2022年中考数学解答题专题20——因动点产生的相似三角形问题（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

专题20 因动点产生的相似三角形问题（基础）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2

（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．

2．如图1，在Rt△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠ABC＝60°，动点M从点A出发，沿斜边AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点N从点C出发，沿直角边CA以每秒个单位长度的速度向点A匀速运动，连接BN，MN，过点M作MD⊥CA于点D，当点M运动到点B时，动点N也随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）填空：当BN平分∠ABC时，MD的长度为　   　；

（2）如图2，点E为BC的中点，连接EN，EM，设△EMN的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值；

（3）在动点M，N的运动过程中，是否存在t的值，使得以D，M，N为顶点的三角形与△BCN相似？若存在，求出所有t的值，若不存在，说明理由．

3．如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB＝12cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，运动到点B停止；动点Q同时从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P停止运动时，点Q也立即停止运动．

（1）设点P运动的时间为t，请用t的代数式表示BP和CQ：BP＝　   　，CQ＝　   　；

（2）是否存在某一时刻，以A，P，D为顶点的三角形与△BCQ相似？如果存在，请求出t的值；

（3）是否存在某一时刻，使得△BPQ为等腰三角形？如果存在，请求出点P运动的时间．

4．如图所示，在矩形MBCN中，点A是边MN的中点，MB＝6cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：

（1）求证：△AMB≌△ANC；

（2）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；

（3）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6）．

（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？

（2）当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

（3）设△QCP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△QCP的面积有最小值？最小值是多少？

6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．

（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；

（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？

7．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？

8．已知，在平行四边形OABC中，OA＝5，AB＝4，∠OCA＝90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．

（1）求直线AC的解析式；

（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．

9．如图，已知：在△ABC中，BC═12，AC＝8，∠C＝45°，P是BC边上的一个动点，过点P作PD∥AB与AC相交于点D，连接AP，设线段BP的长为x，△APD的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出函数的定义域；

（2）是否存在一个位置的点P，使△APD的面积等于△APB的面积的？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．

10．如图，在直角三角形ABC中，角B等于90度，AB等于6厘米，BC等于8厘米，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点P或点Q到达终点时停止运动．则当运动几秒时，以QBP为顶点的三角形与三角形ABC相似？

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，△BEF的面积为5cm2？

（2）当t为何值时，△BEF与△ABD相似？

12．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BN向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动的时间为t秒（0＜t＜4）．

（1）P点的坐标为（　   　，　   　），PC＝　   　（用含x的代数式表示）；

（2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似；

（3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，说明理由．

13．如图，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P，Q同时从AB两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度是4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．

14．如图，OA＝OB＝10，AB＝12，点A在x轴正半轴上，过点O作OC⊥AB于点C，作BD垂直y轴于D，若动点E从原点O出发，沿线段OC向终点C运动，动点F从点D出发，沿线段DO向终点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒．

（1）请直接写出点A，点D的坐标．

（2）用含t的表达式表示△OEF的面积．

（3）设EF与OB相交于点P，当t为何值时，△OPF与△OBD相似？

15．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，点Q以每秒1个单位的速度从B向A运动，同时点P以每秒2个单位的速度从B→C→A方向运动，它们到A点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）当点P在线段BC上运动时，求点P到直线AB的距离d与时间t的函数关系式；

（2）在运动过程中，求P，Q两点间距的最大值；

（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQB与△APB相似？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

16．如图，直线yx+4与x轴交于A点，与y轴交于点B，动点P从A点出发，以每秒2个单位速度沿射线AO匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动的时间为t（秒）．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）请求出t为何值时，△APQ与△ABO相似？

（3）若点C为为平面直角坐标系内一点，是否存在t值，使得以A、P、Q、C为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出C点坐标，若不存在，请说明理由．

17．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（6，0），B（0，3）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若S矩形OECD＝2，求点C的坐标；

（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设点P，Q移动的时间为t秒．△PBQ能否与△ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．

19．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE＝2OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE．

（1）若AO＝3，求AC的长度；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE＝k•PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．

（1）当PQ∥AC时，求t的值；

（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于cm2．