高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册第一章 安培力与洛伦兹力综合与测试学案

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习题课一　带电粒子在复合场中的运动　　　　　　　　　　　　　　　　　eq \a\vs4\al(1.会分析带电粒子在复合场中的运动问题。,2.提升受力分析和运动分析的综合能力。) 带电粒子在组合场中的运动[问题探究]如图所示，一带电粒子垂直x轴从P点进入第二象限，一段时间后从y轴上的某点进入第一象限的匀强中。求：(1)在电场中带电粒子做什么运动；(2)在磁场中做什么运动？提示：(1)在电场中做类平抛运动，垂直电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做匀加速直线运动；(2)在磁场中做匀速圆周运动。[要点归纳]带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。1．在匀强电场中运动(1)若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；(2)若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。2．在匀强磁场中运动(1)若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；(2)若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。[例题1]　如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：(1)磁感应强度B的大小；(2)电场强度E的大小；(3)粒子在磁场和电场中的运动时间的比值。[解析]　(1)带电粒子在磁场与电场中运动轨迹如图所示由几何关系可知r＋rsin 30°＝L解得r＝eq \f(2L,3)又因为qv0B＝meq \f(v02,r)解得B＝eq \f(3mv0,2qL)。(2)设带电粒子在电场中运动时间为t2沿x轴，有2L＝v0t2沿y轴，有L＝eq \f(1,2)at22又因为qE＝ma解得E＝eq \f(mv02,2qL)。(3)带电粒子在磁场中运动时间t1＝eq \f(180°－60°,360°)·eq \f(2πr,v0)＝eq \f(1,3)·eq \f(2πr,v0)＝eq \f(4πL,9v0)带电粒子在电场中运动时间t2＝eq \f(2L,v0)所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比eq \f(t1,t2)＝eq \f(2π,9)。[答案]　(1)eq \f(3mv0,2qL)　(2)eq \f(mv02,2qL)　(3)eq \f(2π,9)解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下[针对训练]1．[多选]在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，则离子P＋和P3＋(　　)A．在电场中的加速度之比为1∶1B．在磁场中运动的半径之比为 eq \r(3)∶1C．在磁场中转过的角度之比为1∶2D．离开电场区域时的动能之比为1∶3解析：选BCD　离子P＋和P3＋质量之比为1∶1，电荷量之比等于1∶3，故在电场中的加速度(a＝eq \f(qE,m))之比不等于1∶1，A项错误；离子在离开电场区域时，有qU＝eq \f(1,2) mv2，在磁场中做匀速圆周运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)，得半径r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q))，则半径之比为1∶eq \f(1,\r(3))＝eq \r(3)∶1，B项正确；设磁场宽度为d，由几何关系，有d＝rsin θ，可知离子在磁场中转过的角度正弦值之比等于半径倒数之比，即1∶eq \r(3)，因θ＝30°，则θ′＝60°，故转过的角度之比为1∶2，C项正确；由qU＝eq \f(1,2)mv2可知，离子离开电场时的动能之比等于电荷量之比，即1∶3，D项正确。2．如图所示，平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1．0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切，y轴右侧存在电场强度大小E＝1．0×104 N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1 m。现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P点发射出质量m＝2．0×10－9 kg、电荷量q＝5．0×10－5 C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5．0×103 m/s，重力不计。(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场中，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积。解析：(1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝eq \f(mv02,r)解得r＝0.20 m＝R。如图所示，根据几何关系可知，带电粒子恰从O点沿x轴正方向进入电场，带电粒子做类平抛运动，设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为y，有l＝v0t，y＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2联立解得y＝0.05 m，所以粒子射出电场时的位置坐标为(0.1 m,0.05 m)。(2)粒子飞离电场时，沿电场方向的速度vy＝eq \f(qE,m)t＝5．0×103 m/s＝v0粒子射出电场时的速度v＝eq \r(2)v0由几何关系可知，粒子在正方形区域磁场中做圆周运动的半径r′＝0.05eq \r(2) m由qvB′＝eq \f(mv2,r′)，解得B′＝4 T，故正方形区域的最小面积S＝(2r′)2＝0.02 m2。答案：(1)(0.1 m,0.05 m)　(2)4 T　0.02 m2带电粒子在叠加场中的运动[问题探究](1)图甲中带电小球做匀速圆周运动说明了什么问题；(2)图乙中带电小球沿虚线做匀速直线运动说明了什么问题？提示：(1)图甲中小球做圆周运动说明了洛伦兹力充当向心力，除洛伦兹力外其它力的合力为零，即此时重力与电场力二力平衡；(2)图乙中小球做匀速直线运动，说明小球受到的合力为零，即重力和电场力及洛伦兹力三力处于平衡状态。[要点归纳]1．什么是叠加场电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。2．是否考虑粒子重力(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。3．带电粒子在叠加场中的常见运动[例题2]　如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。(1)判断墨滴所带电荷的正负，并求其电荷量；(2)求磁感应强度B的值；(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？[解析]　(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，受到的重力与电场力等大反向，有qeq \f(U,d)＝mg解得q＝eq \f(mgd,U)由于电场方向向下，墨滴所受电场力向上，可知墨滴带负电荷。(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有qv0B＝meq \f(v02,R)考虑墨滴进入磁场和垂直打在M点的几何关系，可知墨滴在该区域恰好完成四分之一圆周运动，则半径R＝d解得B＝eq \f(v0U,gd2)。(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设墨滴做圆周运动半径为R′，有qv0B′＝meq \f(v02,R′)由图中几何关系可得R′2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R′－\f(d,2)))2解得R′＝eq \f(5,4)d，B′＝eq \f(4v0U,5gd2)。[答案]　(1)负电荷　eq \f(mgd,U)　(2)eq \f(v0U,gd2)　(3)eq \f(4v0U,5gd2)带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法[针对训练]1．三个完全相同的小球a、b、c带有相同电荷量的正电荷，从同一高度由静止开始下落，下落h1高度后a球进入水平向左的匀强电场，b球进入垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，它们到达水平面上的速度大小分别用va、vb、vc表示，它们的关系是(　　)A．va>vb＝vc　　　　　 B．va＝vb＝vcC．va>vb>vc D．va＝vb>vc解析：选A　a小球下落时，重力和电场力都对a小球做正功；b小球下落时，只有重力做功；c小球下落时，只有重力做功。重力做功的大小都相同，根据动能定理可知外力对a小球所做的功最多，即a小球落地时的动能最大，b、c两球落地时的动能相等，由于三个小球质量相等，所以va>vb＝vc，A正确。2．如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，足够长的斜面固定在水平面上，斜面倾角为45°。有一带电的小球P静止于斜面顶端A处，且恰好对斜面无压力。若将小球P以初速度v0水平向右抛出，一段时间后，小球落在斜面上的C点。已知小球P的运动轨迹在同一竖直平面内，重力加速度为g，求：(1)小球P落到斜面上时速度方向与斜面的夹角θ及由A到C所需的时间t；(2)小球P从抛出到落到斜面的位移x的大小。解析：(1)小球P静止时不受洛伦兹力作用，仅受自身重力和电场力，对斜面无压力，则mg＝qE①小球P获得水平初速度后由于自身重力和电场力平衡，将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图所示，由对称性可得小球P落到斜面上时其速度方向与斜面的夹角θ为45°由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝meq \f(v02,R)②圆周运动的周期T＝eq \f(2πR,v0)＝eq \f(2πm,qB)③圆周运动转过的圆心角为90°，小球P由A到C所需的时间t＝eq \f(T,4)＝eq \f(πE,2gB)。④(2)由②式可知，小球P做匀速圆周运动的半径R＝eq \f(mv0,qB)⑤由几何关系知x＝eq \r(2)R⑥联立①⑤⑥式解得位移x＝eq \f(\r(2)Ev0,gB)。答案：(1)45°　eq \f(πE,2gB)　(2)eq \f(\r(2)Ev0,gB)1．[多选]一个带电粒子(重力不计)以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示。在如图所示的几种情况中，可能出现的是(　　)解析：选AD　A、C、D选项图中粒子在电场中向电场线的方向偏转，说明粒子带正电，进入磁场后，由左手定则可知A选项图中粒子应逆时针旋转，C选项图中粒子应顺时针旋转，D选项图中粒子应顺时针旋转，故选项A、D正确，选项C错误；同理，可以判断选项B错误。2．[多选]空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场。如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点，不计重力。则(　　)A．该离子带负电B．A、B两点位于同一高度C．C点时离子速度最大D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点解析：选BC　由离子受到静电力作用开始向下运动，在运动过程中受洛伦兹力作用沿曲线运动，知静电力方向向下，则离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，在A到B的过程中，动能变化为零，根据动能定理知，静电力做功为零，则A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理得，离子运动到C点静电力做功最大，则速度最大，C正确；只要将离子在B点的状态与A点进行比较，就可以发现它们的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子就将在B点的右侧重现前面的曲线运动，因此，离子是不可能沿原曲线返回A点的，D错误。3．如图所示，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下。一质量为m、带电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了30°，重力加速度为g，求：(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；(3)微粒从P运动到Q的时间有多长。解析：(1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上，有qE1sin 45°＝mg解得E1＝eq \f(\r(2)mg,q)微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，有mg＝qE2解得E2＝eq \f(mg,q)。(2)微粒进入磁场区域时满足qE1d1cos 45°＝eq \f(1,2)mv2qvB＝meq \f(v2,R)根据几何关系，分析可知R＝eq \f(d2,sin 30°)＝2d2整理得B＝eq \f(m\r(2gd1),2qd2)。(3)微粒从P到Q的时间包括在区域Ⅰ内的运动时间t1和在区域Ⅱ内的运动时间t2，并满足eq \f(1,2)a1t12＝d1mgtan 45°＝ma1t2＝eq \f(30°,360°)×eq \f(2πR,v)经整理得t＝t1＋t2＝eq \r(\f(2d1,g))＋eq \f(1,12)×eq \f(2π·2d2,\r(2gd1))＝eq \f(6d1＋πd2,6gd1)eq \r(2gd1)。答案：(1)eq \f(\r(2)mg,q)　eq \f(mg,q)　(2)eq \f(m\r(2gd1),2qd2)(3)eq \f(6d1＋πd2,6gd1)eq \r(2gd1)4．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。解析：(1)设粒子在电场中运动的时间为t，粒子做类平抛运动，则水平方向，有x＝v0t＝2h竖直方向，有y＝eq \f(1,2)at2＝h由牛顿第二定律得qE＝ma联立以上各式可得E＝eq \f(mv02,2qh)。(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为vy＝at＝v0所以v＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角。(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝meq \f(v2,r)当粒子从b点射出时，半径最大，磁场的磁感应强度为最小值，粒子的运动轨迹如图所示，此时有r＝eq \f(\r(2),2)L所以B＝eq \f(2mv0,qL)。答案：(1)eq \f(mv02,2qh)　(2)eq \r(2)v0　指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角　(3)eq \f(2mv0,qL)静止或匀速直线运动当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动较复杂的曲线运动当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线