之间的关系．
先根据终点在平面直角坐标系中的第四象限，所以观察图中第四象限点的特征，，，，的右下标从开始，依次加，再看下标与横坐标的关系：，从而得结论．
【解答】
解：到达终点，且此点在第四象限，
根据题意和图形的坐标可知：，，，
，
，
，

．
故答案为：．  

19.【答案】解：


；




，
由可得，，
时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的乘法，然后求出方程的根，再将使得原分式有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
 

20.【答案】  

【解析】解：总人数：人，
种的人数为：人，
条形图如下：

故答案为：；
每天用于饮品的人均花费是：元，
即：人均花费元；
分别用、表示两名班长，、表示另外两名班委，采用列表法列表如下：

由上表可知总的可能情况有种，同时抽到两位班长的情况有种，
则同时抽到两位班长的概率为：．
故答案为：．
结合条形图和扇形统计图数据，用种人数除以种人数的占比即可求出总人数，利用总人数即可求出种的人数，再补全条形图即可；
根据的结果，求出总的费用再除以总人数即可求解；
采用列表法即可求解．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用、采用列举法求解概率等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线；
解：的半径为，
，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
． 

【解析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；
证明∽，得出对应边成比例，即可求出的长．
 

22.【答案】解：把点代入正比例函数可得：，
点，
把点代入反比例函数，
可得：；
点与点是关于原点对称的，
点，
根据图象可得，不等式的解集为：或；
如图所示，过点作轴，垂足为，
，
，
在中，
四边形是菱形，
，，
． 

【解析】先把点代入正比例函数解析式求出的值，再把求出的点坐标代入反比例函数解析式即可求出值；
根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点的坐标，然后根据图象即可写出解集；
根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积．
本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积．
 

23.【答案】解：设购买种书架个，则购买种书架个，
根据题意，得：，
解得：，
个，
答：购买种书架个，种书架个；
根据题意，得：
，
根据题意，得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小为，
线下购买时的花费为：元，
元，
线上比线下节约元． 

【解析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第小题的关键是能根据一次函数的性质，求出的最小值．
设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费元，列方程求解即可；
买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可；
根据购买种书架的数量不少于种书架的倍，求出的取值范围，再根据第小题的函数关系式，求出的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费即可．
 

24.【答案】解：直线经过点，，
当时，可得，即的坐标为．
当时，可得，即的坐标为．
．
解得．
该抛物线的解析式为；

的为直角三角形，理由如下：
解方程，则，．
，．
抛物线的对称轴为，
为等腰三角形．
的坐标为，的坐标为，
，即．
．
．
．
的为直角三角形；

如图：作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，

，
．
．
为等腰直角三角形．
．
．
设的函数解析式为．
，，
．
解得，．
的函数解析式为，
设的函数解析式为，
点的坐标为
，
解得：．
的函数解析式为．
．
解得．
的坐标为；
在直线上作点关于点的对称点，
设，
则有：，解得．
．
的坐标为
综上，存在使与直线的夹角等于的倍的点，且坐标为， 

【解析】先根据直线经过点，，即可确定、的坐标，然后用带定系数法解答即可；
先求出、的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形为等腰三角形；再结合得到，进一步说明，则即可判定的形状；
作于，轴于，作的垂直平分线交于，于；然后说明为等腰直角三角形，进而确定的坐标；再求出的解析式，进而确定的解析式；然后联立直线和的解析式即可求得的坐标；在直线上作点关于点的对称点，利用中点坐标公式即可确定点的坐标．
本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
；
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为的角平分线，
，，
，，，
，
，
的中垂线交延长线于，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质易证∽，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证；
由折叠的性质得出，，由知，，由勾股定理求出的值即可得出答案；
根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出∽，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．