海南省海南中学2021届高三第五次月考 数学 (含答案) 试卷
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数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知为虚数单位，复数，则( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.在空间中垂直同一直线的的两条直线与位置关系是（ )
A．平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
3.已知点，，则与向量的方向相同的单位向量是（ ）
A．（－..，） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
4.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，底面为矩形的四棱锥，侧棱底面ABCD，.设该四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则的值（ ）
A. B. C. D.
7.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9.下列四个命题中正确的是（ ）
A．在上是单调递增函数
B．若函数的图像与x轴没有交点，则
C．若幂函数的图象过点，则
D．函数与函数表示同一个函数
10．如图，正方体的棱长是，下列结论正确的有（ ）
A.直线与平面所成的角为
B．点到平面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为
D．三棱锥中三个侧面与底面均为直角三角形
11．对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．当且仅当时，取得最大值1
C．当且仅当时，取得最小值
D．当且仅当时，
12.已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则（ ）
A． B．若，则
C．的最小正周期为3 D．在区间上零点的个数为1346
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.的值等于_________．
14.棱长为1的正方体中，分别是的中点.
①点在直线上运动时，三棱锥体积不变；
②点在直线上运动时，直线始终与平面平行；
③平面平面；
④三棱锥的体积为.
其中真命题的编号是_______________.（写出所有正确命题的编号）
15.已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且，则的取值范围是__________
16.已知函数，，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）设全集是，集合，．
（1）若，求；
（2）问题：已知______，求实数的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都作答按第一个计分）
①； ②； ③.
18.（本小题满分12分）在矩形中，将沿其对角线折起来得到四面体，且平面平面.
（1）证明：；
（2）若，，求折起后三棱锥的表面积、体积.
19．（本小题满分12分）已知.
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.
（1）若为棱的中点，求证：；
（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
海南中学2021届高三第五次月考
数学参考答案
满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | D | C | B | C | D | A | C |
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AC | AD | ACD | AC |
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. ①②③ 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）设全集是，集合，．
（1）若，求；
（2）问题：已知______，求实数的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都作答按第一个计分）
①； ②； ③.
解析：（1）解不等式得或，
所以．
若，则.
所以=．………………………………………………………5分
（2）选①：，则．
当时，则有，即；
当时，则有或，此时两不等式组均无解．
综上所述，实数的取值范围是．……………………………………10分
选②：，由于，则有，解得．
故实数的取值范围是．…………………………………………………10分
选③：，由于，所以
当时，则有，即；
当时，则有解得．
综上所述，所求实数的取值范围是．…………………………………10分
18.（本小题满分12分）在矩形中，将沿其对角线折起来得到四面体，且平面平面.
（1）证明：；
（2）若，，求折起后三棱锥的表面积、体积.
解析：（1）平面平面，平面平面，平面，，…………………………………………………………………………2分
又平面，.…………………………………………………4分
，平面，且，
平面.
，
∴………………………………………………………6分
（2）由（1）知：平面，又平面，.
所以，，，都是直角三角形.
在中，，，.
……………………………10分
.…………………………………………12分
19．（本小题满分12分）已知.
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围.
解析：（1）
………………………………………2分
由，所以
故………6分
（2）由，可得
即
,由，则
所以，由所以……………………………………………8分
为锐角，则 ,即，解得
,则………………………………………10分
，所以
所以的取值范围是………………………………………………12分
20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
解析：（1）设数列的公差为，则……………2分
解得. …………………………………………………………4分
所以. ………………………………………………………… 6分
（2）由（1）知，故.……………………………… 8分
<…………………………………………… 10分
<
故. …………………………………………… 12分
21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.
（1）若为棱的中点，求证：；
（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
解析：（1）证明：取PA的中点F，连AF、FD
E为PB的中点
所以四边形CDFE为平行四边形……………………………………………………2分
∴
又，，
故……………………………………………………………4分
（2）以为坐标原点，以，，所在射线，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则.
设，则.
∵在棱上，∴可设（）.
故，解得，
即.………………………………………………………………………………6分
设平面的法向量为，
，
∴ ，即，即.
取，则.……………………………………………………………8分
设平面的法向量，
，
∴ ，即，即.
取则，故.
因为二面角的余弦值为，
所以，即，即.
又，解得.
∴,.…………………………………………………………10分
因为轴平面，所以平面的一个法向量为.
设与平面所成角为，
则.
故与平面所成角的正弦值为.………………………………………12分
22.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）由题意可知，的定义域为，且.
，，
．…………………………………………………………………………4分
（2），
设，则.
由知在上单调递增，
∴当时，，在上单调递增，
故当时，．
∴．………………………………………………………………………8分
（3）设，则.
.
由（2）中知，.
∴.
①当即时，，所以在单调递增.
∴当时，成立．
②当即时，，.
令，得.
由于在上单调递增，
所以当时，恒成立，故在上单调递减.
因此，当时，有.
所以在上单调递减.
所以当时，有.
因此，不成立．
综上所述：实数的取值范围是．…………………………………………12分
