高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换同步测试题

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1．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs α＝eq \f(4,5)，则taneq \f(α,2)＝( )
A．3 B．－3
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选D 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且cs α＝eq \f(4,5)，所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，taneq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝－ eq \r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq \f(1,3).
2．若sin(π－α)＝－eq \f(\r(5),3)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))等于( )
A．－eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),6)
C.eq \f(\r(6),6) D.eq \f(\r(6),3)
解析：选B 由题意知sin α＝－eq \f(\r(5),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以cs α＝－eq \f(2,3).
因为eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))＝cs eq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋cs α,2))
＝－eq \f(\r(6),6).故选B.
3．设a＝eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b＝2sin 13°cs 13°，c＝eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则有( )
A．cC．a解析：选C a＝eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°cs 13°＝sin 26°，
c＝ eq \r(\f(1－cs 50°,2))＝eq \f(\r(2),2)eq \r(1－sin 40°)＝eq \f(\r(2),2)(cs 20°－sin 20°)＝sin 25°，
y＝sin x，x∈(0°，90°)函数是增函数，所以a4．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A. eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))
B.eq \f(sin α,1＋cs α)
C. eq \r(\f(1＋cs（π＋2α）,2))·eq \f(1,cs α)(α∈(0，π))
D.eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
解析：选CD A不符合， eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))＝eq \r(\f(2sin2α,2cs2α))
＝ eq \r(tan2α)＝|tan α|；
B不符合，eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2\f(α,2))＝tan eq \f(α,2)；
C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝ eq \r(\f(1－cs 2α,2))·eq \f(1,cs α)＝eq \f(sin α,cs α)＝tan α；
D符合，eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcs α)＝tan α.
5．若eq \f(π,2)<θ<π，则eq \r(1－sin θ)－eq \r(\f(1,2)（1－cs θ）)＝( )
A．2sin eq \f(θ,2)－cs eq \f(θ,2) B．cs eq \f(θ,2)－2sin eq \f(θ,2)
C．cs eq \f(θ,2) D．－cs eq \f(θ,2)
解析：选D ∵eq \f(π,2)<θ<π，∴eq \f(π,4)∴sin eq \f(θ,2)>cs eq \f(θ,2)>0.
∵1－sin θ＝sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)－2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))eq \s\up12(2)，eq \f(1,2)(1－cs θ)＝sin2eq \f(θ,2)，
∴eq \r(1－sin θ)－ eq \r(\f(1,2)（1－cs θ）)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))\s\up12(2))－ eq \r(sin2\f(θ,2))
＝sin eq \f(θ,2)－cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＝－cs eq \f(θ,2).
6．求值sin eq \f(π,8)＝________．
解析：sin eq \f(π,8)＝ eq \r(\f(1－cs \f(π,4),2))＝eq \r(\f(1－\f(\r(2),2),2))＝eq \f(\r(2－\r(2)),2) .
答案：eq \f(\r(2－\r(2)),2)
7．化简：eq \f(sin 2α－2cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝________．
解析：原式＝eq \f(2sin αcs α－2cs2α,\f(\r(2),2)（sin α－cs α）)＝2eq \r(2)cs α.
答案：2eq \r(2)cs α
8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形，如图．若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16，则cs(α－β)＝________．
解析：设大正方形的边长为4，依题意得小正方形的边长为3.
因此4cs α－4sin α＝3⇒cs α－sin α＝eq \f(3,4)，①
4sin β－4cs β＝3⇒sin β－cs β＝eq \f(3,4).②
①×②，得sin βcs α－sin βsin α－cs αcs β＋sin αcs β＝eq \f(9,16).
又sin α＝cs β，cs α＝sin β，
∴sin2β－(cs αcs β＋sin αsin β)＋cs2β＝eq \f(9,16)，
∴cs(α－β)＝1－eq \f(9,16)＝eq \f(7,16).
答案：eq \f(7,16)
9．求证：eq \f(1＋sin x,cs x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(x,2))).
证明：左边＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)＋sin \f(x,2)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)＋sin \f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)－sin \f(x,2))))
＝eq \f(cs \f(x,2)＋sin \f(x,2),cs \f(x,2)－sin \f(x,2))＝eq \f(1＋tan \f(x,2),1－tan \f(x,2))＝eq \f(tan \f(π,4)＋tan \f(x,2),1－tan \f(π,4)tan \f(x,2))
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(x,2)))＝右边．所以原等式成立．
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，求cs eq \f(α－β,2)与tan eq \f(α－β,2)的值．
解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，
所以cs α＝－eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(5,13).
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－eq \f(3,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(33,65).
因为eq \f(π,2)<α<π，且0<β法一：由0<α－β<π可得，0所以cs eq \f(α－β,2)＝ eq \r(\f(1＋cs（α－β）,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq \f(7\r(65),65)，
sin eq \f(α－β,2)＝ eq \r(1－cs2 \f(α－β,2))＝eq \f(4\r(65),65).
所以tan eq \f(α－β,2)＝eq \f(sin \f(α－β,2),cs \f(α－β,2))＝eq \f(4,7).
法二：同法一，求得cs eq \f(α－β,2)＝eq \f(7\r(65),65).
由0<α－β<π，cs(α－β)＝eq \f(33,65)，得
sin(α－β)＝ eq \r(1－cs2（α－β）)＝eq \f(56,65).
所以tan eq \f(α－β,2)＝eq \f(sin（α－β）,1＋cs（α－β）)＝eq \f(\f(56,65),1＋\f(33,65))＝eq \f(4,7).
[B级 综合运用]
11．(多选)已知函数f(x)＝cs 2x－2eq \r(3)sin xcs x，则下列结论中正确的是( )
A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立
B．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(5π,12)对称
解析：选AC 易知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))，∴f(x)的最小正周期T＝π，A正确；令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(5π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(2π,3)＋kπ≤x≤－eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋kπ，－\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋eq \f(5π,6)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(5π,12)(k∈Z)，当k＝1时，x＝eq \f(π,12)，C正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5π,12)＋\f(5π,6)))＝－eq \r(3)≠±2，D错误．故选A、C.
12.如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
解析：选C 连接ON(图略)，设∠BON＝θ，则矩形面积S＝5sin θ×2×5cs θ＝50sin θcs θ＝25sin 2θ，
∴当sin 2θ＝1时，
S取得最大值25，故Smax＝25.
13．设α为第四象限角，且eq \f(sin 3α,sin α)＝eq \f(13,5)，则tan 2α＝________．
解析：eq \f(sin 3α,sin α)＝eq \f(sin（2α＋α）,sin α)
＝eq \f(cs 2αsin α＋2cs2αsin α,sin α)＝2cs 2α＋1＝eq \f(13,5)，
所以cs 2α＝eq \f(4,5)，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－eq \f(3,5)，tan 2α＝－eq \f(3,4).
答案：－eq \f(3,4)
14．已知函数f(x)＝sin2x＋asin xcs x－cs2x，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
(1)求常数a的值及f(x)的最小值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求f(x)的单调增区间．
解：(1)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1，
∴sin2eq \f(π,4)＋asineq \f(π,4)cseq \f(π,4)－cs2eq \f(π,4)＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x＋2sin xcs x－cs2x＝sin 2x－cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
当2x－eq \f(π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
即x＝kπ－eq \f(π,8)(k∈Z)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))有最小值－1，则f(x)的最小值为－eq \r(2).
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
整理得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)(k∈Z)．
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴0≤x≤eq \f(3π,8).
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,8))).
[C级 拓展探究]
15．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取eq \r(2)＝1.414)
解：(1)由题意，可知点M为eq \(PQ,\s\up8(︵))的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcs θ，
所以AB＝OF－eq \f(1,2)AD＝Rcs θ－Rsin θ，
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcs θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcs θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cs 2θ)＝eq \r(2)R2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))－R2，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(2)因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以2θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,8)时，S有最大值．
Smax＝(eq \r(2)－1)R2＝(eq \r(2)－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2)．
故当θ＝eq \f(π,8)时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.