苏科版八年级下册11.1 反比例函数导学案

这是一份苏科版八年级下册11.1 反比例函数导学案，文件包含专题115《反比例函数的实际应用难》专项训练30题每日打卡·天天练系列苏科版解析版docx、专题115《反比例函数的实际应用难》专项训练30题每日打卡·天天练系列苏科版原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共57页， 欢迎下载使用。

专题11.5《反比例函数的实际应用（难）》专项训练30题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(解析版)
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表：

10
15
20
25
30

30
20
15
12
10
（1）猜测与之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（2）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？
（3）将活动托盘往左移动时，应往活动托盘中添加还是减少砝码？

【分析】（1）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）把代入解析式求解，可得答案；
（3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小．
【解答】解：（1）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，
设，
把，代入得：，
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为：；
（2）把代入得：，
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是．
（3）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
应添加砝码．
2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【分析】（1）先用代定系数法分别求出和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）设线段所在的直线的解析式为，
把代入得，，
．
设、所在双曲线的解析式为，
把代入得，，

当时，，
当，

第30分钟注意力更集中．

（2）令，
，

令，
，

，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
3．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？
（2）求的值；
（3）当棚内温度不低于时，该蔬菜能够快速生长，请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间？

【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）把点坐标代入反比例函数解析式，即可解决问题；
（3）求出时的两个时间，求出差即可解决问题；
【解答】解：（1），
故恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有10个小时．

（2）把代入中，．

（3）设开始部分的函数解析式为，则有
解得，
，
当时，，
对于，时，，
，
答：这天该蔬菜能够快速生长的时间为．

4．一列货车从北京开往乌鲁木齐，以的平均速度行驶需要．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速．
（1）如果提速后平均速度为，全程运营时间为小时，试写出与之间的函数表达式；
（2）如果提速后平均速度为，求提速后全程运营时间；
（3）如果全程运营的时间控制在内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
【分析】（1）直接利用路程时间速度得出总路程进而得出函数关系式；
（2）利用总路程除以速度即可得出时间；
（3）利用总路程除以时间即可得出平均速度．
【解答】解：（1）由题意可得，总路程为，
则提速后平均速度为，全程运营时间为小时，
故与之间的函数表达式为：；

（2）当时，（小时），
答：提速后全程运营时间为小时；

（3）全程运营的时间控制在内，
平均速度应为：，
答：提速后，平均速度至少应为．
5．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度与时间的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值即可．
【解答】解：（1）设线段解析式为
线段过点，
代入得
解得
解析式为：
在线段上当时，
坐标为
线段的解析式为：
设双曲线解析式为：


双曲线解析式为：
关于的函数解析式为：

（2）由（1）恒温系统设定恒温为
（3）把代入中，解得，

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
6．某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量（千克）与售价（元千克）之间成反比例关系，已知第1天以20元千克的价格销售了45千克．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量（千克）与销售价格（元千克）之间都满足这一关系．
（1）求与的函数关系式；
（2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天的销售价格；
（3）试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元千克，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？
【分析】（1）直接利用第1天以20元千克的价格销售了45千克，得出函数解析式即可；
（2）利用第6天的销售价格比第2天低了9元千克，但销售量却是第二天的2倍，得出等式求出答案；
（3）把代入函数解析式得出的值，进而求出答案．
【解答】解：（1）与的函数关系式：；

（2）设第二天的销售价格是元千克，则，
解得，经检验是原方程的解
答：第二天的销售价格为18元千克；

（3）草莓的销售价定为15元千克时，每天的销售量：
（千克），
由题意（天，
所以余下的草莓预计还要销售25天．
7．某生态示范村种植基地计划用90亩亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数（亩与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（总产量亩数平均每亩产量）
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？
【分析】（1）根据题意得到原计划种植亩数（亩与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，从而可以解答本题．
【解答】解；（1）由题意可得，
，
，
，
即原计划种植亩数（亩与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式是；
（2）解：设原计划每亩产量万斤，改良后每亩产量万斤，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：原计划和改良后的平均每亩产量各是万斤、0.5万斤．
8．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，
（1）分别求出直线及双曲线的解析式．
（2）学生在每次温度升降过程中能喝到以上水的时间有多长？
（3）若某天上午六点饮水机自动接通电源，问学生上午第一节下课时能喝到超过的水吗？说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分别求出函数值为50时的两个时间，求时间差即可解决问题；
（3）求出第一次开机，到第二次开机的时间差，与135分钟比较即可判断结果；
【解答】解：（1）开机加热时每分钟上升，
从到需要8分钟，
设一次函数关系式为：，
将，代入，得，．
，
设反比例函数关系式为：，
将代入，得，
，

（2）中，
令，解得；
反比例函数中，令，解得：，
学生在每次温度升降过程中能喝到以上水的时间有分钟．

（3）定义，当时，，
上午六点到下午第一节下课时的时间是135分钟，是3个40分钟多15分钟，
学生上午第一节下课时能喝到超过的水．
9．如图，某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图所示），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量（万件）与时间（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？

【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求得的取值范围，从而确定天数；
（3）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当时，
设，把代入得：，
；
当时，设，把代入得，
；
（2）当时，由，
解得：，
即；
当时，由，
解得：，
不合条件，
共有8天；
（3）当时，又得，，即，有6天；
当时，由，解得：，即，有6天，
共有，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
10．小琳、晓明两人在的跑道上匀速跑步训练，他们同时从起点出发，跑向终点．
（1）设小琳速度为，写出小琳跑完全程所用的时间与速度之间的函数关系式；
（2）已知晓明的速度是小琳速度的1.25倍，两人跑完全程，小琳要比晓明多用，用分式方程求小琳、晓明两人匀速跑步的速度？
【分析】（1）利用路程、时间、速度之间的关系写出即可；
（2）设出两人的速度，利用路程差8列出方程求解．
【解答】解：（1）由题意．

（2）设小琳速度为，则晓明的速度为．
由题意：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
，
答：小琳、晓明两人匀速跑步的速度分别为，．
11．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米小时（汽车行驶速度不超过100千米小时）．根据经验，，的一组对应值如下表：
（千米小时）
75
80
85
90
95
（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午从丽水出发，能否在上午之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间满足，求平均速度的取值范围．
【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法求出即可；
（2）根据时间，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
【解答】解：（1）根据表格中数据，可知，
时，，
，
．

（2），
时，，
汽车上午从丽水出发，不能在上午之前到达杭州市场．

（3），
，
答：平均速度的取值范围是．
12．制作一种产品，需先将材料加热达到后，再进行操作．设该材料温度为，从加热开始计算的时间为（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度与时间成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为，加热5分钟后温度达到．
（1）求出将材料加热时，与的函数关系式；
（2）求出停止加热进行操作时，与的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于时，须停止操作，那么操作时间是多少？

【分析】（1）（2）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数的函数值为15，解得两个的值相减即可得到答案．
【解答】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为，
该函数图象经过点，，
，
解得，
一次函数的表达式为，

（2）设加热停止后反比例函数表达式为，该函数图象经过点，
即，
所以反比例函数表达式为；

（3）当时，代入有，
当时，代入有，
材料进行特殊处理所用时间分钟．
答：该材料进行特殊处理所用时间为15分钟．
13．某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店经营，了解到一种成本每本20元的书在天销售量．在第天的售价每本元，与的关系如图所示． 已知当社会实践活动时间超过一半后．
（1）请求出当时，与的函数关系式，并求出第12天此书的销售单价；
（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

【分析】（1）当时，设，将，代入，利用待定系数法求出与的函数关系式；然后在每个的取值范围内，令，分别解出的值即可；
（2）利用利润售价成本，分别求出在和时，获得的利润与的函数关系式；再利用二次函数及反比例函数的性质求出最大值，然后比较即可．
【解答】解：（1）当时，设，将，代入得：
，
解得：，
则与的函数关系式为：，
当时，，
答：函数关系式为：，第12天该商品的销售单价为每本36元；

（2）设该网店第天获得的利润为元．
当时，，
，
当时，有最大值，且，
当时，，
，
随的增大而减小，
时，最大．
于是，时，有最大值，且，
，
这40天中该网点销售此书第15天获得的利润最大，最大的利润是612.5元．
14．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表：
托盘与点的距离
10
15
20
25
30
托盘中的砝码质量
30
20
15
12
10
（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数解析式；
（2）当托盘向左移动（不超过点时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？

【分析】（1）观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可．
（2）利用反比例函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）函数图象如图所示，

观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，
把的坐标代入，得，
，
经检验，其余各个点坐标均满足．

（2）当托盘向左移动（不超过点时，应往托盘中添加砝码．
由图象可知，当时，随的增大而减小，所以当托盘向左移动时，减小，增大．
15．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）与可近似地用反比例函数刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：当时，，求的值．
（2）若依据某人甲的生理数据显示，当时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？
（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出时，相应的两个的值即可解决问题．
（3）求出时，相应的两个的值，求出时间差即可判断．
【解答】解：（1）当时，，
，
．

（2）当时，，解得，
，解得小时，
肝部被严重损伤持续时间小时．

（3）当时，，解得，
，解得，
小时，
在家喝完半斤低度白酒，第二天早上上班，这个时间差是11小时，
，
第二天早上不能驾车去上班．
16．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）
（1）求出线段，曲线的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【分析】（1）利用待定系数法分别求出和的函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）设线段所在的直线的解析式为，
把代入得，，
解析式为：．
设、所在双曲线的解析式为，
把代入得，，
曲线的解析式为：；

（2）当时，，
当时，，

第30分钟注意力更集中．

（3）令，
，

令，
，
，
，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
17．为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例（如图所示）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为　　；
（2）当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）由于在药物燃烧阶段后，与成反比例，因此设函数解析式为，然后由在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后与的函数解析式；
（2）把代入反比例函数解析式，求出相应的；
（3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效．
【解答】解：（1）药物燃烧完毕后，与成反比例
设，
在上，
；
；
故答案为：；

（2）把代入，
得
故学生至少经过30分钟才可以进课室；

（3）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为
，
药物燃烧时关于的函数关系式为
把代入，得：
把代入，得：

所以这次消毒是有效的．
18．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象：
周
8
24
千套
10
26
（1）求与的函数关系式；
（2）观察图象，当时，与的函数关系式为 　　．
（3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是，求在此范围内对应的周销售量的最小值和最大值．

【分析】（1）通过待定系数法求函数关系式．
（2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解．
（3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．
【解答】解：（1）当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
，
，
综上所述与的函数关系式为：
；
（2）当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
故答案为：；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240．
②当时，，抛物线的对称轴为，
（Ⅰ）当时，在对称轴右侧随的增大而增大，
当时，
解得：，（舍去）；
当时，取最大值，最大值为448，满足；
当时，周销售量的最小值为11；当时，取最大值14；
（Ⅱ）当时，，抛物线的对称轴为，
当时，取最小值，最小值为448，满足；
当时，
解得：，（舍去）；
当时，周销售量取最小值为14；当时，取最大值18；
综上所述，当周利润总额的范围是时，对应周销售量的最小值是11千套，最大值是18千套．
19．如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表

10
15
20
25
30

30
20
15
12
10
（1）把表中的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？

【分析】（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
（2）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（3）把代入解析式求解，可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，
设，
把，代入得：，
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为：；
（3）把代入 得：，
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是．
20．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求关于的函数关系式？自变量的取值范围是什么？药物燃烧后与的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出相应的；
（3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效．
【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为

设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为

药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为

（2）结合实际，令中得
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．

（3）把代入，得：
把代入，得：
，，
所以这次消毒是有效的．
21．某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温和通电时间成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当和时，和之间的关系式；
（2）求出图中的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课时能喝到不超过的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）
时间
节次
上

午

到校

第一节

第二节



【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得与的关系式；
（2）将代入，即可得到的值；
（3）要想喝到不超过的热水，让解析式小于等于40，则可得的取值范围，再由题意可知开饮水机的时间．
【解答】解：（1）当时，设，
将，代入
得，
当时，；
当时，设，
将代入
得
当时，；
当时，；
当时，；

（2）将代入，
解得；

（3）要想喝到不超过的热水，则：
，
，
，

因为40分钟为一个循环，
所以喝到不超过的开水，
则需要在分钟
或在分钟）分钟打开饮水机
故在或时打开饮水机．
22．码头工人每天往一艘轮船上装卸货物，装卸速度（吨天）与所需时间（天之间的函数关系如图．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？

【分析】【分析】（1）根据题意即可知装载速度（吨天）与装完货物所需时间（天之间是反比例函数关系，则可求得答案；
（2）由，代入函数解析式即可求得的值，即求得平均每天至少要卸的货物；
（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案．
【解答】解：（1）设与之间的函数表达式为，
根据题意得：，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2），，
解得：；
答：平均每天至少要卸80吨货物；
（3）每人一天可卸货：（吨，
（人，（人．
答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
23．家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻随温度（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
（1）求当时，和之间的关系式；
（2）求温度在时电阻的值；并求出时，和之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过？

【分析】（1）设关系为，将代入求；
（2）将代入关系式中求’，由题意得’ ；
（3）将代入’ 求出．
【解答】解：（1）温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，
可设和之间的关系式为，
将代入上式中得：，
．
故当时，；

（2）将代入上式中得：，．
温度在时，电阻．
在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，
当时，
；

（3）把，代入得，，
所以，温度在时，电阻不超过．
24．家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻随温度（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
（1）求当时，和之间的关系式；
（2）求温度在时电阻的值；并求出时，和之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过？

【分析】（1）设关系为，将代入求；
（2）将代入关系式中求’，由题意得’ ；
（3）将代入’ 求出．
【解答】解：（1）温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，
可设和之间的关系式为，
将代入上式中得：，
．
故当时，；

（2）将代入上式中得：，．
温度在时，电阻．
在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，
当时，
；

（3）把，代入得，，
把代入中，求得，
所以，温度在时，电阻不超过．
25．六一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙、之间有一块空地，他发现弯道上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：、、是弯道上的三点，矩形、矩形、矩形的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为、、，并测得（单位：平方米）．．
（1）求和的值；
（2）设是弯道上的任一点，写出关于的函数关系式；
（3）公园准备对区域内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知米，米．问一共能种植多少棵花木？

【分析】（1）判断出弯道为反比例函数图象的一部分，设函数解析式为，，然后表示出、、，再根据列出方程求出，然后分别求解即可；
（2）根据值求解即可；
（3）求出点的横坐标为12，再分别求出横坐标为偶数时的值，然后计算种植的棵数即可．
【解答】解：（1）矩形、矩形、矩形的面积相等，
弯道为反比例函数图象的一部分，
设函数解析式为，，
则，，，
所以，，
解得，
所以，，
；

（2），
弯道函数解析式为，
是弯道上的任一点，
；

（3）米，米，
，，
解得，
在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），
时，，可以种8棵，
时，，可以种4棵，
时，，可以种2棵，
时，，可以种2棵，
时，，可以种1棵，
一共可以种：棵．
答：一共能种植17棵花木．
26．一张边长为正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“”图案如图1．小矩形的长与宽之间的函数关系如图
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）“”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是，求小矩形宽的范围．

【分析】（1）根据图象信息利用待定系数法可以确定函数解析式；
（2）根据（1）的函数关系式可以知道小矩形的面积，从而可以求出“”图案的面积；
（3）根据（1）的函数关系式可以确定小矩形的宽的取值范围．
【解答】解：（1）设函数关系式为，
函数图象经过
，
，
，，
，，
；

（2），
，
；

（3）当时，，
当时，，
小矩形的长是，小矩形宽的范围为．
27．为了预防流感，市教育局要求学校利用星期天用药熏消毒法对所有教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比；药物释放完毕后，（毫克）与时间（分钟）成反比，如图所示．现测得8分钟后药物释放完毕，此时室内每立方米空气中的含药量为6毫克，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，（毫克）与（分钟）函数关系式是　　，自变量的取值范围是　 　；药物释放完毕后，与函数关系式是　 　；
（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量降低到1.6毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当室内空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病毒，那么此次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）从药物释放开始，设函数解析式为，设药物释放完毕后，与函数关系式，分别把代入可分别计算出、的值，进而可得函数解析式；
（2）根据，结合反比例函数解析式可得，再解不等式即可；
（3）根据题意可得不等式组，计算出不等式组的解集，然后可得答案．
【解答】解：（1）从药物释放开始，设函数解析式为，
经过，
，
解得：，
；
设药物释放完毕后，与函数关系式，
经过，
，
；
故答案为：；；；

（2）当时，，
解得：；

（3）当时，，
解得：，
，
此次消毒是有效．
28．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
【分析】（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，，后根据题意代入求出和即可；
（2）当时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．
【解答】解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，，
将和分别代入两个关系式得：
，，解得：，．
小红的函数关系式是，小敏的函数关系式是．

（2）把分别代入两个函数得：
，，
解得：，，
（升，（升．
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
29．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围．
（2）结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度．
（3）由关系式知，时，，矿工至少在爆炸后（小时）才能下井．
【解答】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设与的函数关系式为，
由图象知过点与，
则，
解得，
则，此时自变量的取值范围是．
（不取不扣分，可放在第二段函数中）
爆炸后浓度成反比例下降，
可设与的函数关系式为．
由图象知过点，
，
，
，此时自变量的取值范围是．

（2）当时，由得，，．
撤离的最长时间为（小时）．
撤离的最小速度为．

（3）当时，由得，，
（小时）．
矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
30．近日全球多国暴发猪流感疫情，为预防疫情，某食品厂对屠宰加工车间进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；燃烧后，与成反比例，（如图所示）．现测得点燃药物后与，室内每立方米空气中的含药量为．据以上信息解答下列问题：
（1）药物燃烧时与的函数关系式为　　；燃烧后与的函数关系式为　 　．
（2）通过计算说明药物经多长时间燃烧尽？
（3）当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间工作人员才可以回室内？

【分析】（1）用待定系数法，可设燃烧时和燃烧后，与的函数关系式为，，根据图象，解答出即可；
（2）令，解出，即为燃烧时间；
（3）把，代入反比例函数关系式，解答出即可；
【解答】解：（1）①设燃烧时，与的函数关系式为，图象过，
，解得，，
设燃烧时，与的函数关系式为，
②设燃烧后，与的函数关系式为，图象过
，解得，
燃烧后，与的函数关系式为．
故答案为：；．

（2）由题意，令，
解得．
药物经燃烧尽；

（3）把代入，
解得．
经工作人员才可以回室内．