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2017年高考文科数学江苏卷含答案
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
参考公式:
柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.
球的体积,其中是球的半径.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合,.若,则实数的值为________.
2.已知复数,其中是虚数单位,则的模是________.
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
4.右图是一个算法流程图.若输入的值为,则输出的值是________.
(第4题)
5.若,则=________.
6.如图,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为,球O的体积为,则的值是________.
(第6题)
7.记函数的定义域为.在区间上随机取一个数x,则的概率是________.
8.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,,则四边形的面积是________.
9.等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则________.
10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则的值是________.
11.已知函数,其中是自然对数的底数.若,则实数的取值范围是________.
12.如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且,与的夹角为45°.若(),则6________.
(第12题)
13.在平面直角坐标系中,,,点在圆:上.若·,则点的横坐标的取值范围是________.
14.设是定义在上且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是________.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,,,,点、(与,不重合)分别在棱,上,且.
求证:(1);
(2).
(第15题)
16.(本小题满分14分)
已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.
(第17题)
18.(本小题满分16分)
如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 ,容器Ⅰ的底面对角线的长为 ,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14 和62 .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 .现有一根玻璃棒,其长度为40 .(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.
(第18题)
19.(本小题满分16分)
对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.
20.(本小题满分16分)
已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:;
(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学答案解析
一、填空题。
1.【答案】1
【解析】因为,所以由得,即实数的值为1.
2.【答案】
【解析】通解:复数,则.
优解:.
3.【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取(件).
4.【答案】
【解析】由流程图可得所以当输入的值为时,.
5.【答案】
【解析】.
6.【答案】
【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为、高为,所以.
7.【答案】
【解析】由,解得,则,则所求概率为.
8.【答案】
【解析】由题意得,双曲线的右准线与两条渐近线的交点坐标为,不妨碍双曲线的左,右焦点分别为,,则,,故四边形的面积是.
9.【答案】32
【解析】设等比数列的公比为,则得,则,,解得,则.
10.【答案】30
【解析】一年购买次,则总运费与总存储费用之和为,当仅当时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时的值是30.
11.【答案】
【解析】由,得,所以是上的奇函数,又,当且仅当时取等号,所以在其定义域内单调递增,所以不等式,解得,故实数的取值范围是.
12.【答案】3
【解析】通解:以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则.由,,得,,设,,则,,即.又,,则,,即,由,可得解得所以.
优解:由,得,,则.,,,由,得,即①,同理可得,即②,联立①②,解得所以.
13.【答案】
【解析】设,,又,所以,所以点在直线的上方(包括直线上),又点在圆上,由解得或,结合图象(图略),可得,故点的横坐标的取值范围是.
14.【答案】8
【解析】由于,因此只需要考虑的情况,在此范围内,且时,设且互质,若,则由,可设且互质,因此,则,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此,故不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期内部分的交点.画出函数草图(如图),图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程的解的个数为8.
二.解答题。
15.【答案】证明:(1)在平面内,因为,,所以.
又因为平面,平面,所以.
(2)因为,
,
,,
所以.
因为平面,所以.
又,,平面,平面,
所以,
又因为,
所以.
16.【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为,,,
所以.
若,则,与矛盾,故.
于是.
又,所以.
(2).
因为,所以,
从而.
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值.
17.【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设椭圆的半焦距为.
因为椭圆的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,,
解得,于是,
因此椭圆的标准方程是.
(2)由(1)知,,.
设,因为点为第一象限的点,故.
当时,与相交于,与题设不符.
当时,直线的斜率为,直线的斜率为.
因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,
从而直线的方程:,①
直线的方程:.②
由①②,解得,所以.
因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.
又在椭圆上,故.
由,解得;,无解.
因此点的坐标为.
18.【答案】(1)16
(2)20
【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面,.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
因为,
所以,从而,
记与水面的焦点为,过作,为垂足,
则,故,
从而.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为16.
(如果将没入水中部分冶理解为水面以上部分冶,则结果为24)
(2)如图,是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,,所以,.
同理,,.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
过作,为垂足,则.
因为,,
所以,从而.
设则.
因为,所以.
在中,由正弦定理可得,解得.
因为,所以.
于是.
记与水面的交点为,过作,为垂足,则,故,从而.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为20.
(如果将没入水中部分冶理解为水面以上部分冶,则结果为20)
19.【答案】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,
从而,当时,
,
所以,
因此等差数列是“数列”.
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,.②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
20.【答案】(1)由,得.
当时,有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以,又,故.
因为有极值,故有实根,从而,即.
时,,故在R上是增函数,没有极值;
时,有两个相异的实根,.
列表如下
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
故的极值点是.
从而,
因此,定义域为.
(2)由(1)知,.
设,则.
当时,,从而在上单调递增.
因为,所以,故,即.
因此.
(3)由(1)知,的极值点是,且,.
从而
记,所有极值之和为,
因为的极值为,所以,.
因为,于是在上单调递减.
因为,于是,故.
因此的取值范围为.
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