2021届海南省海南中学高三上学期数学第五次月考试题答案

2021届海南省海南中学高三上学期数学第五次月考试题答案

满分 150 分，考试时间 120 分钟.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.    14. ①②③    15.     16.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）设全集是，集合，．

（1）若，求；

（2）问题：已知______，求实数的取值范围．

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都作答按第一个计分）

①； ②； ③.

解析：（1）解不等式得或，

所以．

若，则.

所以=．………………………………………………………5分

（2）选①：，则．

当时，则有，即；

当时，则有或，此时两不等式组均无解．

综上所述，实数的取值范围是．……………………………………10分

选②：，由于，则有，解得．

故实数的取值范围是．…………………………………………………10分

选③：，由于，所以

当时，则有，即；

当时，则有解得．

综上所述，所求实数的取值范围是．…………………………………10分

18.（本小题满分12分）在矩形中，将沿其对角线折起来得到四面体，且平面平面.

（1）证明：；

（2）若，，求折起后三棱锥的表面积、体积.

解析：（1）平面平面，平面平面，平面，，…………………………………………………………………………2分

又平面，.…………………………………………………4分

，平面，且，

平面.

，

∴………………………………………………………6分

（2）由（1）知：平面，又平面，.

所以，，，都是直角三角形.

在中，，，.

……………………………10分

.…………………………………………12分

19．（本小题满分12分）已知.

（1）若，求的值；

（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围.

解析：（1）

………………………………………2分

由，所以

故………6分

（2）由，可得

即

,由，则

所以，由所以……………………………………………8分

为锐角，则 ,即，解得

,则………………………………………10分

，所以

所以的取值范围是………………………………………………12分

20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等差数列，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：

解析：（1）设数列的公差为，则……………2分

解得. …………………………………………………………4分

所以.   ………………………………………………………… 6分

（2）由（1）知，故.……………………………… 8分

<…………………………………………… 10分

<

故.  …………………………………………… 12分

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.

（1）若为棱的中点，求证：；

（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

解析：（1）证明：取PA的中点F，连AF、FD

E为PB的中点

所以四边形CDFE为平行四边形……………………………………………………2分

∴

又，，

故……………………………………………………………4分

（2）以为坐标原点，以，，所在射线，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则.

设，则.

∵在棱上，∴可设（）.

故，解得，

即.………………………………………………………………………………6分

设平面的法向量为，

，

∴ ，即，即.

取，则.……………………………………………………………8分

设平面的法向量，

，

∴ ，即，即.

取则，故.

因为二面角的余弦值为，

所以，即，即.

又，解得.

∴,.…………………………………………………………10分

因为轴平面，所以平面的一个法向量为.

设与平面所成角为，

则.

故与平面所成角的正弦值为.………………………………………12分

22.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）证明：当时，；

（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

解析：（1）由题意可知，的定义域为，且.

，，

．…………………………………………………………………………4分

（2），

设，则.

由知在上单调递增，

∴当时，，在上单调递增，

故当时，．

∴．………………………………………………………………………8分

（3）设，则.

.

由（2）中知，.

∴.

①当即时，，所以在单调递增.

∴当时，成立．

②当即时，，.

令，得.

由于在上单调递增，

所以当时，恒成立，故在上单调递减.

因此，当时，有.

所以在上单调递减.

所以当时，有.

因此，不成立．

综上所述：实数的取值范围是．…………………………………………12分

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org