人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算练习题

1.1  空间向量及其运算(精炼)

【题组一 概念的辨析】

1．(2020·辽宁沈阳.高二期末)在下列结论中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.

其中正确结论的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．

两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．

2(2019·全国高二)下列说法中正确的是(　　)

A．若，则，的长度相等，方向相同或相反

B．若向量是向量的相反向量，则

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形中，一定有

【答案】B

【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.

对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.

综上可知,正确的为B，故选:B

3．(2020·陕西新城.西安中学高二期末(理))给出下列命题：

①若空间向量满足，则；

②空间任意两个单位向量必相等；

③对于非零向量，由，则；

④在向量的数量积运算中.

其中假命题的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；

对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；

对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同

则和不相等，故④错误.故选：D.

4．(2019·长宁.上海市延安中学高二期中)给出以下结论：

①空间任意两个共起点的向量是共面的；

②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；

③空间向量的加法满足结合律：；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.

请将正确的说法题号填在横线上：__________.

【答案】①③④

【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，①正确；

②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；

③中，空间向量加法满足结合律，③正确；

④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.

故答案为：①③④

【题组二 空间向量的线性运算】

1．(2020·辽宁沈阳.高二期末)如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据向量的线性运算

所以选D

2．(2020·全国高二)在四面体中，点在上，且，为中点，则等于(    )

A．          B．

C．          D．

【答案】B

【解析】.故选：B

3(2020·山东章丘四中高二月考)如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由向量的加法和减法运算：.

故选：B

4．(2020·山东德州.高二期末)如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，，

，，，，，

，

故选：．

5．(2020·陕西王益.高二期末(理))如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是边的中点，；；

故选：．

6．(2019·江苏省苏州实验中学高二月考)平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

,.故选:C.

7．(2020·湖北黄石.高二期末)如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是(          )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

，，故选：

8．(2020·全国高二课时练习)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.

【答案】4

【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.

所以4个式子的运算结果都是.

故答案为：4.

9．(2020·江苏省如东高级中学高一月考)在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.

【答案】

【解析】在四面体中，、分别是、的中点，

则

.故答案为：.

10．(2020·全国高二课时练习)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　)

A．，－ B．－，－ C．－， D．，

【答案】A

【解析】由于，所以.故选：A

【题组三 空间向量的共面问题】

1．(2020·涟水县第一中学高二月考)是空间四点，有以下条件：

①；    ②；

③；    ④，

能使四点一定共面的条件是______

【答案】④

【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④

2．(2019·江苏海安高级中学高二期中(理))设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．

【答案】

【解析】因为四点共面，三点不共线，

所以

因为，

因为是任意一点，故可不共面，所以，

故.故答案为：1

3．(2020·全国高二课时练习)对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则(    )

A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面

C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面

【答案】B

【解析】因为，所以，

即，根据共面向量基本定理，可得，，共面，

所以，，，，四点共面．故选：B．

4．(2020·宁阳县第四中学高二期末)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则(    )

A．四点O，A，B，C必共面         B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面         D．五点O，P，A，B，C必共面

【答案】B

【解析】由已知得，而，四点、、、共面．

故选：．

5．(2020·四川阆中中学高二月考(理))为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点(   )

A．一定不共面 B．不一定共面

C．一定共面 D．无法判断

【答案】C

【解析】因为=，且，所以四点共面.

6．(2019·建瓯市第二中学高二月考)已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】若，

故可得

即，

则，

故

整理得

又因为共面，

故可得共面，而其它选项不符合，

即可得四点共面.

故选：B.

7．(2020·西夏.宁夏育才中学高二期末(理))已知为空间任意一点，若，则四点(   )

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断

【答案】B

【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．

，

而 故 四点共面，故选B

【题组四 空间向量的数量积】

1．(2020·山东新泰市第一中学高一期中)如图，平行六面体中，，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

,.故选：D

2．(2020·四川遂宁.高三三模(理))如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．

【答案】

【解析】平行六面体中，

，，，，，

，

．

．故答案为：．

3．(2020·全国高二课时练习)如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．

(1)用向量 ，，表示和．

(2)若四面体的所有棱长都等于1，求的值．

【答案】(1),(2).

【解析】(1)，

∴

(2)四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，

4.．(2020·全国高二课时练习)如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

(1)设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)；；(2).

【解析】

解：(1)，

又，

同理可得，

则．

(2)因为，

所以，

因为，

所以．

则异面直线与所成角的余弦值为．

5．(2020·全国高二课时练习)如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

【答案】

【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，

则，，

.

又，，

所以

而，

，

所以.

故答案为：.

6.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

图3­1­22

【答案】

【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，

所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.

∴||＝，即E，F间的距离为.

7.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

【答案】2

【解析】∵＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，

∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.