2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）（word版含答案）

这是一份2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）（word版含答案），共30页。试卷主要包含了有两个相等的实数根等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）已知＝15.906，＝5.036，那么的值为（　　）
A．159.06 B．50.36 C．1590.6 D．503.6
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a3+a3＝a6
C．（﹣2x）3＝﹣6x3 D．a6÷a2＝a4
3．（2分）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　）

A．（1，3）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（4，0）
B．（1，3）→（0，3）→（2，3）→（0，0）→（1，0）→（2，0）→（4，0）
C．（1，3）→（1，4）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）→（4，0）
D．以上都不对
4．（2分）正六边形的每个内角度数是（　　）
A．60° B．90° C．108° D．120°
5．（2分）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（　　）

A．A B．B C．C D．无法确定
6．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a，结果正确的是（　　）
A．a（b﹣2） B．a（b﹣1）2 C．a（b+1）2 D．ab（b﹣2）
7．（2分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都有一个汉字，那么在原正方体中与“你”字相对面上的字是（　　）

A．中 B．考 C．顺 D．利
8．（2分）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（　　）

A．m B．m C．m D．m
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　
10．（2分）当m＝　 　时，一元二次方程x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根．
11．（2分）已知＝7，则＝　 　．
12．（2分）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝　 　m．

13．（2分）《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡　 　只．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点，则MN＝　 　．

15．（2分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），过点B作BC⊥y轴与C，若△ABC的面积为2，则点B的坐标为　 　．

16．（2分）【尝试探究】如图（1），在△ABC中，分别以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，BE与CD交于点O，可求得∠BOC的度数．
【拓展探究】如图（2），在△ABC中，分别以AB，AC为边向△ABC外作正n边形AB…D和正n边形AC…E，BE与CD交于点O，则∠BOC的度数为　 　．

三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（5分）如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，连接AC，DF，并相交于点E．求证：AE＝CE．

20．（5分）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y＝2x和x轴上，若点A在直线y＝2x上运动．
（1）当点A运动到横坐标x＝3时，写出点C的坐标．
（2）写出x＝1时，直线AC的函数解析式．
（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．
21．（5分）佳佳果品店刚试营业，就在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克水果，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用1500元所购买的数量比第一次多10千克．求第一次该种水果的进价是每千克多少元？
22．（6分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．

（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
23．（6分）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CE的长．

24．（6分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充条形统计图；
（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；
（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少？
25．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点G．
（1）求证：△PDE≌△GCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF．当PB＝PG时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

26．（7分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．
（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；
（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP′＝S△BCP′，求m的值．

27．（7分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE＝EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

28．（7分）如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．


2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）已知＝15.906，＝5.036，那么的值为（　　）
A．159.06 B．50.36 C．1590.6 D．503.6
【解答】解：∵＝5.036，
∴＝503.6，
故选：D．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a3+a3＝a6
C．（﹣2x）3＝﹣6x3 D．a6÷a2＝a4
【解答】解：A、a3•a3＝a3+3＝a6同底数幂的乘法，底数不变指数相加；故本选项错误；
B、a3+a3＝2a3合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；故本选项错误；
C、（﹣2x）3＝﹣8x3 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．故本选项错误；
D、a6÷a2＝a4同底数幂的除法，底数不变指数相减；故本选项正确．
故选D．
3．（2分）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　）

A．（1，3）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（4，0）
B．（1，3）→（0，3）→（2，3）→（0，0）→（1，0）→（2，0）→（4，0）
C．（1，3）→（1，4）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）→（4，0）
D．以上都不对
【解答】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，故选：A．
4．（2分）正六边形的每个内角度数是（　　）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
故选：D．
5．（2分）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（　　）

A．A B．B C．C D．无法确定
【解答】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷，
所以A必定有地雷，
所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1．
故选：A．
6．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a，结果正确的是（　　）
A．a（b﹣2） B．a（b﹣1）2 C．a（b+1）2 D．ab（b﹣2）
【解答】解：ab2﹣2ab+a
＝a（b2﹣2b+1）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b﹣1）2．﹣﹣（完全平方公式）
故选：B．
7．（2分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都有一个汉字，那么在原正方体中与“你”字相对面上的字是（　　）

A．中 B．考 C．顺 D．利
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
在原正方体中与“你”字相对面上的字是“顺”．
故选：C．
8．（2分）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（　　）

A．m B．m C．m D．m
【解答】解：第一次是以B为旋转中心，BA1长m为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是•＝πm．
第二次是以B1为旋转中心，B1A1长1m为半径旋转90°，
此次走过的路径是π＝πm．
第三次是以A为旋转中心，AA1长1m为半径旋转90°，
此次走过的路径是π＝πm．
∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度＝π+π+π＝（+1）πm．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠﹣2　
【解答】解：根据题意得x+2≠0，
解得x≠﹣2，
故答案为x≠﹣2．
10．（2分）当m＝　4　时，一元二次方程x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根．
【解答】解：∵x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即16﹣4×1m＝0，
解得m＝4，
故答案是4．
11．（2分）已知＝7，则＝　　．
【解答】解：由题意得：＝，即x+＝，
＝x2++1＝﹣2+1＝，
其倒数＝．
故答案为：．
12．（2分）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝　25　m．

【解答】解：∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5AE，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5CG，
∴AE＝CG＝5，
∴AC＝5+15+5＝25（m）．
故答案为25．
13．（2分）《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡　84　只．
【解答】解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了（100﹣x﹣y）只，
依题意，得：5x+3y+（100﹣x﹣y）＝100，
∴y＝25﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，．
∵x≥y，且x+y≤20，
∴x＝12，y＝4，
∴100﹣x﹣y＝84．
故答案为：84．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点，则MN＝　1.5　．

【解答】解：延长CM交AB于E，
∵AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠AME＝∠AMC＝90°，∠EAM＝∠CAM，
∵在△EAM和△CAM中

∴△EAM≌△CAM（ASA），
∴CM＝ME，AE＝AC＝7，
∵N是BC的中点，
∴MN＝BE＝（AB﹣AE）＝×（10﹣7）＝1.5．
故答案为：1.5．

15．（2分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），过点B作BC⊥y轴与C，若△ABC的面积为2，则点B的坐标为　B（3，）　．

【解答】解：∵△ABC的面积为2，
∴•m•（2﹣n）＝2，
即2m﹣mn＝4，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），
∴1×2＝mn，
∴2m﹣2＝4，解得m＝3，
∴n＝，
∴B（3，）．
故答案为B（3，）．
16．（2分）【尝试探究】如图（1），在△ABC中，分别以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，BE与CD交于点O，可求得∠BOC的度数．
【拓展探究】如图（2），在△ABC中，分别以AB，AC为边向△ABC外作正n边形AB…D和正n边形AC…E，BE与CD交于点O，则∠BOC的度数为　　．

【解答】证明：（1）如图1中，∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADC；
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠BOC是△BOD的外角，
∴∠BOC＝∠ODB+∠DBA+∠ABE
＝∠ADC+∠ODB+∠DBA
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°；
（2）如图2中，∠BOC的度数为，理由是：
同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠DCA，
∵∠BOC＝∠BEA+∠OME＝∠DCA+∠AMC，
∵正n边形AC…E，
∴∠EAC＝180°﹣，
∴∠DCA+∠AMC＝180°﹣（180﹣）°，
∴∠BOC＝．
故答案为．


三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣++1﹣1，
＝0．（1分）
故答案为：0．
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：
∵解不等式①得，x＞8，
解不等式②得，x≥2，
∴不等式组的解集为x＞8，
在数轴上表示出来：
．
19．（5分）如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，连接AC，DF，并相交于点E．求证：AE＝CE．

【解答】证明：过点C作CH∥AB交FD于点H，

∴∠CHD＝∠BFD，∠ECH＝∠A，
∵BF＝BD，
∴∠BFD＝∠D，
∵∠CHD＝∠BFD，
∴∠CHD＝∠D，
∴CH＝CD，
∵AF＝CD，
∴CH＝AF，
在△AFE与△CHE中，
，
∴△AFE≌△CHE（AAS），
∴AE＝CE．
20．（5分）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y＝2x和x轴上，若点A在直线y＝2x上运动．
（1）当点A运动到横坐标x＝3时，写出点C的坐标．
（2）写出x＝1时，直线AC的函数解析式．
（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．
【解答】解：（1）当x＝3时，y＝2x＝6，则A（3，6）
∴B（9，6）
∴C（9，0）．

（2）x＝1时，y＝2x＝2，
∴A（1，2），
∴B（3，2），
∴C（3，0），
设直线AC的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴y＝﹣x+3，
即AC的函数表达式为：y＝﹣x+3．

（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，
当1≤m≤3时，由（2）得m＝1
∴A（1，2），
即E（1，2），
此时C（3，0），
即F（3，0），
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+3
∴它与x轴的交点为C的坐标是（3，0）
又由（1）知A（3，6），C（9，0）
△AOC的面积＝×9×6＝27，
△OEF的面积＝×3×2＝3
扫过的面积S梯形EFCA＝27﹣3＝24，
答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．

21．（5分）佳佳果品店刚试营业，就在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克水果，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用1500元所购买的数量比第一次多10千克．求第一次该种水果的进价是每千克多少元？
【解答】解：设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.2x元，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解．
答：第一次该种水果的进价是每千克5元．
22．（6分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．

（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
【解答】（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图2）

则，，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∴；

（2）证明：正确，
作MH∥BC交AB于点H，（如图1）
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∵∠MNH＝∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，∠DPC＝90°﹣∠CDP，
∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH（AAS），
∴DP＝MN．

23．（6分）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CE的长．

【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°．
设CF＝x，则EC＝2x．
则x2+（2x）2＝62，
解得x＝．
则EC＝2x＝．

24．（6分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充条形统计图；
（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；
（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少？
【解答】解：（1）调查人数＝10÷20%＝50（人）；

（2）户外活动时间为1.5小时的人数＝50×24%＝12（人）；
补全频数分布直方图；

（3）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数＝×360°＝144°；

（4）户外活动的平均时间＝（小时），
∵1.18＞1，
∴平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为1小时．
25．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点G．
（1）求证：△PDE≌△GCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF．当PB＝PG时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝90°＝∠D，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEG，
∴△PDE≌△GCE（ASA）；
（2）①证明：∵PB＝PG，
∴∠PBG＝∠G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBG＝∠G＝∠EPD，
∵△PDE≌△GCE，
∴PE＝GE，
∵EF∥BC，
∴EF是△PBG的中位线，EF∥AD，
∴BF＝PF，
在Rt△PAB中，∠BAP＝90°，
∴AF＝BP＝PF＝BF，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
又∵EF∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②解：四边形AFEP不是菱形，证明如下：
由（1）知DE＝CE＝，PD＝CG，
∴E是CD的中点，
∴EF是△BPG的中位线，
∴EF＝BG，
设PD＝x，则BG＝1+x，
∴EF＝（1+x），
又∵四边形AFEP是平行四边形，
∴AP＝EF，
∴1﹣x＝（1+x），
解得：x＝，
∴AP＝1﹣＝，
∵PE＝＝＝，
∴AP≠PE，
∴四边形AFEP不是菱形．
26．（7分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．
（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；
（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP′＝S△BCP′，求m的值．

【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝6，
∴点B（6，0），C（0，﹣3），
∵tan∠OCA＝＝，
∴OA＝2，即A（2，0），
将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；

（2）如图，

由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），
设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），
S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），
S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，
∴2（m+1）＝3|﹣m|，
解得m＝或m＝．
27．（7分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE＝EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，AE＝CE，
∵AE＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF，
∵∠F+∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF；

（2）图2：BE＝EF．…（1分）
图3：BE＝EF．…（1分）
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG＝AE，
∴BG＝CE，…（1分）
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
又∵∠BGE＝∠ECF＝120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE＝EF； …（1分）
图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG＝AE，
∴BG＝CE，…（1分）
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
又∵∠BGE＝∠ECF＝60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE＝EF． …（1分）

28．（7分）如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；

（2）证明：

∵EF∥AC，
∴＝，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA＝OC，
∴＝，
即＝，
∴AO∥DP，
∵AD∥CP，
∴四边形ACPD为平行四边形；

（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP＝AD＝BC，
∴＝，
∵AD∥BP，
∴＝＝，
∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，
∵DO＝BD＝，
∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴EF＝DE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．