2022年山东省枣庄市中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省枣庄市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 一块含有的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，且，则

A.  B. 或 C. 或 D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则

A.  B.  C.  D.

8. 若定义一种新运算：，例如：；则函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将沿直线翻折至的位置，与交于点则等于

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：，，，，正确的有
     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 若、满足，则代数式的值为______ ．
14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．
15. 如图．某大学学子餐厅把密码做成了数学题，小亮就餐时顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是______．

16. 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为______ ．

17. 把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点则______．
    
     

18. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、给出下列结论：
    ；；；∽．
    其中正确的结论有______请填上所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某学校为了解全校学生对电视节目新闻、体育、动画、娱乐、戏曲的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
    
    请根据以上信息，解答下列问题
    这次被调查的学生共有多少名？
    请将条形统计图补充完整；
    若该校有名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
    该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 图、图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离结果精确到参考数据：，，，

22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、一次函数的图象经过、两点．
    分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
    点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______ ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求和的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     

如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．

求抛物线的表达式；
点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
如图，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
直接利用绝对值的性质分析得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图，延长，交于点，

，，
，
在中，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即对顶角相等是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由图可知，，且，
，，，，
关系式不成立的是选项C．
故选：．
根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝对值大的反而小．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，，
又，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为或．
故选：．
求出符合条件的、的值，代入计算即可．
本题考查绝对值的意义，有理数乘法和加法的计算方法，求出相应的、的值是正确计算的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于点，

四边形为菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：当时，，
当时，，
即：，
当时，，
即：，
，
当时，，函数图象向上，随的增大而增大，
综上所述，选项符合题意．
故选：．
根据，分两种情况：当时和当时，分别求出函数的关系式，然后判断即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
．
根据折叠性质可得．
．
，
∽．
．
设，则，
解得．
故选：．
先利用直角三角形的性质，求出，再根据折叠性质求得，从而得到长，最后根据∽得出与有关的比例式，即可求解长．
本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，解题的关键是找到与相关的三角形，利用相似知识求解．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点．
延长交轴于点，利用反射定律，推出等角，再证≌，已知点坐标，从而得点坐标，利用，两点坐标，求出直线的解析式，从而可求得点坐标．
【解答】
解：如图所示，延长交轴于点．

这束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，
设，由反射定律可知，


于

在和中

≌


设直线的解析式为，则将点，点代入得


直线为
点坐标为
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：如下图，过点作于点，


在中，，，
，
，
，为半圆的直径，
，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形面积公式、圆周角定理，含角的直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，即，
，则，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故正确；
抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点横坐标在和之间，
则与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故错误；
时，的最大值是，
，
，即，故正确；
当时，，，
，故正确；
故选：．
根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴交点可得，，的符号，从而判断；再根据二次函数的对称性，与轴的交点可得当时，，可判断；再根据时，取最大值可得，从而判断；最后根据时，，结合，可判断．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据方程组中和的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
本题主要考查因式分解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
 

14.【答案】且
 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】
 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
根据题中密码规律确定出所求即可．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：过点作，则，
由题目作图知，是的平分线，

则，
为等腰直角三角形，故，
则为等腰直角三角形，故BD，
则，
故答案为：。
由题目作图知，是的平分线，则，进而求解。
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中。
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，，，是的中点，
，，

，，
，，
，
∽，
，
，

故答案为．
连接，根据直角三角形的性质，用表示，，再证明得∽，由相似三角形的性质得，进而得便可．
本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是证明三角形相似．
 

18.【答案】
 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
和分别为和中点，
，
≌，
，，
，
，
，即，故正确；
，，
，
，故错误；
为中点，
，
，
，
，
，，
，
，故正确；
，而，
则和不相等，
故，
故HD与不平行，故错误；
故答案为：．
证明≌，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到，可判断，再利用三角形等积法可算出，可判断；再证明，求出，，，可判定，可判断；通过，得到和不相等，则，可判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：这次被调查的学生人数为名；

喜爱“体育”的人数为名，
补全图形如下：


估计全校学生中喜欢体育节目的约有名；

列表如下：

所有等可能的结果为种，恰好选中甲、乙两位同学的有种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
 

【解析】根据动画类人数及其百分比求得总人数；
总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
用样本估计总体的思想解决问题；
根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：如图，过点作于，交于．

与地面的夹角为，为，
，
，
在中，，
在中，，
．
故跑步机手柄所在直线与地面之间的距离约为．
 

【解析】过点作于，交于在中，根据三角函数可求，在中，根据三角函数可求，再根据即可求解．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．
 

22.【答案】解：四边形为矩形，，，
．
由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，
，
故反比例函数表达式为．
令，则；令，则．
故点坐标为，
设直线的解析式为，代入、坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为．
．
 

【解析】解：见答案；

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，得：
，解得：．
则直线的解析式为，
令，则．
点坐标为．
故答案为：．
由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．
本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题将军饮马解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．

23.【答案】解：四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
；
由知，四边形是矩形，
，
，，
，
．
 

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
 

24.【答案】解：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；

连接，为直径，
，
又，
∽，
，
又，
，则，又，
在中，，即，
解得：，则，
，
解得：，，
，
∽，
，设，
，解得：，
经检验：是原方程的解，
故BC的长为．
 

【解析】连接，由题意可证，且，即，则可证是的切线；
连接，证明∽，得到，根据，在中，利用勾股定理求出和，可得和，再证明∽，得到，设，解方程即可求出．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

25.【答案】解：点，点在抛物线图象上，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
点，点，
直线解析式为：，
如图，过点作轴于，交于点，

设点，则点，
，
，
当时，有最大值，
点；
存在满足条件，
理由如下：抛物线与轴交于、两点，
点，
，
顶点为，
点为，点，
直线的解析式为：，
如图，设直线与轴交于点，过点作于，

点，
，
，
，
，
，
，
设点，
点到直线的距离等于点到点的距离，
，
，
，
，
，
，
存在点满足要求，点坐标为或
 

【解析】利用待定系数法可求解析式；
过点作轴于，交于点，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解；
设直线与轴交于点，过点作于，先求出点，点坐标，可求解析式，可得，由等腰直角三角形的性质可得，由两点距离公式可列，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．