2022年中考数学解答题专题19——因旋转产生的角度问题（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

这是一份2022年中考数学解答题专题19——因旋转产生的角度问题（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份），文件包含专题19因旋转产生的角度问题基础老师版docx、专题19因旋转产生的角度问题培优老师版docx、专题19因旋转产生的角度问题培优学生版docx、专题19因旋转产生的角度问题基础学生版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。

专题19 因旋转产生的角度问题（提优）

1．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：∠BAN＝　60　°；
（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？
（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×13=60°；

（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，射线AM转动30或110秒，两射线互相平行；

（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设射线转动时间为t秒，

∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
2．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．
②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．
（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．

【分析】（1）①过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
②过点B作GB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由（1）①的结论即可得到结果．
【解答】解：（1）①如图1，过E作EF∥AB，

∴∠FEB+∠EBA＝180°，
∵CD∥AB，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，
②如图2，过点B作GB∥CD，

∴∠BFD＝∠GBF，
由（1）知∠GBE+∠E+∠D＝360°，
∴∠B+∠E+∠D+∠BFD＝360°；
（2）如图3，过M作MF∥AB，

∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∵∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，
∴设∠MBN＝x，∠MDN＝y，则∠MDC＝2y，∠ABM＝2x，∠EBN＝3x，∠EDN＝3y，
∴∠BMF＝2x，∠DMF＝2y，∠ABE＝6x，∠CDE＝6y，
∴∠BMD＝2（x+y），
过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣6x，∠DEG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣6y，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝360°﹣（6x+6y）＝360°﹣3∠BMD，
∴3∠BMD+∠BED＝360°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值．
（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．
（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？

【分析】（1）由非负数的性质即可得出结果；
（2）如图1，过点C作CE∥MN，可得CE∥PQ∥MN，设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x，∠PBC＝x，根据角的和差关系得到关于x的方程，解方程即可求解；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯A射线到达AN之前；②在灯A射线到达AN之后；进行讨论即可求解；
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，a+b﹣4＝0，
解得：a＝3，b＝1；
（2）如图1，过点C作CE∥MN，
∵PQ∥MN，
∴CE∥PQ∥MN，
设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x°，∠PBC＝x°，
∴∠CAN＝180°﹣3x°，
∴∠BCE＝∠PBC＝x°，∠ECA＝∠CAN＝（180﹣3x）°，
∵∠ACB＝70°，
∴180﹣3x+x＝70，
解得x＝55，
∴∠CAN＝15°，
∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣15°＝30°；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10；
②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，
解得：t＝85．
综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
4．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数t表示∠BAC，∠BCD即可判断．
【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，平行线的判定与性质，估算无理数的大小以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．
5．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°
（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？
（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．

【分析】（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；
（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，可得结果；
（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A．
由题意得：2t＝30，
解得：t＝15，
答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A．
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．
根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行，
解得：x=1609，
答：A灯转动1609秒，两灯的光束互相平行．
（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次
45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b，
90秒时第二次平行，由题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30，
解得：a=269 b=23
答：a，b的值分别为 269度/秒23度/秒．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+b−1=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a，b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．

【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数t表示∠BAC，∠BCD即可判断．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+b−1=0．
又∵|a﹣3|≥0，b−1，≥0．
∴a＝3，b＝1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝　2：3　．

【分析】（1）根据同底数幂乘法法则即可求a、b的值．
（2）由于灯A转动速度为灯B的3倍，故灯B射线到达BQ前，灯A已转到AN并返回转，所以两灯光束平行有两种情况：①灯A射线还没到达AN，两光束平行即两转动角度相等，设A灯转动t秒，即B灯转动（20+t）秒，可用t表示两转动角度，列方程即能求t；②灯A射线转到AN之后，此时灯A与AN夹角为3t﹣180°，此度数与灯B转动角度互补，列方程即能求t．
（3）设两灯同时转动x秒，过点C作PQ的平行线，构造内错角相等的等量关系，即可用x表示图中所有角的度数，进而求∠BCD：∠BAC的值．
【解答】解：（1）∵a、b满足3a ＝27＝32•3b，
∴3a ＝33＝32+b
∴a＝3，2+b＝3
∴b＝1

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t＝（20+t）×1
解得t＝10
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣180°＝180°﹣（20+t）×1
解得t＝85
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行

（3）如图，过点C作CE∥MN，

∵PQ∥MN
∴CE∥PQ∥MN
设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x，∠DBC＝x
∴∠BCE＝∠DBC＝x，∠CAN＝180°﹣∠MAC＝180°﹣3x
∴∠ACE＝∠CAN＝180°﹣3x
∵∠BAN＝45°
∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣（180°﹣3x）＝3x﹣135°
∵CD⊥AC
∴∠ACD＝90°
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACE﹣∠BCE＝90°﹣（180°﹣3x）﹣x＝2x﹣90°
∴∠BCD：∠BAC=2x−90°3x−135°=2(x−45°)3(x−45°)=23
故答案为：2：3．
【点评】本题考查了同底数幂乘法法则，平行线的性质，角度计算，由动点问题引起的分类讨论．
8．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）则a＝　3　，b＝　1　；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是　2∠BAC＝3∠BCD　（请直接写出结论）．

【分析】（1）由绝对值的性质得出a−3b=0b2−2b+1=0，解得a=3b=1，即可得出结果；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线到达AN之前，由题意得3t＝（20+t）×1，解得t＝10，
②在灯A射线到达AN之后，由题意得3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，解得t＝85；
（3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t，∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝3t﹣135，由PQ∥MN，得出∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝180﹣2t，∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝2t﹣90，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0，
∴a−3b=0b2−2b+1=0，
解得：a=3b=1，
故答案为：3，1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10，
②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，
解得：t＝85，
综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t，
∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45﹣（180﹣3t）＝3t﹣135，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180﹣3t＝180﹣2t，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝90﹣（180﹣2t）＝2t﹣90，
∴2∠BAC＝3∠BCD，
故答案为：2∠BAC＝3∠BCD．
【点评】本题考查了平行线的性质、绝对值的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．辽宁汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，假定这带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）请直接写出a＝　3　，b＝　1　．
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动　10或85　秒，两灯的光束互相平行．（请直接写出答案）

【分析】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，且a+b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝1；
故答案为：3，1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
故答案为：10或85．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
10．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt△），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt△）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：
（1）当α＝　15　度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当α＝　45　度时，能使图3中的AB与AE重合；
（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图12﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠BAE＝∠E＝30°，再根据∠BAC＝45°，即可得出∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
（2）根据当旋转到AB与AE重叠时，∠α＝∠BAC即可得到结果；
（3）先设BD分别交AE、AC于点M、N，依据三角形内角和定理以及三角形外角性质，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数．
【解答】解：（1）如图2，当AB∥DE时，∠BAE＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
即∠α＝15°，
故答案为：15；
（2）如图3中，当旋转到AB与AE重叠时，∠α＝∠BAC＝45°，
故答案为：45；
（3）如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE＝105°，保持不变；

理由：设BD分别交AE、AC于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，
∵∠ANM＝∠C+∠DBC，∠AMN＝∠E+∠BDE，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，
∵∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用．解题时注意：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
11．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是　∠BPD＝∠B+∠D　，并说明理由．
（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？
（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC＝30°，∠PBC＝35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．

【分析】（1）过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系．
（2）连接QP并延长至F，根据三角形的外角性质可得∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD的关系；
（3）连接CP并延长至G，根据三角形的外角性质可得∠APB﹑∠B﹑∠A﹑∠ACB的关系，代入即可．
【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D，如图1，过P点作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠BPE＝∠B，∠EPD＝∠D，
∵∠BPD＝∠BPE+∠EPD，
∴∠BPD＝∠B+∠D．
故答案为：∠BPD＝∠B+∠D；
（2）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD，连接QP并延长至F，如图2，
∵∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∠FPD＝∠PDQ+∠PQD，
∴∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD；
（3）∠APB＝65°+∠ACB，连接CP并延长至G，如图3，
∵∠APG＝∠A+∠ACP，∠BPG＝∠B+∠BCP，
∴∠APB＝∠B+∠A+∠ACB，
∵∠A＝30°，∠B＝35°，
∴∠APB＝65°+∠ACB．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线后，利用平行线和三角形外角性质解答．
12．已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A＝36°．

（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．
（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．
【分析】（1）由AB∥MN，直线MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE与∠CDF的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠F的度数．
（2）由题意可得∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝∠ACD+12∠ACN，∠CDF=12∠BDC=12∠A+12∠ACD，则可得∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝∠ACD+12∠ACN−12∠A−12∠ACD=12（∠ACN+∠ACD）−12∠A，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵AB∥MN，直线MN⊥PQ，
∴PQ⊥AB，
∴∠BDC＝∠DCN＝90°，
∵∠ACN＝∠A＝36°，CE平分∠ACN，
∴∠ACE＝18°，∠ACD＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠DCE＝∠ACD+○ACE＝72°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝27°；

（2）不发生改变．
理由：∵CE是∠ACN的平分线，
∴∠ACE=12∠ACN，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝∠ACD+12∠ACN，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，
∴∠CDF=12∠BDC=12∠A+12∠ACD，
∴∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝∠ACD+12∠ACN−12∠A−12∠ACD=12（∠ACN+∠ACD）−12∠A=12×90°−12×36°＝27°．
【点评】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．一副直角三角板叠放如图①，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角α（α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直．
（1）如图②，α＝　15　°时，BC⊥AE；
（2）请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．

【分析】（1）如图②根据条件只需证BC⊥AE即可，α＝∠DEA﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°；
（2）如备用图，AC⊥AE时，α＝∠EAC﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AB⊥AE时，α＝105°．
【解答】解：（1）如图②在△ABC中，AC⊥BC，AE与AC重合，
则AE⊥BC，α＝∠DEA﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°
所以，当α＝15°时，BC⊥AE．
故答案为15°．

（2）如图1中，AC⊥AE时，α＝105°．

如图2中，AC⊥AD时，α＝60°．

如图3中，AB⊥AE时，α＝135°．

如图4中，BC⊥AD时，α＝150°．

如图5中，当AB⊥DE时，α＝45°．

如图6中，当AB⊥AD时，α＝90°

【点评】本试题考查两条线段的垂直关系．两条直线相交所成的四个角中有一个90°，就说这两条直线互相垂直．
14．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．

（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC＝180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；
（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；
（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠PAQ+∠PCQ＝90°，再根据三角形的内角和即可得出∠Q的度数；
（2）先延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F，根据平行线的性质得出∠BAQ＝∠CFQ，∠PEC＝∠BAE，根据三角形的外角得出∠APC＝∠PCE+∠PEC＝∠PCE+∠BAE＝2∠QCF+2∠BAE＝2（∠QCF+∠BAE），最后根据∠AQC＝∠QCF+∠BAE即可得出∠APC＝2∠AQC．
（3）连接RQ，并延长RQ，连接RP并延长RP，利用三角形的外角得出∠AQC＝∠ARC+∠QCR+∠QAR，从而得出2∠AQC＝2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR①，根据∠APC＝∠ARC+2∠QAR+2∠QCR②，由①﹣②即可得出2∠AQC﹣∠APC＝∠ARC．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AQ、CQ是∠PAB和∠PCD的平分线，
∴∠Q＝90°；

（2）延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F
∵AB∥CD，
∴∠BAQ＝∠CFQ，∠PEC＝∠BAE，
∴∠APC＝∠PCE+∠PEC＝∠PCE+∠BAE＝2∠QCF+2∠BAE＝2（∠QCF+∠BAE），
∵∠AQC＝∠QCF+∠BAE，
∴∠APC＝2∠AQC．

（3）连接RQ，并延长RQ，
连接RP并延长RP，
∵∠AQC＝∠3+∠4，
∴∠AQC＝∠QRC+∠QCR+∠QAR+∠QRA＝∠ARC+∠QCR+∠QAR，
∴2∠AQC＝2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR①，
∵∠APC＝∠1+∠2，
∴∠APC＝2∠QAR+∠ARP+2∠QCR+∠CRP＝∠ARC+2∠QAR+2∠QCR②，
∴①﹣②得，
2∠AQC﹣∠APC＝∠ARC．


【点评】此题考查了平行线的性质，用到的知识点是平行线的性质、三角形的外角、三角形的内角和定理，关键是根据题意画出图形作出辅助线．
15．将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°；在△COD中，∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°．
（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC＝45°时，①试说明CO平分∠AOB； ②试说明OA∥CD（要求书写过程）；
（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC＝45°是否成立，并说明理由．

【分析】（1）①当∠AOC＝45°时，根据条件可求得∠COB＝45°可说明CO平分∠AOB；②设CD、OB交于点E，则可知OE＝CE，可证得OB⊥CD，结合条件可证明OA∥CD；
（2）由平行可得到∠D＝∠BOD＝45°，则可得到∠AOD＝45°，可得到结论．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝90°，∠AOC＝45°，
∴∠COB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AOC＝∠COB，
即OC平分∠AOB；
②如图，设CD、OB交于点E，

∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠COB，
∴∠CEO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB+∠OEC＝180°，
∴AO∥CD；
（2）∠AOC＝45°，理由如下：
∵CD∥OB，
∴∠DOB＝∠D＝45°，
∴∠AOD＝90°﹣∠DOB＝45°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOD＝45°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
16．将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．
（1）如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD＝　15°　；
（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA∥CD，求出∠BOD的大小；
（3）在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．

【分析】（1）根据三角板的度数进行计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠AOC，然后再加上∠COD即可得解；
（3）根据旋转角度的增加，分OB∥CD，AB∥CD，OB∥CD，OB∥CD四种情况，根据三角板的度数列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝45°﹣30°＝15°；

（2）∵OA∥CD，
∴∠AOC＝∠C＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+30°＝75°；

（3）如图甲，OB∥CD，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝90°+30°＝120°，
如图乙，AB∥CD，∠BOD＝180°﹣∠AOB+∠COD＝180°﹣45°+30°＝165°，

如图丙，OA∥CD，∠BOD＝∠AOC﹣∠COD+∠AOB＝90°﹣30°+45°＝105°，
如图丁，OB∥CD，∠BOD＝90°﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键，（3）要分情况讨论求解．
17．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝　40°　．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．

【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；
（3）根据平角等于180°求出即可；
（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠BOC＝50°，
∴∠COE＝40°；

（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE=12∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，
∴5x＝40，
∴x＝8，
即∠COD＝8°
∴∠BOD＝58°．

（4）如图，

分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
5t＝140，
t＝28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
5t＝320，
t＝64．
所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；
②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，

即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，

即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；

②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD，

即9°t﹣60°﹣3°t=12（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD，

即9°t﹣300°=12（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
19．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，
（1）图1中∠BEC的度数为　165°　
（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：
①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；
②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）由已知可求出∠CAE＝180°﹣60°＝120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC的度数．
（2）①由OD∥AB可得∠BOD＝∠B＝30°，再由∠BOD+∠BOC＝90°和∠AOC+∠BOC＝90°求出∠AOC．
②将三角板△COD继续绕O旋转，OC边能与AB平行，由平行可得∠COB＝∠B＝30°，从而求出∠AOC．
【解答】解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，
故答案为：165°．
（2）①∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠B＝30°，
又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．

②存在，如图1，∠AOC＝120°；
如图2，∠AOC＝165°；
如图3，∠AOC＝30°；
如图4，∠AOC＝150°；
如图5，∠AOC＝60°；
如图6，∠AOC＝15°．


【点评】此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是根据三角形外角性质平行线的性质求解．
20．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．
（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝　105°　；
（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：
①当α＝　15°　时，能使AB∥CD；
②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝　105°　；
③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．

【分析】（1）如图1，易得∠BCD＝75°，然后在△BDC中运用三角形内角和定理就可解决问题；
（2）①如图2，当α＝15°时，可得∠BAC＝∠ACD＝30°，从而可得AB∥CD；②当α＝45°时，可求出∠CEC1，然后利用三角形的内角和定理可求出∠EOC1，然后利用三角形外角的性质可求出∠DBC1+∠BDC，就可求出∠DBC1+∠BDC+∠CAC1；③当0°＜α≤45°时，在△ACC1中，利用三角形内角和定理可得∠CAC1+30°+∠OCC1+45°+∠OC1C＝180°，根据三角形外角的性质可得∠DBC1+∠BDC＝∠DOC＝∠OCC1+∠OC1C，从而可得∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝105°．
【解答】解：（1）如图1，在△BDC中，∠BCD＝45°+30°＝75°，
∴∠DBC+∠BDC＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为105°；

（2）①如图2，当α＝15°时，∠BAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∴AB∥CD．
故答案为15°；
②当α＝45°时，∠CEC1＝∠EAC+∠ACE＝45°+30°＝75°，
∴∠EOC1＝180°﹣∠CEC1﹣∠BC1A＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠DBC1+∠BDC＝∠EOC1＝60°；
∴∠DBC1+∠BDC+∠CAC1＝60°+45°＝105°．
故答案为105°；
③当0°＜α≤45°时，∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小不变，等于105°．
证明：在△ACC1中，
∵∠CAC1+∠ACC1+∠AC1C＝∠CAC1+∠ACO+∠OCC1+∠AC1B+∠OC1C＝∠CAC1+30°+∠OCC1+45°+∠OC1C＝180°，
∠DBC1+∠BDC＝∠DOC1＝∠OCC1+∠OC1C，
∴∠CAC1+75°+∠DBC1+∠BDC＝180°，
∴∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝105°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定等知识，构造8字型将∠DBC1+∠BDC转化为∠OCC1+∠OC1C，是解决最后一小题的关键．