海南省洋浦中学2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份海南省洋浦中学2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则集合( )
A.B.C.D.
2．已知复数（i是虚数单位）,则( )
A.B.C.D.1
3．已知等差数列满足,,等比数列满足,,则( )
A.32B.64C.128D.256
4．下列说法中错误的是( )
A.回归直线恒过样本点的中心
B.两个变量线性相关性越强,则相关系数就越接近1
C.在线性回归方程中,当变量x每增加一个单位时,平均减少0.5个单位
D.某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的方差不变
5．某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F的6名教师,到4个不同的学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,其中B,D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有( )
A.96种B.144种C.240种D.384种
6．向量,,,若,则( )
A.0B.-2C.8D.-10
7．对如下编号为1,2,3,4的格子涂色,有红,黑,白,灰四种颜色可供选择,要求相邻格子不同色,则在1号格子涂灰色的条件下,4号格子也涂灰色的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知实数a,b,c满足,,则的最小值是( )
A.B.C.D.1
二、多项选择题
9．已知函数为R上的奇函数,为偶函数,下列说法正确的有( )
A.图象关于直线对称B.
C.的最小正周期为4D.对任意都有
10．函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位,再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.是的一个对称中心
11．已知某地区中小学生人数如图①所示,为了解该地区中小学生的近视情况,卫生部门根据当地中小学生人数,用分层抽样的方法抽取了的学生进行视力调查,调查数据如图②所示,下列说法正确的有( )
A.该地区的中小学生中,高中生占比为
B.抽取调查的高中生人数为200人
C.该地区近视的中小学生中,高中生占比超过
D.从该地区的中小学生中任取名学生,记近视人数为,则的数学期望约为0.81
12．如图,在矩形AEFC中,,,B为EF中点,现分别沿AB、BC将、翻折,使点E、F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥,则( )
A.三棱锥的体积为
B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D.三棱锥外接球的半径为
三、填空题
13．的展开式中含项的系数为___________.
14．若函数在上有最大值,则a的取值范围是__________.
15．已知F是抛物线的焦点,直线l与抛物线C交于A,B两点,与准线相交于点P,且点A为PB的中点,求______________.
16．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法,素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4,高为的正四棱柱构成（图2）,则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发,沿表面到达点D的最短路线长为_____________.

四、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
（1）求的大小;
（2）若,求面积S的最大值.
18．已知数列满足：,.
（1）求,,的值.
（2）求证：数列是等比数列.
（3）令,如果对任意,都有,求实数t的取值范围.
19．为指导高一新生积极参加体育锻炼,某高中在新生中随机抽取了400名学生,利用一周时间对他们的各项运动指标（高中年龄段指标）进行考查,得到综合指标评分.综合指标评分结果分为两类：60分及以上为运动达标,60分以下为运动不达标.统计结果如下：
(1)完成列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”;
(2)现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人,再从这7人中任选4人进行运动示范指导,设抽取的4人中女生的人数为,当时,取得最大值,求的值.
参考公式：.
参考数据：
20．如图,在多面体中,平面平面DEFG,底面ABC是等腰直角三角形,,侧面ACGD是正方形,平面ABC,且,.
(1)证明：.
(2)若O是DG的中点,平面BCGF,求直线OE与平面BDG所成角的正弦值.
21．设椭圆的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.
（1）当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
（2）设O为坐标原点,证明：.
22．已知函数.
（1）当时,讨论的单调性;
（2）若有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,
所以,
故选：B.
3．答案：B
解析：由,可知数列,,所以,故,.故选B.
4．答案：D
解析：对于A,回归直线恒过样本点的中心,正确;
对于B,两个变量线性相关性越强,则相关系数就越接近1,正确;
对于C,根据回归系数的含义,线性回归方程,
当变量x每增加一个单位时,平均减少0.5个单位,正确;
对于D,根据平均数的计算公式得,
由方差公式可得,,故错误;
故选：D.
5．答案：C
解析：将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校.若教师人数依次为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为：种;
若教师人数依次为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为：种,
故不同的安排方法共有种.
故选：C.
6．答案：D
解析：由条件,可知,
若,则,得.
故选：D.
7．答案：A
解析：由题意可知,整个事件需要分四步,按照格子标号依次涂色即可;
若在1号格子涂灰色,则2号格子还有3种选色方案,同时3号格子也有3种选色方案,4号格子还剩2种选色方案,
即1号格子涂灰色的方案总数为种;
若1号格子和4号格子同时涂灰色,则2号格子还有3种选色方案,3号格子还有2种选色方案,
即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为种;
所以,在1号格子涂灰色的条件下,4号格子也涂灰色的概率是.
故选：A.
8．答案：B
解析：由,可得,,
由可得
所以,
由可得
即,解得,
所以
,
令,
,
由可得,
由可得或,
,,
,,
所以的最小值为,即的最小值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由的对称中心为,对称轴为,
则也关于直线对称且,A、D正确,
由A分析知：,故,
所以,
所以的周期为4,则,B正确;
但不能说明最小正周期为4,C错误;
故选：ABD
10．答案：ACD
解析：由图可知函数得周期,
所以,故A正确;
则,
又,所以,
所以,则,
又,所以,故B错误;
则,
将的图象向左平移个单位,得,
再将横坐标扩大为原来的2倍得,
,
则,故C正确;
因为,
所以是的一个对称中心,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项,由图①可知,该地区的中小学生中,高中生占比为,A对;
对于B选项,用分层抽样抽取了的学生,则抽取的高中生人数为人,B对;
对于C选项,该地区近视的中小学生中,小学生近视的人数为人,
初中生近视的人数为人,高中生近视的人数为人,
所以,该地区近视的中小学生中,高中生占比为,C错;
对于D选项,从该地区中的中小学生中任意抽取一名,该学生近视的概率为,
从该地区的中小学生中任取名学生,记近视人数为,则,
所以,,D对.
故选：ABD.
12．答案：BD
解析：由题意可得,
又,AP,,AP,平面PAC,
所以平面PAC,
在中,,AC边上的高为,
所以,故A错误;
对于B,在中,,
,
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为,故B正确;
对于C,,
设点A到平面PBC的距离为d,
由,得,解得,
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为,故C错误;
由B选项知,,则,
所以的外接圆的半径,
设三棱锥外接球的半径为,
又因为平面PAC,
则,所以,
即三棱锥外接球的半径为,故D正确.
故选：BD.
13．答案：-60
解析：因为,
又展开式的通项为,
所以含的项有,,
故含项的系数为.
故答案为：-60.
14．答案：
解析：因为函数,
所以,
令,解得或,
当或时,;
当时,,
所以当时,取得极大值,
又,即,
解得或,
因为在上有最大值,
所以,
解得,
所以a的取值范围是.
故答案为：
15．答案：2
解析：由题意可得的焦点,准线方程为,
直线l与抛物线C交于A,B两点,与准线相交于点P,且点A为PB的中点,
设,,
可得,即有,整理得,
根据抛物线的定义,知,,
所以,
故答案为：2.
16．答案：
解析：由已知得,
只需考虑蚂蚁行进的三条路径,并沿所经过的棱将路径图展开成平面图,
第一条路径穿过棱ON,如下图,此时最短路线长为;

第二条路径是穿过棱EN和棱NF,如下图,此时最短路线长为
;
第三条路径是穿过棱EN和棱MF,如下图,此时最短路线长为
.
,
通过比较可知,最小.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）.
,
.
（2）,
,
,当时取得等号,
面积S的最大值.
18．答案：（1）,,;
（2）见解析;
（3）
解析：（1）由题意,,,,
计算可得,,.
（2）由题意可得,,
,
两式相减得,
即,
,
又,
数列是以为首项,以为公比的等比数列.
（3）由（2）可得,
,
,
由,得;
由可得,
,
数列有最大值,
对任意,有,
对任意的,有,即恒成立,
,整理得
解得或.
实数t的取值范围是.
19．答案：(1)填表见解析;能在犯错误的概率不超过0.001的䍨提下认为“运动达不达标与性别有关”
(2)
解析：（1）列联表为
因为,
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”;
（2）由（1）知,运动不达标的男生、女生人数分别足60,80,按照分层抽样共抽取7人,
则男生、女生分别抽取3人、4人,从这7人中任选4人,则女生人数,
则,
,
所以的最大值为,即.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为平面ABC,平面平面DEFG,所以平面DEFG,
又因为平面DEFG,所以,
因为,,DA,平面ADE,
所以平面ADE,
因为平面ADE,
所以.
（2）如图,因为O是DG的中点,平面BCGF,平面DEFG,且平面平面,
所以,
因为平面平面DEFG,
平面平面,平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,,
因为是等腰直角三角形,
所以,
又因为,侧面ACGD是正方形,
所以,,
所以点E到DG的距离为,
所以,则,
又,,所以,
所以,
设点E到平面BDG的距离为h,
由可得,解得,
所以直线OE与平面BDG所成角的正弦值为.
21．答案：（1）AM的方程为或;
（2）证明见解析.
解析：（1）由已知得,l的方程为.
由已知可得,点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
（2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立
当l与x轴重合时,.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,
则,,直线MA、MB的斜率之和为.
由,得.
将代入得.
所以,,.
则.
从而,故MA、MB的倾斜角互补,所以.
综上,.
［方法二］：角平分线定义的应用
当直线l与x轴重合或垂直时,显然有.
当直线l与x轴不垂直也不重合时,
设直线l的方程为,交椭圆于,.
由得.
由韦达定理得,.
点A关于x轴的对称点,则直线BN的方程为.
令,,
则直线BN过点M,.
［方法三］：直线参数方程的应用
设直线l的参数方程为（t为参数）.（*）
将（*）式代入椭圆方程中,整理得.
则,.
又,
则
,
即.所以.
［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用
当直线l与x轴重合时,.
当直线l与x轴不重合时,如图,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,
则有轴.
由椭圆的第二定义,有,,得,即.
由轴,有,即,于是,且.可得,即有.
［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用
椭圆以右焦点为极点,x轴正方向为极轴,得.
设,.
,.
所以,.
由角平分线定理的逆定理可知,命题得证.
［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用
设点O（也可选点F）到直线MA,MB的距离分别为,
根据角平分线定理的逆定理,要证,只需证.
当直线l的斜率为0时,易得.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为：,,.
由方程组得恒成立,..
直线的方程为：.
因为点A在直线l上,所以,故.
同理,..
因为,所以,即.
综上,.
［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立
当直线l与x轴重合或垂直时,显然有.
当直线l与x轴不垂直也不重合时,设直线l的方程为,交椭圆于,.
由得.
由韦达定理得.
所以,
故、的倾斜角互补,所以.
［方法八］：定比点差法
设,,
所以,
由作差可得,,所以,
,又,所以,,
故,MA、MB的倾斜角互补,
所以.
当时,l与x轴垂直,OM为AB的垂直平分线,所以.
故.
22．答案：（1）的减区间为,增区间为;
（2）.
解析：（1）当时,,,
令,解得,令,解得,
所以的减区间为,增区间为;
（2）若有两个零点,即有两个解,
从方程可知,不成立,即有两个解,
令,则有,
令,解得,令,解得或,
所以函数在和上单调递减,在上单调递增,
且当时,,
而时,,当时,,
所以当有两个解时,有,
所以满足条件的a的取值范围是：.
运动达标占比
运动不达标占比
男生
40%
15%
女生
25%
20%
运动达标
运动不达标
总计
男生
女生
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
运动达标
运动不达标
总计
男生
160
60
220
女生
100
80
180
总计
260
140
400