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《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练（1）2020-2021学年七年级数学北师大版下册（附答案）
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这是一份《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练（1）2020-2021学年七年级数学北师大版下册（附答案），共16页。试卷主要包含了若＝a5b3，则求m+n的值，先化简，再求值，计算，化简等内容，欢迎下载使用。
2021年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练1（附答案）
1．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）52021×（）2021＝ ；
（2）若3×9m×27m＝311，求m的值；
（3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是什么？（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么an＞bn）
2．若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．
3．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
4．若10m＝5，10b＝3，求102m+3b的值．
5．已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．
6．（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．
（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．
7．（1）计算：8+（﹣2）×22﹣（﹣3）；
（2）计算：（﹣3x3）2﹣（x2）3﹣2x2•x4；
（3）解方程：4x﹣3（2﹣4x）＝24；
8．先化简，再求值：
（1）已知：x+2y+1＝3，求3x×9y×3的值．
（2）已知：x2m＝3，y2n＝5，求（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn的值．
9．计算：
（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0﹣；
（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）
10．化简：（a+3）2﹣a（a+2）．
11．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．
12．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
13．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
14．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
15．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为 ；则x+y的值为 ；
（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为 ；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为 ；
（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
17．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
18．先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由
19．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，
∴t＝±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
20．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（1）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝ ；
（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．
21．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．
22．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
23．（25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m2）
24．观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
25．计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
26．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．
（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，用含x的式子表示发现的规律 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
27．（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y；
（2）计算：（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）；
（3）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（﹣x），其中（2x+1）2+|y﹣2|＝0．
28．已知3x2﹣x﹣1＝0．求代数式（x﹣2）2+5x（x+1）﹣3x的值．
29．（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
参考答案
1．解：（1）52021×（）2021＝，
故答案为1；
（2）∵3×9m×27m＝311，
∴3×32m×33m＝31+5m＝311，
∴1+5m＝11，
解得m＝2；
（3）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11＝3611，32＜36＜81＜125，
∴3211＜3611＜8111＜12511，
∴a＜d＜b＜c．
2．解：（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝am+1×a2n﹣1×bn+2×b2n
＝am+1+2n﹣1×bn+2+2n
＝am+2nb3n+2＝a5b3．
∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，
m+n＝．
3．解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
4．解：∵10m＝5，10b＝3，
∴102m+3b＝102m•103b，
＝（10m）2×（10b）3＝52×33，
＝675．
5．解：∵4×16m×64m＝421，
∴41+2m+3m＝421，
∴5m+1＝21，
∴m＝4，
∴（﹣m2）3÷（m3•m2）
＝﹣m6÷m5
＝﹣m
＝﹣4．
6．解：（1）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝311，
∴31+2m+3m＝311，
∴1+2m+3m＝11，
解得：m＝2；
（2）∵2a＝3，4b＝5，8c＝5，
∴2a＝3，4b＝22b＝5，8c＝23c＝5，
∴8a+c﹣2b＝23（a+c﹣2b）
＝23a×23c÷26b
＝（2a）3×23c÷（22b）3
＝33×5÷53
＝．
7．解：（1）8+（﹣2）×22﹣（﹣3）
＝8+（﹣2）×4﹣（﹣3）
＝8﹣8+3
＝3；
（2）（﹣3x3）2﹣（x2）3﹣2x2•x4
＝9x6﹣x6﹣2x6
＝6x6；
（3）去括号，得4x﹣6+12x＝24，
移项，得4x+12x＝24+6，
合并同类项，得16x＝30，
系数化为1，得x＝；
8．解：（1）x+2y+1＝3，
∴3x×9y×3
＝3x×32y×3
＝3x+2y+1
＝33
＝27；
（2）∵x2m＝3，y2n＝5，
∴（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn
＝（x2m）3+（y2n）3﹣x2my2n
＝33+53﹣3×5
＝27+125﹣15
＝137．
9．解：（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0﹣
＝﹣1﹣2
＝﹣；
（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）
＝x2﹣6x+9+x2﹣2x
＝2x2﹣8x+9．
10．解：原式＝a2+6a+9﹣a2﹣2a
＝4a+9．
11．解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；
B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；
（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）
＝﹣12a2+32a+150a﹣400
＝﹣12a2+182a﹣400，
当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400
＝﹣84．
12．解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝2y3．
13．解：∵a+b＝3，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝2，
∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
14．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）由题意得：CF＝20﹣x，CE＝12﹣x，
则长方形CEPF的面积为（20﹣x）（12﹣x）＝160平方单位．
阴影部分面积和为：（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，12﹣x＝b，
则（20﹣x）（12﹣x）＝ab＝160，
∵a﹣b＝（20﹣x）﹣（12﹣x）＝8，
∴（20﹣x）2+（12﹣x）2＝（a﹣b）2+2ab＝82+2×160＝384．
∴阴影部分面积和为384平方单位．
15．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
又∵x＞y＞0，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，
∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，
∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，
故答案为：5，17；
（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：
由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
（a﹣b）2+ab×4＝c2，
即a2+b2＝c2．
16．解：（1）∵a+b＝10，ab＝15，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×15
＝40；
（2）S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝
＝a2+b2﹣•（a+b）
＝
＝
＝100﹣30﹣
＝100﹣30﹣25
＝45．
17．解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．
∴a2+b2＝169，a+b＝＝17．
∴（a+b）2＝289．
∴a2+b2+2ab＝289．
∴ab＝＝60．
∴长方形B的面积是60．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
A的面积是a2，B的面积ab，C的面积b2．
∴x＝2，y＝5，z＝2．
∴x+y+z＝9．
故答案为9．
（3）当拿掉2张C，则：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2．
∴拼成的正方形边长为a+3b．
当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b2＝b（5a+11b）．
∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．
当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b2＝2b（3a+5b）．
∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．
故答案为：长方形，3a+5b，2b．
正方形，a+3b．
18．解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
x＝y＝﹣2．
∴y2＝（﹣2）2＝4；
（2）∵5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028
＝（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x+9）+2019
＝（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019．
∵（2x﹣3y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．
∴当2x﹣3y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝2时，代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028有最小值2019．
19．解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，
∴m2﹣9＝27，即m2＝36，∴m＝±6，
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设x2+3x＝y，则y2+2y﹣120＝0，
∴y1＝﹣12，y2＝10，
∵x为正整数，
∴y＝x2+3x＝10，
∴x1＝2，x2＝﹣5＜0（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
20．解：（1）观察各式，总结归纳可知：
原式＝xn﹣1；
故答案为：xn﹣1；
（2）当x＝2，n＝100时，代入公式得：
原式＝2100﹣1；
故答案为：2100﹣1；
（3）当x＝3，n＝51时，
（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝351﹣1，
∴350+349+348+…+32+3+1＝．
21．解：马老汉吃亏了．
∵a2﹣（a+5）（a﹣5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25，
∴与原来相比，马老汉的土地面积减少了25米2，
即马老汉吃亏了．
22．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
23．解：原式＝25m2÷（﹣5m2）+15m3n÷（﹣5m2）﹣20m4÷（﹣5m2）
＝﹣5﹣3mn+4m2．
24．解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
25．解：原式＝﹣8x6+4x6+5x6
＝x6．
26．解：（1）由图可得，
这一规律是：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100，
故答案为：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100；
（2）证明：设中间的数字为x，则左上角的数字为x﹣8，右上角的数字为x﹣6，左下角的数字是x﹣6，右下角的数字是x+8，
（x+8）（x﹣8）+（x+6）（x﹣6）﹣2x2
＝x2﹣64+x2﹣36﹣2x2
＝﹣100，
故（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100这一规律成立．
27．解：（1）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y
＝2x2﹣6xy+5xy﹣2x2
＝﹣xy；
（2）（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）
＝[（2x﹣1）﹣3y][（2x﹣1）+3y]
＝（2x﹣1）2﹣（3y）2
＝4x2﹣4x+1﹣9y2；
（3）[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（﹣x）
＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）•（﹣）
＝（﹣8x2+4xy）•（﹣）
＝16x﹣8y，
∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴2x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣，y＝2，
当x＝﹣，y＝2时，原式＝16×（﹣）﹣8×2＝﹣8﹣16＝﹣24．
28．解：原式＝x2﹣4x+4+5x2+5x﹣3x
＝6x2﹣2x+4，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1，
则原式＝2（3x2﹣x）+4
＝2×1+4
＝2+4
＝6．
29．解：（1）a＜c＜b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵＞，
∴（）11111＜（）11111＜（）11111，
∴a＜c＜b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
2021年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练1（附答案）
1．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）52021×（）2021＝ ；
（2）若3×9m×27m＝311，求m的值；
（3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是什么？（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么an＞bn）
2．若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．
3．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
4．若10m＝5，10b＝3，求102m+3b的值．
5．已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．
6．（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．
（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．
7．（1）计算：8+（﹣2）×22﹣（﹣3）；
（2）计算：（﹣3x3）2﹣（x2）3﹣2x2•x4；
（3）解方程：4x﹣3（2﹣4x）＝24；
8．先化简，再求值：
（1）已知：x+2y+1＝3，求3x×9y×3的值．
（2）已知：x2m＝3，y2n＝5，求（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn的值．
9．计算：
（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0﹣；
（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）
10．化简：（a+3）2﹣a（a+2）．
11．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．
12．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
13．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
14．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
15．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为 ；则x+y的值为 ；
（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为 ；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为 ；
（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
17．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
18．先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由
19．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，
∴t＝±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
20．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（1）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝ ；
（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．
21．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．
22．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
23．（25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m2）
24．观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
25．计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
26．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．
（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，用含x的式子表示发现的规律 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
27．（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y；
（2）计算：（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）；
（3）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（﹣x），其中（2x+1）2+|y﹣2|＝0．
28．已知3x2﹣x﹣1＝0．求代数式（x﹣2）2+5x（x+1）﹣3x的值．
29．（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
参考答案
1．解：（1）52021×（）2021＝，
故答案为1；
（2）∵3×9m×27m＝311，
∴3×32m×33m＝31+5m＝311，
∴1+5m＝11，
解得m＝2；
（3）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11＝3611，32＜36＜81＜125，
∴3211＜3611＜8111＜12511，
∴a＜d＜b＜c．
2．解：（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝am+1×a2n﹣1×bn+2×b2n
＝am+1+2n﹣1×bn+2+2n
＝am+2nb3n+2＝a5b3．
∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，
m+n＝．
3．解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
4．解：∵10m＝5，10b＝3，
∴102m+3b＝102m•103b，
＝（10m）2×（10b）3＝52×33，
＝675．
5．解：∵4×16m×64m＝421，
∴41+2m+3m＝421，
∴5m+1＝21，
∴m＝4，
∴（﹣m2）3÷（m3•m2）
＝﹣m6÷m5
＝﹣m
＝﹣4．
6．解：（1）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝311，
∴31+2m+3m＝311，
∴1+2m+3m＝11，
解得：m＝2；
（2）∵2a＝3，4b＝5，8c＝5，
∴2a＝3，4b＝22b＝5，8c＝23c＝5，
∴8a+c﹣2b＝23（a+c﹣2b）
＝23a×23c÷26b
＝（2a）3×23c÷（22b）3
＝33×5÷53
＝．
7．解：（1）8+（﹣2）×22﹣（﹣3）
＝8+（﹣2）×4﹣（﹣3）
＝8﹣8+3
＝3；
（2）（﹣3x3）2﹣（x2）3﹣2x2•x4
＝9x6﹣x6﹣2x6
＝6x6；
（3）去括号，得4x﹣6+12x＝24，
移项，得4x+12x＝24+6，
合并同类项，得16x＝30，
系数化为1，得x＝；
8．解：（1）x+2y+1＝3，
∴3x×9y×3
＝3x×32y×3
＝3x+2y+1
＝33
＝27；
（2）∵x2m＝3，y2n＝5，
∴（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn
＝（x2m）3+（y2n）3﹣x2my2n
＝33+53﹣3×5
＝27+125﹣15
＝137．
9．解：（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0﹣
＝﹣1﹣2
＝﹣；
（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）
＝x2﹣6x+9+x2﹣2x
＝2x2﹣8x+9．
10．解：原式＝a2+6a+9﹣a2﹣2a
＝4a+9．
11．解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；
B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；
（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）
＝﹣12a2+32a+150a﹣400
＝﹣12a2+182a﹣400，
当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400
＝﹣84．
12．解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝2y3．
13．解：∵a+b＝3，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝2，
∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
14．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）由题意得：CF＝20﹣x，CE＝12﹣x，
则长方形CEPF的面积为（20﹣x）（12﹣x）＝160平方单位．
阴影部分面积和为：（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，12﹣x＝b，
则（20﹣x）（12﹣x）＝ab＝160，
∵a﹣b＝（20﹣x）﹣（12﹣x）＝8，
∴（20﹣x）2+（12﹣x）2＝（a﹣b）2+2ab＝82+2×160＝384．
∴阴影部分面积和为384平方单位．
15．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
又∵x＞y＞0，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，
∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，
∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，
故答案为：5，17；
（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：
由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
（a﹣b）2+ab×4＝c2，
即a2+b2＝c2．
16．解：（1）∵a+b＝10，ab＝15，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×15
＝40；
（2）S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝
＝a2+b2﹣•（a+b）
＝
＝
＝100﹣30﹣
＝100﹣30﹣25
＝45．
17．解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．
∴a2+b2＝169，a+b＝＝17．
∴（a+b）2＝289．
∴a2+b2+2ab＝289．
∴ab＝＝60．
∴长方形B的面积是60．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
A的面积是a2，B的面积ab，C的面积b2．
∴x＝2，y＝5，z＝2．
∴x+y+z＝9．
故答案为9．
（3）当拿掉2张C，则：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2．
∴拼成的正方形边长为a+3b．
当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b2＝b（5a+11b）．
∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．
当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b2＝2b（3a+5b）．
∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．
故答案为：长方形，3a+5b，2b．
正方形，a+3b．
18．解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
x＝y＝﹣2．
∴y2＝（﹣2）2＝4；
（2）∵5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028
＝（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x+9）+2019
＝（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019．
∵（2x﹣3y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．
∴当2x﹣3y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝2时，代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028有最小值2019．
19．解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，
∴m2﹣9＝27，即m2＝36，∴m＝±6，
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设x2+3x＝y，则y2+2y﹣120＝0，
∴y1＝﹣12，y2＝10，
∵x为正整数，
∴y＝x2+3x＝10，
∴x1＝2，x2＝﹣5＜0（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
20．解：（1）观察各式，总结归纳可知：
原式＝xn﹣1；
故答案为：xn﹣1；
（2）当x＝2，n＝100时，代入公式得：
原式＝2100﹣1；
故答案为：2100﹣1；
（3）当x＝3，n＝51时，
（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝351﹣1，
∴350+349+348+…+32+3+1＝．
21．解：马老汉吃亏了．
∵a2﹣（a+5）（a﹣5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25，
∴与原来相比，马老汉的土地面积减少了25米2，
即马老汉吃亏了．
22．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
23．解：原式＝25m2÷（﹣5m2）+15m3n÷（﹣5m2）﹣20m4÷（﹣5m2）
＝﹣5﹣3mn+4m2．
24．解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
25．解：原式＝﹣8x6+4x6+5x6
＝x6．
26．解：（1）由图可得，
这一规律是：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100，
故答案为：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100；
（2）证明：设中间的数字为x，则左上角的数字为x﹣8，右上角的数字为x﹣6，左下角的数字是x﹣6，右下角的数字是x+8，
（x+8）（x﹣8）+（x+6）（x﹣6）﹣2x2
＝x2﹣64+x2﹣36﹣2x2
＝﹣100，
故（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100这一规律成立．
27．解：（1）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y
＝2x2﹣6xy+5xy﹣2x2
＝﹣xy；
（2）（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）
＝[（2x﹣1）﹣3y][（2x﹣1）+3y]
＝（2x﹣1）2﹣（3y）2
＝4x2﹣4x+1﹣9y2；
（3）[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（﹣x）
＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）•（﹣）
＝（﹣8x2+4xy）•（﹣）
＝16x﹣8y，
∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴2x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣，y＝2，
当x＝﹣，y＝2时，原式＝16×（﹣）﹣8×2＝﹣8﹣16＝﹣24．
28．解：原式＝x2﹣4x+4+5x2+5x﹣3x
＝6x2﹣2x+4，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1，
则原式＝2（3x2﹣x）+4
＝2×1+4
＝2+4
＝6．
29．解：（1）a＜c＜b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵＞，
∴（）11111＜（）11111＜（）11111，
∴a＜c＜b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
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