八年级下册 反比例函数2学案

教学目标

1、掌握反比例K的几何意义；

2、掌握反比例函数典型题型的求解方法；

知识梳理

1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成
2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.

⑵比例系数

⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

①     列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②     描点（有小到大的顺序）

③     连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

典例精讲

题型一、反比例函数的增减性质

例1、如果反比例函数的图象位于第二、四象限，则n的取值范围是_______；

如果图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则n的取值范围是            .

答案:n＞4，n＜4

变式、反比例函数的图象如图所示，以下结论：

①常数m＜﹣1；

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；

④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．

其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，

∴m＞0

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，

∵m＞0

∴h＜k

故③正确；

将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，

故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上

故④正确，

故选C

例2、已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝－（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（   ）　

变式、如图，点P为反比例函数上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y=kx﹣1的图象为（　　）

A． B． C． D．

题型二、反比例函数的对称性

例3、如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为_______.

题型四：反比例函数与坐标轴围成的面积问题

例4、如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．4

【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），

∴D（﹣3，2），

∵双曲线y=经过点D，

∴k=﹣3×2=﹣6，

∴△BOC的面积=|k|=3．

又∵△AOB的面积=×6×4=12，

∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．

故选B．

变式、如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（　　）

【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，

∴A、B两点关于原点对称，

∴OA=OB，

∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，

又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，

∴△AOC的面积=|k|，

∴|k|=2，

∵k＞0，

∴k=4．

故这个反比例函数的解析式为．

故选B．

例5、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2=S3

【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以S1=S2=S3．

故选D．

题型五：利用图像比较大小问题

例5、若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2和0的大小关系是（　　）

A．y1＞y2＞0          B．y1＜y2＜0    C．y1＞0＞y2     D．y1＜0＜y2．

【解答】解：由于k=﹣3小于0，说明函数图象分布在二四象限，

若x1＜0，x2＞0，说明A在第二象限，B在第四象限．

第二象限的y值总大于0，总比第四象限的点的y值大．

∴y1＞0＞y2．

故选C．

变式、已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（　　）

A．y1＜y2＜0          B．y1＜0＜y2    C．y1＞y2＞0       D．y1＞0＞y2

【解答】解：∵点P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，

∴k=1×（﹣2）=﹣2＜0，

函数图象在二，四象限，

又∵x1＜0，x2＞0，

∴P1在第二象限，P2在第四象限，

∴y1＞0，y2＜0，

∴y1＞0＞y2．

故选D．

题型六：反比例函数的应用

例6、物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为．当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为（　　）

A． B． C． D．．

【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选C．

变式、病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比例，2小时后y与x成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题．

（1）求当0≤x≤2时，y与x的函数关系式；

（2）求当x＞2时，y与x的函数关系式；

（3）若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？

【解答】解：（1）根据图象，正比例函数图象经过点（2，4），

设函数解析式为y=kx，

则2k=4，

解得k=2，

所以函数关系为y=2x（0≤x≤2）；

（2）根据图象，反比例函数图象经过点（2，4），

设函数解析式为y=，

则=4，

解得k=8，

所以，函数关系为y=（x＞2）；

（3）当y=2时，2x=2，解得x=1，

=2，解得x=4，

4﹣1=3小时，

∴服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时．

题型七：与一次函数的结合

例7、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，

∴m=（﹣2）×1=﹣2．

∴反比例函数的表达式为．

∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，

∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．

把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，

得解得．

∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．

（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．

∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．

∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．

变式、点A是函数＞0)图象上任意一点，过A点分别作x，y轴的平行线交函数图象于点B，C，过C点作x轴的平行线交函数图象于点D．

图7－16

(1)设A点的横坐标为a，试用a表示B，C点的坐标；

(2)求四边形ABCD的面积．

．解：(1)当x＝a时，，

∴A点坐标为．∵AB∥x轴，

∴A、B两点纵坐标相等，

．∴B点坐标为．

∵AC∥x轴，∴A、C两点横坐标相等，

，∴C点坐标为．

(2)∵CD∥x轴，∴C、D两点纵坐标相等，

．∴x＝2a．∴D点坐标为

∵CD＝a，

∴S四边形ABCD＝

巩固练习

1、己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）

A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6

【解答】解：∵k=6＞0，

∴在每个象限内y随x的增大而减小，

又∵当x=1时，y=6，

当x=3时，y=2，

∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．

故选C．

2、在同一直角坐标系中，函数y=kx+1和函数y=（k是常数且k≠0）的图象只可能是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：当k＞0时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限；

当k＜0时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；

故选B．

3、如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（　　）

A．       B．    C．    D．

【解答】解：∵双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，

∴S△OAD=S△OEC=S矩形OABC=S梯形ODBC=1，

∴k=2，

则双曲线的解析式为．

故选：B．

4、如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

【解答】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．

故选：A．

5、反比例函数y=（k＞0）的部分图象如图所示，A，B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定

6、如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，

即S=|k|．

所以△ABC的面积等于2×|k|=|k|=4．

故选B．

7、已知点（x1，﹣2），（x2，2），（x3，3）都在反比例函数y=的图象上，则下列关系中正确的是（　　）

A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x3＜x1

【解答】解：将点（x1，﹣2），（x2，2），（x3，3）分别代入y=中，

得x1=6÷（﹣2）=﹣3，x2=6÷2=3，x3=6÷3=2．即x1＜x3＜x2．

故选B．

8、若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1=y2=y3 D．y1＜y3＜y2

【解答】解：将A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都代入函数解析式得，y1=，y2=，y3=1．所以y1＜y2＜y3．

故选B．

9、已知点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在函数y=﹣的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞b＞a    B．a＞b＞c   C．b＞a＞c   D．c＞a＞b

【解答】解：把点A（﹣3，a）代入函数y=﹣可得，a=1；

把点B（﹣1，b）代入函数y=﹣可得，b=3；

把点C（3，c）代入函数y=﹣可得，c=﹣1．

∵3＞1＞﹣1，即b＞a＞c．

故选C．

10、一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：t=，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A（40，1）和B（m，0.5）．

（1）求k和m的值；

（2）若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

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【专题】应用题．

【分析】（1）将点A（40，1）代入t=，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值；

（2）求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．

【解答】解：（1）由题意得，函数经过点（40，1），

把（40，1）代入t=，得k=40，

故可得：解析式为t=，再把（m，0.5）代入t=，得m=80；

（2）把v=60代入t=，得t=，

∴汽车通过该路段最少需要小时．

11、近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

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【专题】应用题；压轴题．

【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知（k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．

（2）结合以上关系式，当y=34时，由y=6x+4得x=5，从而求出撤离的最长时间，再由v=速度．

（3）由关系式y=知，y=4时，x=80.5，矿工至少在爆炸后80.5﹣7=73.5（小时）才能下井．

【解答】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，

所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b（k1≠0），

由图象知y=k1x+b过点（0，4）与（7，46），

则，

解得，

则y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．

（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）

∵爆炸后浓度成反比例下降，

∴可设y与x的函数关系式为（k2≠0）．

由图象知过点（7，46），

∴，

∴k2=322，

∴，此时自变量x的取值范围是x＞7．

（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．

∴撤离的最长时间为7﹣5=2（小时）．

∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）．

（3）当y=4时，由y=得，x=80.5，

80.5﹣7=73.5（小时）．

∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．

12、如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求△AOC的面积.

（1）；（2）126