2017年高考文科数学全国卷1含答案

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

考生注意：

1．答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（　　）

A.      B.

C.      D.

2.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：）分别为，，……，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A.，，……，的平均数    B.，，……，的标准差

C.，，……，的最大值    D.，，……，的中位数

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）

A.   B.   C.   D.

4.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A．   B.    C.    D.

5.已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，△的面积为（　　）

A.   B.    C.    D.

6.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（　　）

   A.    B.

   C.     D.

7.设，满足约束条件则的最大值为（　　）

A.0 B.1 C.2     D.3

8.函数的部分图像大致为（　　）

  A.      B.

  C.  D.

9.已知函数，则（　　）

A.在单调递增   B.在单调递减

C.的图像关于直线对称   D.的图像关于点对称

10.下面程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（　　）

A.和  B.和

C.和       D.和

11.△的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（　　）

A.    B.    C.    D.

12.设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（　　）

A.       B.

C.       D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，.若向量与垂直，则________.

14.曲线在点处的切线方程为______________.

15.已知，，则__________.

16.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

记为等比数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求，并判断，，是否成等差数列.

18.（12分）

如图，在四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.

19.（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 ，从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.

（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）

附：样本的相关系数，.

20.（12分）

设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4.

（1）求直线的斜率；

（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程.

21.（12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）.

（1）若，求与的交点坐标；

（2）若上的点到距离的最大值为，求.

23.[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案解析

一、选择题

1．【答案】A

【解析】由得，所以，选A.

2.【答案】B

【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B

3.【答案】C

【解析】由为纯虚数，选C.

4.【答案】B

【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，

则黑色部分的面积，则对应概率，故选B.

5.【答案】D

【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又的坐标是，故的面积为，选D.

6.【答案】A

【解析】由，，则直线平面；由，，则直线平面；由，，则直线平面.故A不满足，选A.

7.【答案】D

【解析】如图，目标函数经过时最大，故，故选D.

8.【答案】C

【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A，故选C.

9.【答案】C

【解答】解：函数，

，即，

即的图象关于直线对称，故选：C．

10.【答案】D

【解析】由题意选择，则判定框内填，由因为选择偶数，所以矩形框内填，故选D.

11.【答案】B

【解析】由题意得

，

即，所以.

由正弦定理得，即，得，故选B.

12.【答案】A

【解析】当，焦点在轴上，要使上存在点满足，则，即，得；当，焦点在轴上，要使上存在点满足，则，即，得，故的取值范围为，选A.

二、填空题

13.【答案】7

【解析】由题得，

因为，

所以

解得

14.【答案】

【解析】设

则

所以

所以在处的切线方程为，即.

15.【答案】

【解析】，，

，

，

解得，，

，

故答案为：

16.【答案】

【解析】取的中点，连接

因为

所以

因为平面平面

所以平面

设

所以

所以球的表面积为

三、解答题

17.【答案】（1）

（2），，成等差数列.

【解析】（1）设等比数列首项为，公比为，则，

则，，

由，，整理得，

解得：，

则，.

（2）由（1）可知：，

则，，

由

，

即

所以，，成等差数列.

18.【答案】（1），

，，

（2）

【解析】（1）见答案

（2）由（1）知，

，.

取中点，

所以，，

，，，

19.【答案】（1）

（2）（i）需要对当天的生产过程进行检查.

（ii）均值为10.02，标准差约为0.09.

【解析】（1）

因为，所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i），

所以合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第13号零件尺寸不在此范围之内，

因此需要对当天的生产过程进行检查．

（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为，

.

20.【答案】（1）1

（2）

【解析】（1）设，

则

（2）设，则C在M处的切线斜率

，则，

又，

即

又设：，代入

得

，

故：

21.【答案】（1）当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

（2）.

【解析】（1），

，

①当时，恒成立，

在上单调递增.

②当时，，令，解得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

③当时，，令，解得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

（2）①当时，恒成立，

②当时，由（1）可得，

，

.

③当时，由（1）可得：，

，

，

综上所述的取值范围为.

22.【答案】（1）和

（2）或

【解析】（1）当时，（为参数），

消参后的方程为，

曲线消参后为，与直线联立方程

解得或

椭圆和直线的交点为和.

（2）的普通方程为，

设曲线上任一点为，

由点到直线的距离公式，，

，，

，

当时最大，即时，，

当时最大，即时，，

综上：或.

23.【答案】（1）.

（2）的取值范围是.

【解析】（1）当时，，是开口向下，对称轴为的二次函数，

当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时的解集为；

当时，，．

当时，单调递减，单调递增，且．

综上所述，的解集为；

（2）依题意得：在恒成立，即在恒成立，

则只需解得，

故的取值范围是．