《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练（2） 2020-2021学年北师大版七年级数学下册（附答案）

这是一份《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练（2） 2020-2021学年北师大版七年级数学下册（附答案），共14页。试卷主要包含了如果ac＝b，那么我们规定＝3，若x＝2m+2，y＝3+4m，尝试解决下列有关幂的问题，已知3m＝2，3n＝5，计算，解方程等内容，欢迎下载使用。

2021年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》期末复习培优提升训练2（附答案）
1．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　 　，（4，1）＝　 　（2，0.25）＝　 　；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
2．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝　 　；log216＝　 　；log264＝　 　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
3．若x＝2m+2，y＝3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x＝3，求此时y的值．
4．比较3555，4444，5333的大小．
5．尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若9×27x＝317，求x的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．
6．已知3m＝2，3n＝5．
（1）求3m+n的值；
（2）32m﹣n的值．
7．（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2．
8．计算
（1）（﹣1）2021+（）﹣2+（3.14﹣π）0
（2）（﹣2x2）3+4x3•x3．
9．解方程：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15．
10．计算：
（1）a（a﹣b）+ab；
（2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．
11．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值
12．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　 　）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
13．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣　 　＝（x﹣）2+　 　
（2）若a+＝5，则a2+＝　 　；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
14．已知a+b＝5，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2； （2）（a﹣b）2．
15．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为：　 　．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a﹣b＝﹣4，ab＝时，（a+b）2＝　 　．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣500）（400﹣2x）＝2020时，求（4x﹣900）2的值．

16．问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为　 　或　 　，这就验证了乘法公式　 　（用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝33＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝　 　．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝　 　．

17．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　 　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　 　；
（3）解方程：＝6x2+7．
18．请你说明：m（m+1）（m+2）（m+3）+1是一个完全平方式．
19．有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算（x﹣y）3；
（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．
20．用简便方法计算：
（1）1002﹣200×99+992
（2）2020×2022﹣20212
21．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　 　证明上述速算方法的正确性．
22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

23．已知一个多项式除以多项式a2+4a﹣3，所得商式是2a+1，余式为2a+8，求这个多项式．
24．一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：（x3+ax2+1）÷（x+1）＝x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值．
25．计算：
（1）b2•bm•bm﹣1；
（2）（﹣3a6）2+（﹣2a3）3•a3．
26．阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，
得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1
即S＝22014一1，
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+3100
（2）1++…+．
27．先化简再求值：（x﹣1）（x﹣2）﹣3x（x+3）+2（x+2）2，其中x＝﹣．
28．先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）+（x﹣2）2﹣3x（x﹣1），其中x＝2．
29．阅读材料：
（1）1的任何次幂都为1；
（2）﹣1的奇数次幂为﹣1；
（3）﹣1的偶数次幂为1；
（4）任何不等于零的数的零次幂为1．
请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2022的值为1．








参考答案
1．解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
2．解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，
故答案为：2；4；6；
（2）∵4×16＝64，
∴log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝logaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵＝m，＝n，
＝m+n，
∴+＝，
∴+＝logaMN．
3．解：（1）∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m+2，
∴2m＝x﹣2，
∵y＝4m+3，
∴y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7；
（2）把x＝3代入y＝x2﹣4x+7＝4．
4．解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，
4444＝44×111＝（44）111＝256111，
5333＝53×111＝（53）111＝125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
5．解：（1）∵9×27x＝317，
∴33x+2＝317，
∴3x+2＝17，
∴x＝5；
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x﹣2y＝（a3x）÷（a2y）＝（ax）3÷（ay）2＝（﹣2）3÷32＝﹣8÷9＝﹣；
（3）令5m＝t，则25m＝（52）m＝（5m）2＝t2，
∴x＝×25m+×5m+＝，y＝，
∴y﹣x＝＝＞0，
∴x＜y．
6．解：（1）∵3m＝2，3n＝5，
∴3m+n＝3m•3n＝2×5＝10；
（2）∵3m＝2，3n＝5，
∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝22÷5＝．
7．解：（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2
＝4y6﹣64y6﹣4y2•（9y4）＝4y6﹣64y6﹣36y6＝﹣96y6．
8．解：（1）（﹣1）2021+（）﹣2+（3.14﹣π）0＝﹣1+4+1 ＝4；
（2）（﹣2x2）3+4x3•x3＝﹣8x6+4x6＝﹣4x6．
9．解：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15
2x2﹣2x﹣2x2﹣3x＝15，
整理得：﹣5x＝15，
解得：x＝﹣3．
10．解：1）a（a﹣b）+ab＝a2﹣ab+ab＝a2；
2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）＝2a2﹣6﹣2a2+1＝﹣5．
11．解：原式＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵不含x2项和常数项，
∴2a﹣1＝0，﹣12﹣b＝0，
∴a＝，b＝﹣12．
12．解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
13．解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
14．解：（1）∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21；
（2））∵a+b＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×2＝17．
15．解：（1）根据图形面积可得：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
故答案为：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+4×＝16+2＝18，
故答案为：18；
（3）设A＝2x﹣500，B＝400﹣2x 则A﹣B＝4x﹣900，A+B＝﹣100．
所以（4x﹣900）2＝（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝（﹣100）2﹣4x2020
＝10000﹣8080＝1920．
16．解：（1）大正方形的边长为（a+b），所以面积可以表示为：（a+b）2，
也可以用两个矩形和两个正方形的面积的和来表示，即a2+2ab+b2，
根据面积相等得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H、E与F和可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62＝36．
故答案为：36．
（3）根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
依据规律得：13+23+33+...+103＝（1+2+3+...+10）2＝552＝3025．
故答案为：3025．

17．解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]＝﹣6÷4＝﹣．
故答案为：﹣；

（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；

（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
18．解：原式＝[m（m+3）][（m+1）（m+2）]+1＝（m2+3m）（m2+3m+2）+1
＝（m2+3m）2+2（m2+3m）+1＝[（m2+3m）+1]2．
19．解：（1）当x＝5，y＝2时，
（x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3，53﹣23＝117，
∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立．
（2）（x﹣y）3
＝（x﹣y）（x﹣y）2
＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3
＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3；
（3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，
∴当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，
∴﹣3xy（x﹣y）＝0，
∴x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
20．解：（1）1002﹣200×99+992
＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；
（2）2020×2022﹣20212＝（2021﹣1）（2021+1）﹣20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．
21．解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：

拓展应用：
（1）①几何模型：

②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
22．解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．
23．解：（a2+4a﹣3）（2a+1）+（2a+8）
＝2a3+8a2﹣6a+a2+4a﹣3+2a+8
＝2a3+9a2+5．
24．解：∵x3+ax2+1＝（x+1）•（x2﹣bx+1）＝x3+（1﹣b）•x2+（1﹣b）•x+1，
∴a＝1﹣b，1﹣b＝0
解得：a＝0，b＝1．
25．解：（1）b2•bm•bm﹣1＝b2+m+m﹣1＝b2m+1．
（2）（﹣3a6）2+（﹣2a3）3•a3＝9a12﹣8a12＝a12．
26．解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，
两边乘以3得：3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，
将下式减去上式，得3S﹣S＝3101﹣1
即S＝，
即1+3+32+33+34+…+3100＝
（2）设S＝1++++…+，
两边乘以得：S＝++…+，
将下式减去上式得：﹣S＝﹣1，
解得：S＝2﹣，
即1++++…+＝2﹣．
27．解：原式＝x2﹣3x+2﹣3x2﹣9x+2x2+8x+8＝﹣4x+10，
当x＝﹣时，原式＝2+10＝12．
28．解：（2x+3）（2x﹣3）+（x﹣2）2﹣3x（1﹣x）
＝4x2﹣9+x2﹣4x+4+3x﹣3x2
＝2x2﹣x﹣5，
当x＝2时，原式＝2×22﹣2﹣5＝1．
29．解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1，此时x+2022＝2021，则（2x+3）x+2022＝12021＝1，所以x＝﹣1符合题意．
②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2022＝2020，则（2x+3）x+2022＝（﹣1）2020＝1，所以x＝﹣2符合题意．
③当x+2022＝0时，x＝﹣2022，此时2x+3＝﹣4041，则（2x+3）x+2022＝（﹣4041）0＝1，所以x＝﹣2022符合题意．
综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2022时，代数式（2x+3）x+2022的值为1．