【名校】海南省海南中学2018届高三上学期第四次月考数学（理）试题 (2)
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理科数学
（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
- 设复数，则（ ）
A． B． C． D．
- 已知向量，若，则实数的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
- 若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
- 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则公差等于（ ）
A．1 B． C．2 D．3
- 已知数列中，，（），则的值等于（ ）
A．3 B． C． D．
- 数列的通项公式为，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
- 在等比数列中，首项,且成等差数列, 若数列的前项之积为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
- 一个等差数列的项数为，若，，且，则该数列的公差是（ ）
A.3 B.-3 C.-2 D.-1
- 在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
- 在中，，，点满足，则（ ）
A．2 B．3 C． D．6
- 设的三内角成等差数列，成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
- 已知函数的定义域为，其导函数为，且，不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 数列的前项的和，则此数列的通项公式= ．
- 已知数列中，，则的通项公式 ．
- 若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大.
- 已知向量满足，所成的角为，则当，的最小值是 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
- （本小题满分12分）在中，所对的边分别为 向量，，函数 在处取得最大值．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若的面积等于，，求的值．
- （本小题满分12分）设数列的前项和为,且，数列满足，点在直线上，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
- （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.
（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
- （本小题满分12分）如图，四棱锥中， ⊥底面, , 为线段上一点且.
（1）证明： ∥平面;
（2）若, ，求二面角的正弦值．
- （本小题满分12分）对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调函数；②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．
对于函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
- （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知直线的参数方程为 (为参数).以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
(1)求的长；
(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.
- （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数（）．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
海南中学2018届高三第四次月考
理科数学 参考答案
一、选择题：
1—12：BDCCAB DBADDD
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．（本小题12分）在中，所对的边分别为 ，，函数 在处取得最大值．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若的面积等于，，求的值．
解:（1）
因为函数在处取得最大值，所以，得
所以
因为，所以，则函数值域为
（2）由（1）知，所以由可得，
又由余弦定理得，所以
18．设数列的前项和为,且，数列满足，点在直线上，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
．又 ,所以．
故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在直线上，所以．
则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则．
（Ⅱ）因为，所以．
则,
两式相减得：
19．某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者。
（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。
解：（1）由题意得可能取值为0，1，2；
, , .
的分布列为：
0 | 1 | 2 | |
P |
.
（2）解：设事件A：男生甲被选中；事件B：女生乙被选中。
则由题意可得; ,
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
20．如图，四棱锥中， ⊥底面， ， 为上一点．
（1）证明： ∥平面；
若， ，求二面角的正弦值．
解：证明：（1）在上取点，使，
则， ，
则四边形是平行四边形，则，
，所以
，所以
又，
所以平面∥平面，∵ 平面，∴∥平面
（或者在上取点,先证是平行四边形，再由线线平行得线面平行也可）
（2）是正三角形，建立以为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则
所以
设平面的法向量为
则由得令则，
则
同理得平面的法向量为
则
则二面角的正弦值
21．对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在上是单调函数；
②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．
对于函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．
解：（1）时，，则，
∴函数在处的切线方程为，即．
（2），列表如下
|
| 0 |
| |
减 | 增 | 极大值 | 减 |
设函数存在“区间”是
（i）当时，由上表可知，
两式相减得，即，
所以，代入，得，
欲使此关于的方程组在时有解，需使与的图象有两个交点，在是减函数，在是增函数，且，所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．
（ii）当时，由上表可知，，即，
设，当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
欲使此关于的方程有两解，需使与在有两个交点，
所以有，解得．
所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．
（iii）当时，由上表可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”．
综上所述，函数存在“区间”的的取值范围是．
22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为 (t为参数).以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
(1)求的长；
(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.
解：（1）曲线的直角坐标方程为，
将代入曲线，得： ，
设点、点所对应的参数分别为，则，
；
（2）点对应的直角坐标为在直线上， 中点对应的参数为，
所以点坐标为，点到点的距离为．
23．【选修4-5：不等式选讲】
设函数（）．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：．
（Ⅱ）解：
解得，．
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