专题02 安培力与洛伦兹力-磁场中的多解性和周期性问题--高中物理同步练习分类专题教案（人教版选择性必修第二册）

第一章 安培力与洛伦兹力

专题02：安培力与洛伦兹力——磁场中的多解性和周期性问题

一、选择题

1.()(多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足 (　　)

A.垂直纸面向里，B>  B.垂直纸面向里，B>

C.垂直纸面向外，B>  D.垂直纸面向外，B>

2.()(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab=L，则粒子的速度可能是 (　　)

A. B. C. D.

3.()如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为+q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点 (　　)

A.  B.               C.                            D.

4.()(多选)如图所示，在x>0、y>0区域的真空中有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴成30°角的方向以任意大小的速度v射入磁场。不计粒子重力，则下列说法中正确的是 (　　)

A.只要粒子的速度大小合适，粒子就可以通过坐标原点

B.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

C.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

D.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

二、非选择题

5.()如图1所示，在矩形ABCD区域里存在垂直于纸面方向的磁场，规定垂直纸面向里为磁场正方向，磁感应强度B按如图2所示规律变化。t=0时刻，一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从B点以速率v0沿BC方向射入磁场，其中B0已知，T0未知，不计重力。

(1)若AB=BC，粒子从D点射出磁场，求AB边长度的可能值及粒子运动的可能时间；

(2)若AB∶BC=∶1，粒子仍从D点射出磁场，求AB边长度的可能值及粒子运动的可能时间。

图1

图2

6.()如图甲所示，在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。第二象限内有一水平向右、场强为E1的匀强电场，第一、四象限内存在正交的场强为E2、竖直向上的匀强电场和垂直于纸面方向的匀强交变磁场。从A点以v0=4 m/s竖直向上射出一个比荷为=102 C/kg 的带正电的小球(可视为质点)，小球以v1=8 m/s 的速度从y轴上的C点水平向右进入第一象限，且在第一象限内刚好做圆周运动。取小球从C点进入第一象限的时刻为t=0，磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外为磁感应强度正方向)，g=10 m/s2。

(1)求小球从A点运动到C点的时间t1和E2的大小；

(2)x轴上有一点D，OD=OC，若小球在通过C点后的运动过程中不再越过y轴且沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度B0和磁场的变化周期T0。

甲

乙

7.()如图所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距为L，A1、A2上各有位置正对的小孔P、Q。两板间存在两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，水平面PQ和MN分别是两个磁场区的理想边界面。挡板A1的左侧是方向水平向右的匀强电场，质量为m、电荷量为+q的粒子从电场中的O点以大小为v0的初速度竖直向上射出，运动一段时间后从小孔P进入Ⅰ区，此时速度方向与竖直方向的夹角θ=60°。粒子进入Ⅰ区运动之后，从PQ边界上的C1点第一次离开Ⅰ区，C1点到挡板A1的距离为d，然后粒子进入没有磁场的区域运动，从MN边界上的D1点(图中未画出)第一次进入Ⅱ区，D1点到挡板A1的距离为d。不计粒子重力，不考虑粒子碰到挡板的情况。

(1)求匀强电场中O、P两点间的电势差U和Ⅰ区的磁感应强度B1的大小；

(2)已知L=13d，最后粒子恰好从小孔Q射出，求Ⅱ区的磁感应强度B2的可能值。

答案全解全析

1.BC　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2=OB sin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以得B>，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB=，所以得B>，选项C正确，D错误。

方法技巧　离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列出方程，结合几何关系可确定磁感应强度的范围。

2.AB　由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r=·(n=1，2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB=m，则v==·(n=1，2，3，…)，选项A、B正确。

3.C　粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示：

所有圆弧所对的圆心角均为60°，所以粒子运动的半径为r=(n=1，2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得v==(n=1，2，3，…)，故选C。

4.CD　如果粒子要从O点射出，则其运动轨迹应如图甲所示，可以看出粒子还未到达O点时已经从y轴射出磁场，故粒子不可能从O点射出磁场，选项A错误。如果粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示，根据几何知识可知，其轨迹所对的圆心角为∠1=60°，所以粒子在磁场中的运动时间为t=T=；若粒子带正电且从x轴射出磁场，则其运动轨迹如图丙所示，根据几何知识可知，其轨迹所对的圆心角为∠2=300°，所以粒子在磁场中运动的时间为t'=T=；若粒子带正电且从y轴射出磁场，其在磁场中运动时间最长时，其轨迹刚好和y轴相切(临界状态)，如图丁所示，根据几何知识可知，其轨迹所对圆心角为∠3=240°，所以粒子在磁场中运动的时间为t″=T=，所以粒子从y轴射出时，其在磁场中的运动时间满足t0<。综上可知，选项B错误，C、D正确。

5.答案　见解析

解析　(1)若AB=BC，粒子通过D点，其可能的运动轨迹如图甲、乙所示：

甲

乙

则必须满足

·AB=n·r(n=1，2，3，…)

t=n·(n=1，2，3，…)

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B0=

得r=，T==

由以上各式联立解得AB=(n=1，2，3，…)，t=(n=1，2，3，…)

(2)若AB∶BC=∶1，粒子仍通过D点，其可能的运动轨迹如图所示：

则必须满足

AB=n·2r(n=1，2，3，…)

t=n·T(n=1，2，3，…)

又因为r=，T=

由以上各式联立解得AB=(n=1，2，3，…)，t=(n=1，2，3，…)

6.答案　(1)0.4 s　0.1 N/C　(2)见解析

解析　(1)小球从A到C的过程，在竖直方向只受重力作用，做匀减速运动，有

t1=

小球进入第一象限内恰做圆周运动，有mg-qE2=0

代入数据解得t1=0.4 s，E2=0.1 N/C。

(2)设小球在第一象限内做圆周运动的轨迹半径为R，周期为T，C到O的距离为y，作出小球的运动轨迹如图所示：

则有B0qv1=，y=

若小球沿x轴正方向通过D点，则由图中几何关系有y=n·2R(n=1，2，3，…)，小球运动的周期T=，由C到D运动的时间t=n·=nT0(n=1，2，3，…)

联立解得B0=0.2n(T)(n=1，2，3，…)

T0=(s)(n=1，2，3，…)

方法技巧　解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路

(1)先读图：明确场的变化情况；(2)受力分析：分析粒子在不同的变化场区的受力情况；(3)过程分析：分析粒子在不同时间内的运动情况；(4)找衔接点：找出衔接相邻两过程的物理量；(5)选规律：联立不同阶段的方程求解。

7.答案　(1)　　(2)　　

解析　(1)粒子从O点运动到P点的过程，由动能定理得

qU=m(v2-)

在P点的速度v满足v0=v cos θ

解得O、P两点间的电势差U=

粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动，有qvB1=m

粒子运动情况如图，可得2r1 cos θ=d

解得Ⅰ区的磁感应强度B1=

(2)粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动，有

qvB2=m

粒子的运动情况如图，粒子完成一个完整的周期性运动，到达PQ边界的C2点时，到挡板A1的距离为

x=d+2×(d-d)-2r2 cos θ

即x=4d-r2

不考虑粒子碰到挡板的情况下，粒子恰好从小孔Q射出，有两种情况：

①第一种情况是粒子斜向下射出小孔Q，对应的条件是

nx+d=L(n=1，2，3，…)

将L=13d代入上式并整理可得

r2=4d

考虑到r2>0，则n>3

再考虑粒子不能碰到挡板，则需满足条件r2+r2 cos θ<d

可解得r2<d

综合以上条件，可知n只能取4和5两个值，故r2=d或r2=d

解得Ⅱ区的磁感应强度B2大小的两个可能值是

B2=和B2=

②第二种情况是粒子斜向上射出小孔Q，对应的条件是

nx=L(n=1，2，3，…)

将L=13d代入上式并整理可得

r2=d

考虑到r2>0，则n>3

再考虑粒子不能碰到挡板A2，需满足条件

r2+r2 cos θ<d

解得r2<d

综合以上条件可知只能取n=4，故r2=d

解得Ⅱ区的磁感应强度B2大小的另一个可能值是B2=