2022年中考数学解答题专题15——二次函数的最值（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

专题15 二次函数的最值（基础）

1．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．

（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；

（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．

2．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax有最大值还是最小值，并求出其最值．

3．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．

4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．

（1）求这个函数的关系式；

（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．

5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

6．已知二次函数y＝一x2+4x+6．

（1）当x为何值时，y有最值？是多少？

（2）当一2≤x≤1时，求函数的最值．

（3）当x≥4时．求函数的最值．

7．对于二次函数f（x）＝ax2﹣bx+c，当a＞0时，只有最小值为，这个结论一定正确吗？

8．求函数y的最小值．

9．已知：二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1，其中a为常数．

（1）若y的最大值为2，求a的值；

（2）求y＝﹣x2+2（a+1）x+1在0≤x≤|a|时的最小值；

（3）若方程|﹣x2+2（a+1）x+1|＝2﹣x的正实数根只有一个，求a的取值范围．

10．已知函数yxk2﹣2是关于x的二次函数

（1）求满足条件的k的值；

（2）k为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？

11．如图．抛物线y＝ax2+bx与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（不与点A，B重合），连接AD，BD．

（1）求抛物线的解析；

（2）设△ADB的面为S，求出当S取最大值时的点D的坐标．

12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？

13．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．

（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；

（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．

14．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF，设三角板ABC移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；

（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

15．如图，函数y＝﹣x2x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．

（1）当c＝1时，求M1，M2的值；

（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；

（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

16．在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝AH＝CF＝CG，已知AB＝a，BC＝b．

（1）若a≤3b时，求四边形EFGH的面积的最大值；

（2）若a＝4，b＝16，求四边形EFGH的面积的最大值．

17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．

（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．

（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：

（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？

（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？

（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？

19．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．

（1）若AD＝BC，求a的值；

（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．