2022年中考数学解答题专题21——因动点产生的等腰三角形问题（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

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专题21 因动点产生的等腰三角形问题（提优）

1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=−34x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．
（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．
（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．
（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．

【分析】（1）点D在y=−34x2+3x+k上，且在y轴上，即y＝0求出点D坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；
（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM＝BM建立方程即可；
（3）先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD＝AP，DA＝DP，PA＝PD计算；
【解答】解：（1）把x＝0，代入y=−34x2+3x+k，
∴y＝k．
∴OD＝k．
∵4ac−b24a=4×(−34)k−324×(−34)=k+3，
∴PM＝k+3；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
∴OM＝2，BM＝OB﹣OM＝2k+3﹣2＝2k+1．
又∵PM＝k+3，PM＝BM，
∴k+3＝2k+1，
解得k＝2．
∴该抛物线的表达式为y=−34x2+3x+2；

（3）①当点P在矩形AOBC外部时，如图1，

过P作PK⊥OA于点K，当AD＝AP时，
∵AD＝AO﹣DO＝2k﹣k＝k，
∴AD＝AP＝k，KA＝KO﹣AO＝PM﹣AO＝k+3﹣2k＝3﹣k
KP＝OM＝2，在Rt△KAP中，KA2+KP2＝AP2
∴（3﹣k）2+22＝k2，解得k=136．
②当点P在矩形AOBC内部时
当PD＝AP时，过P作PH⊥OA于H，
AD＝k，HD=12k，HO＝DO+HD=3k2，
又∵HO＝PM＝k+3，
∴3k2=k+3，
解得k＝6．
当DP＝DA时，过D作PQ⊥PM于Q，
PQ＝PM﹣QM＝PM﹣OD＝k+3﹣k＝3
DQ＝OM＝2，DP＝DA＝k，
在Rt△DQP中，DP=DQ2+PQ2=22+32=13．
∴k＝PD=13，
故k=136或6或13．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定，平面坐标系中求线段的长，等腰三角形的性质，确定出函数解析式是解本题的关键，解（3）是本题的难点．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠CDE＝　25　°，∠AED＝　65　°，当点D从点B向点C运动时，∠CDE逐渐变　大　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请求出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠C，根据平角的定义求出∠CDE，根据三角形的外角性质求出∠AED，得到答案；
（2）根据三角形全等的AAS定理证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AD＝AE、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°
∵∠BDA＝115°，
∴∠CDE＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝65°，
当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变小，
∴∠CDE逐渐变大；
故答案为：25；65；大；
（2）当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠AED＝100°，
∴EDC＝∠AED﹣∠C＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣40°﹣60°＝80°
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，设点D的横坐标为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△DHA+S△DHE=12×DH×OA，即可求解；
（3）分PA＝PE、PA＝PE、PE＝AE三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x+4）（x﹣2），
将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+4）（0﹣2），解得a=−34，
故抛物线的表达式为y=−34（x+4）（x﹣2），
即y=−34x2−32x+6；

（2）设直线AE的表达式为y＝kx+t，则0=−4k+tt=−2，解得k=−12t=−2，
过点D作y轴的平行线交AE于点H，

设点D的坐标为（m，−34m2−32m+6），则点H（m，−12m﹣2），
则S＝S△DHA+S△DHE=12×DH×OA=12（−34m2−32m+6+12m+2）×4=−32m2﹣2m+16（﹣4＜m＜0）；

（3）存在，P点的坐标为：(−1，1)，(−1，±11)，(−1，−2±19)；
由y=−34x2−32x+6知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA=9+n2，PE=1+(n+2)2，AE=16+4=25，
当PA＝PE时，9+n2=1+(n+2)2，
解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；
当PA＝PE时，9+n2=16+4=25，
解得，n=±1，此时点P坐标为(−1，±11)，
当PE＝AE时，1+(n+2)2=16+4=25，
解得，n=−2±19，此时点P坐标为（﹣1，﹣2±19）
(−1，−219)，
综上所述，P点坐标为：（﹣1，1）或(−1，±11)或（﹣1，﹣2±19）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
4．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3．
（1）写出点B，C的坐标：B（　0　，　8　），C（　﹣6　，　0　）；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在x轴上是否存在点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；根据OB：OC＝4：3，可得OC的长，即可求解；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据等腰三角形的定义，分MC＝BC、MC＝MB、BC＝BM三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得：﹣8+b＝0．解得b＝8，
即函数解析式为y＝﹣x+8，
当x＝0时，y＝8，
B点坐标是（0，8），
∵OB：OC＝4：3，OB＝8，得8：OC＝4：3，
解得OC＝6，
即C（﹣6，0），
故答案为0，8；﹣6，0；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得b=8−6k+b=0，
解得k=43b=8，
直线BC的解析式为y=43x+8；

（3）设M点坐标（a，0），点C（﹣6，0），
而BC=OB2+CO2=10，
①当MC＝BC＝10时，
则点M（4，0）或（﹣16，0）；
②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，
解得a=73，
即M（73，0）；
③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，
故点M（6，0）．
综上所述：点M的坐标为（4，0）或（﹣16，0）或（73，0）或（6，0）．
【点评】考查了一次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，自变量的值与函数值的对应关系；（2）利用待定系数求函数解析式；（3）利用等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B坐标为（3，1），将直线AB沿x轴向左平移经过点C（1，1）．
（1）求平移后直线L的解析式；
（2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t．是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出直线AB的表达式为y＝x﹣2，则设抛物线抛物线的表达式为y＝x+s，将点C的坐标代入上式得：1＝1+s，解得s＝0，即可求解；
（2）分OP＝OQ、OP＝PQ、OQ＝PQ利用等腰三角形的性质，分别求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，则0=2k+b1=3k+b，解得k=1b=−2，
故直线AB的表达式为y＝x﹣2，
设抛物线抛物线的表达式为y＝x+s，
将点C的坐标代入上式得：1＝1+s，解得s＝0，
故直线L的表达式为y＝x；

（2）存在，理由：
由题意得：PC＝t，OC=2，OQ＝2t，则OP=2−t，如下图：

①当OP＝OQ时，即2−t＝2t，解得t=23；
当OP＝PQ时，则点P在OQ的中垂线上，故点P的坐标为（t，t），
则OP=2t=2−t，解得t＝2−2；
当OQ＝PQ时，则△OPQ以∠PQO为直角的等腰直角三角形，
则OP=2OQ＝22t=2−t，解得t=4−27，
故t的值为23、2−2、4−27．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、图形的平移等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
6．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝6，BC＝8．
（1）试证明：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？
（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？

【分析】（1）证明∠APB＝∠PQC，即可求解；
（2）△ABP∽△PCQ，则CQBP=PCAB，则CQ=−16x2+43x，进而求解；
（3）△APQ是等腰直角三角形，则PA＝PQ，故△ABP≌△PCQ（AAS），进而求解．
【解答】解：（1）∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
而∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ；

（2）∵△ABP∽△PCQ，
∴CQBP=PCAB，即CQx=8−x6，
则CQ=−16x2+43x=−16（x﹣4）2+83≥83，
故当x＝4时，CQ的最大值为83，
即BP为4时，CQ最长，最长是83；

（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则PA＝PQ，
而△ABP∽△PCQ，
则△ABP≌△PCQ（AAS），
∴AB＝PC＝6，
则BP＝8﹣6＝2，
即BP＝2时，△APQ是等腰直角三角形．
【点评】本题是三角形相似综合题，涉及到等腰三角形的性质、三角形全等等，有一定综合性，难度适中．
7．综合与实践：如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BD＝8cm且CD：AD＝2：3；如图2，在图1的基础上，动点P从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发以相同速度沿线段CA向点A运动，当其中一点到达终点时另外一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）请直接写出AB的长：AB＝　10　cm；
（2）当△PDQ的其中一边与BC平行时（Q与D不重合），求t的值；
（3）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在以AD为腰的△PAD是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设AB＝AC＝5x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案；
（2）分PD∥BC、PQ∥BC两种情况，根据平行线的性质计算；
（3）分AP＝AD、DP＝DA两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算．
【解答】解：（1）设AB＝AC＝5x，
∵CD：AD＝2：3，
∴CD＝2x，AD＝3x，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，即（5x）2＝82+（3x）2，
解得，x＝2，
∴AB＝5x＝10，
故答案为：10；
（2）由（1）可知，AD＝6，CD＝4，
由题意得，AP＝2t，CQ＝2t，
∴AQ＝10﹣2t，
当PD∥BC时，AP＝AD＝6，
∴t＝3，
当PQ∥BC时，APAB=AQAC，即2t10=10−2t10，
解得，t=52，
综上所述，当△PDQ的其中一边与BC平行时，t＝3或52；
（3）当AP＝AD＝6时，t＝3，
当DP＝DA＝5时，如备用图，作DE⊥AB于E，
则AE＝EP＝t，
在Rt△AED中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△BED中，BD2﹣BE2＝DE2，
∴AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2，即62﹣t2＝82﹣（10﹣t）2，
解得，t＝3.6，
综上所述，t＝3或3.6时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．

【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
8．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣2，﹣3），且在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在动点M，使△MAC是等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）分AM＝CM、AM＝AC、CM＝AC三种情况，列出函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：0=9−3b+c−3=4−2b+c，
解得：b=2c=−3，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）存在，理由：
由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，
设点M（﹣1，m），点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（﹣2，﹣3），
则AM2＝4+m2，CM2＝1+（m+3）2，AC2＝1+9＝10，
当AM＝CM时，4+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝﹣1；
当AM＝AC时，同理可得：m=6或−6；
当CM＝AC时，同理可得：m＝0或﹣6（舍去﹣6）；
综上，点M坐标为：（﹣1，﹣1）或（﹣1，6）或（﹣1，−6）或（﹣1，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法求函数表达式等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）分AC＝CM、AC＝AM、CM＝AM三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
则a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=−1b=2c=3，
故抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；

（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x=−b2a=1；
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点P，则点P为所求点，

理由：△PAC的周长＝AC+PA+PC＝AC+PB+PC＝AC+BC为最小，
设直线BC的表达式为y＝sx+t，则0=3s+tt=3，解得s=−1t=3，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，故点P（1，2）；
则△PAC的周长最小值＝AC+BC=12+32+32=10+32；

（3）设点M（1，m），

由点A、C、M的坐标知，AC2＝10，CM2＝m2﹣6m+10，AM2＝4+m2
①当AC＝CM时，10＝m2﹣6m+10，解得：m＝0或m＝6（舍去），
②当AC＝AM时，10＝4+m2，解得：m=6或m=−6，
③当CM＝AM时，m2﹣6m+10＝4+m2，解得：m＝1，
检验：当m＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点有4个，
M坐标为（1，0）、（1，6）、（1，−6）、（1，1）．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝2，OB＝4，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标；
（3）点P在运动过程中，是否存在某时刻使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设直线DP解析式为y＝kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②当D关于OP的对称点落在x轴上时，直线OP为y＝x，求出此时P坐标即可；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【解答】解：（1）设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
将D（0，1），C（2，4）代入得：b=12k+b=4，解得k=32b=1，
则此时直线DP解析式为y=32x+1；

（2）①当点P在线段AC上时，OD＝1，高为OA＝2，S=12×1×2＝1；
当点P在线段BC上时，OD＝1，高为2+4﹣t＝6﹣t，S=12×1×（6﹣t）=−12t+3，
故S=1(0≤t≤4)−12t+1(4＜t≤6)；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，D对称点为（1，0），此时直线OP为y＝x，
当x＝2时，y＝2，
则此时点P的坐标是（2，2）；

（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：

①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝4﹣1＝3，
在Rt△BCP1中，BD＝3，BC＝2，
根据勾股定理得：CP1=32−22=5，
∴AP1＝4−5，即P1（2，4−5）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（2，2.5）；
③当DB＝DP3＝3时，
在Rt△DEP3中，DE＝2，
根据勾股定理得：P3E=32−22=5，
∴AP3＝AE+EP3=5+1，即P3（2，5+1），
综上，满足题意的P坐标为（2，2.5）或（2，5+1）或（2，4−5）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
11．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+15，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点E的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由直线解析式求出点A，C的坐标，可由勾股定理求出CD的长，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，得出x2＝32+（9﹣x）2，解方程求出AE＝5，则点E的坐标可求出；
（2）△PBE为等腰三角形，可分三种情况：PB＝BE或PB＝EP或BE＝EP，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵AC所在直线解析式为y=−53x+15，
∴令x＝0，y＝15，令y＝0．则−53x+15=0，解得x＝9．
∴A（9，0），C（0，15），B（9，15），
∵将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
∴在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，
∴CD=BD2−BC2=152−92=12，
∴OD＝15﹣12＝3，
设DE＝AE＝x，
在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴AE＝5，
∴OE＝4，
∴E（4，0）．
（2）设P（0，m），
∵B（9，15），E（4，0），
∴PB2＝（9﹣0）2+（15﹣m）2＝m2﹣30m+306，BE2＝52+152＝250，EP2＝16+m2，
∵△PBE为等腰三角形，
∴①当PB＝BE时，
∴PB2＝BE2，
∴m2﹣30m+306＝250，
∴m＝2或m＝28，
∴P（0，2）或（0，28），
②当PB＝EP时，
∴PB2＝EP2，
∴m2﹣30m+306＝16+m2，
∴m=293，
∴P（0，293），
③当BE＝EP时，BE2＝EP2，
∴250＝16+m2，
∴m＝±326，
∴P（0，326）或（0，﹣326），
综合以上可得，点P的坐标为（0，2）或（0，28）或（0，293）或（0，326）或（0，﹣326）．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
12．如图，已知抛物线y=−13x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣2，0）代入抛物线的解析式即可求得答案；
（2）先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（3）设P（2，t），然后表示出△ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等得出方程，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入y=−13x2+bx+4中，
得−13×(−2)2+(−2)b+4=0，
解得：b=43，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+43x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
当y＝0时，−13x2+43x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式y＝kx+n，得：
6k+n=0n=4，
解得：k=−23n=4，
∴直线BC的解析式为y=−23x+4；
（3）∵抛物线y=−13x2+43x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x=6+(−2)2=2，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC=22+42=20，
AP=[2−(−2)]2+t2=16+t2，
CP=22+(t−4)2=t2−8t+20，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC＝AP时，20=16+t2，
解得：t＝±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；
②当AC＝CP时，20=t2−8t+20，
解得：t＝0或t＝8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0）、C （0，4）代入得−2m+n=0n=4，
解得：m=2n=4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
当x＝2时，y＝4+4＝8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP＝CP时，16+t2=t2−8t+20，
解得：t=12，
∴点P的坐标为（2，12）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，12）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，理解坐标与图形的性质，熟练运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
13．如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）经过A、B、C三点．
（1）求线段OB、OC的长．
（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），OA＝2，OB＝6，△OCA∽△OBC，OC2＝OA•OB，即可求解；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，设AC＝2x，则BC＝23x，而AB＝4，故16＝（2x）2+（23x）2，解得：x＝1，故AC＝2，BC＝23，即可求解；
（3）分BC＝PB、BC＝PC、PB＝PC三种情况，建立方程分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），
故OA＝2，OB＝6，
△OCA∽△OBC，则OCOB=OAOC，即：OC2＝OA•OB，
解得：CO＝23；

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，

△OCA∽△OBC，则ACBC=OAOC=223，
设AC＝2x，则BC＝23x，而AB＝4，
故16＝（2x）2+（23x）2，解得：x＝1，
故AC＝2，BC＝23，
S△ABC=12×AB×CD=12×AC×BC，解得：CD=3，
故OD＝3，
故点C（3，3）；
将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−33，
故抛物线的表达式为：y=−33x2+833x﹣43；

（3）设点P（m，0），而点B、C的坐标分别为：（6，0）、（3，3）；
则BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3，
当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6±23；
当BC＝PC时，同理可得：m＝6（舍去）或0；
当PB＝PC时，同理可得：m＝4，
综上点P的坐标为：（6±23，0）或（0，0）或（4，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　105　°；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC，∠B＝∠C，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣105°＝25°；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，
故答案为：25，105；
（2）∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①∠BDA＝100°时，则∠ADC＝80°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
②∠BDA＝115°时，则∠ADC＝65°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝65°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．
15．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；
（3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．

【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入即可求解；
（2）点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（﹣6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，即可求解；
（3）分AO＝AN、AO＝ON、AN＝ON三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，2），B（6，0）代入得：2=4k+b0=6k+b，解得：k=−1b=6，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；

（2）作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，
∴B'（﹣6，0），

连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，
设直线AB'的解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B'（﹣6，0）代入得：2=4m+n0=−6m+n，解得：m=15n=65，
∴直线AB'的解析式为：y=15x+65，
当x＝0时，y=65，∴M（0，65）；

（3）存在，理由：
设：点N（m，0），点A（4，2），点O（0，0），
则AO2＝20，AN2＝（m﹣4）2+4，ON2＝m2，
①当AO＝AN时，20＝（m﹣4）2+4，
解得：m＝8或0（舍去0）；
②当AO＝ON时，同理可得：m=±25；
③当AN＝ON时，同理可得：m=52；
故符合条件的点N坐标为：（﹣25，0）或（25，0）或（8，0）或（52，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
16．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c与y＝x+1交于A（﹣1，0）、C（n，9）两点．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一个动点，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线对称轴上存在一点D，使|CD﹣AD|最大，求作点D并直接写出点D的坐标．

【分析】（1）将点C的坐标代入y＝x+1得：9＝n+1，解得：n＝8，即点C（8，9），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分AB＝AP、AB＝PB、AP＝BP三种情况，分别求解即可；
（3）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC并延长交函数对称轴于点D，则点D为所求，即可求解．
【解答】解：（1）将点C的坐标代入y＝x+1得：9＝n+1，解得：n＝8，即点C（8，9），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：•13−b+c=09=13×64+8b+c，解得：b=−43c=−53，
故抛物线的表达式为：y=13x2−43x−53；

（2）y=13x2−43x−53，则点B（5，0），点A（﹣1，0），设点P（0，m），
则AB2＝62＝36，AP2＝1+m2，BP2＝25+m2，
①当AB＝AP时，36＝1+m2，解得：m=±35；
②当AB＝PB时，36＝25+m2，解得：m=±11；
③当AP＝BP时，无解；
故点的坐标为：（0，35）或（0，−35）或（0，11）或（0，−11）；

（3）函数的对称轴为：x＝2，点B（5，0），点C（8，9），
点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC并延长交函数对称轴于点D，则点D为所求，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝mx+s得：5m+s=08m+s=9，解得：m=3s=−15，
故直线BC的表达式为：y＝3x﹣15，
当x＝2时，y＝﹣9，
故点D（2，﹣9）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
17．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+1与x轴的交点为点A，B（B位于A的右侧），与y轴的交点为点C．
（1）若m＝3，求点A、B、C的坐标；
（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知一次函数y＝kx+b，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1于点N，若只有当1＜n＜4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）将m＝3代入解析式，可求解；
（2）利用参数m，求出点A，点B，点C坐标，由△BOC是等腰三角形，从而求得；
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．
【解答】解：（1）∵m＝3，
∴y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴点C（0，﹣8），
当y＝0时，0＝﹣x2+6x﹣8，
∴x1＝2，x2＝4，
∴点B（4，0），点A（2，0）；
（2）∵点A、B是二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象与x轴的交点，
∴令y＝0，﹣x2+2mx﹣m2+1＝0，
解得x1＝m+1，x2＝m﹣1，
又∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为（m﹣1，0），B（m+1，0）；
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣m2+1），
∵△BOC是等腰三角形，点B在原点的右侧，点C在原点的下方，
∴OB＝m+1，OC＝m2﹣1，
∴m+1＝m2﹣1，
∴m＝﹣1或2，
∵点B在原点的右侧，点C在原点的下方，
∴m＝2，
（3）由（2）得，m＝2，
∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+4x﹣3，
∵1＜n＜4时，点M位于点N的下方，
∴当1＜n＜4时，y1＞y2，
即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，
由此可得交点坐标为（1，0）和（4，﹣3），
将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx+b中，
得k+b=04k+b=−3，
解得：k=−1b=1，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
18．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
根据以上信息，回答下面问题：
（1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？
（3）当点Q在边CA上运动时，是否存在t的值，使△BCQ为等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）点P在边AC的垂直平分线上，则PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，在Rt△BPC中，由BC2+BP2＝CP2即可求解；
（3）分CQ＝BQ、CQ＝BC、BC＝BQ利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm
∴BC=AC2−AB2=202−162=12（cm）；

（2）∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，
在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2
解得：t=252；

（3）存在t值，使△BCQ为等腰三角形．
①当CQ＝BQ时，如答图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒；
②当CQ＝BC时，如答图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒；
③当BC＝BQ时，如答图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=AB⋅BCAC=12×1620=485，
∴CE=BC2−BE2=365，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，OA、OB的长分别为4和3．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点D作DE⊥OA于点E，由“AAS”可证△DEA≌△AOB，推出DE＝AO＝4，AE＝BO＝3，OE＝AE+AO＝3+4＝7可得点D的坐标为（4，7）；
（2）同理可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（3）由等腰三角形的性质和两点距离公式可求点P坐标．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥OA于点E，如图所示：

∵OA、OB的长分别为4和3，
∴点A（0，4），点B（3，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠DEA＝∠DAB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠DAE+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO，
在△DAE和△AOB中，
∠EDA=∠AOB∠DAE=∠ABODA=AB，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴DE＝AO＝4，AE＝BO＝3，
∴OE＝AE+AO＝3+4＝7，
∴点D的坐标为（4，7）；
（2）过点C作CF⊥OB于点F，
同理可证：△AOB≌△BFC，
∴BF＝4，CF＝3，
∴OF＝OB+BF＝7，
∴点C的坐标为（7，3）
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：3=7k+b0=3k+b，
解得：k=34b=−94，
∴直线BC的解析式为：y=34x−94；
（3）存在，
理由如下：∵OA、OB的长分别为4和3，
∴AB=16+9=5，
∴CD＝5
∵∠DCP'＝90°，△PCD为等腰三角形，
∴PC＝CD，
设点P（x，34x−94），
∴(x−7)2+(34x−94−3)2=5，
∴x1＝3，x2＝11，
∴点P（3，0）或（11，6）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法可求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解．
（2）先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解．
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），
∴c＝3，−b2×(−1)=1，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点M（1，4），
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∵点M（1，4），点B（3，0），
∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，
∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，
∴点P（3−m2，m），
∴S△PCD=12×PD×OD=12m×（3−12m）=−14m2+32m，
∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），
∴0＜m≤4，
∴S与m之间的函数关系式为S=−14m2+32m（0＜m≤4）．

（3）存在，
若PC＝PD＝m时，
∵PD＝m，点P（3−m2，m），点C（0，3），
∴（3−m2−0）2+（m﹣3）2＝m2，
∴m1＝18+67（舍去），m2＝18﹣67，
∴点P（﹣6+37，18﹣67）．
若DC＝PD＝m时，
∴（3−m2−0）2+（﹣3）2＝m2，
∴m3＝﹣2﹣27（舍去），m4＝﹣2+27，
∴点P（4−7，﹣2+27）．
若DC＝PC时，
∴（3−m2−0）2+（m﹣3）2＝（3−m2−0）2+（﹣3）2，
∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去），
综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+37，18﹣67）或（4−7，﹣2+27）时，使△PCD为等腰三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．