2024届海南省海南中学高三上学期入学考试数学试题含答案

2024届海南省海南中学高三上学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求集合，再求.

【详解】，即，得，

所以，,

所以.

故选：B

2．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）

A．－1 B．1 C． D．i

【答案】A

【分析】利用复数的概念以及复数的四则运算求解即可.

【详解】因为，所以则z的虚部是－1，故B，C，D错误.

故选：A.

3．已知量，，若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据向量垂直的坐标表示运算求解.

【详解】若，则，解得.

故选：C.

4．已知函数，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.

【详解】由题意可得 ，

故选：D.

5．已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】将代入抛物线得，结合弦长可得，根据抛物线定义求即可.

【详解】令，则，故，所以，

所以，故准线为，则.

故选：B

6．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.

【详解】，

，

两式相加得，

.

故选：D.

7．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，

则在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率为，由条件概率计算公式可得答案.

【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，

则，

，则.

故选：C

8．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ）

A．5或16 B．5或32

C．5或16或4 D．5或32或4

【答案】B

【分析】根据“角谷猜想”的规则，由倒推的值.

【详解】由题知，因为，则有：

若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；

若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；

若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；

若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；

若为奇数，则，可得；若为偶数，则.

综上所述：或32.

故选：B

二、多选题

9．某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：

则下列结论正确的为（    ）

A．平均数为48 B．极差为9

C．中位数为47 D．第75百分位数为51

【答案】BC

【分析】运用平均数、极差、中位数及百分位数的公式计算即可.

【详解】对于A项，平均数为，故A项错误；

对于B项，极差为，故B项正确；

对于C项，这组数从小到大排序为：、、、、、、、、、，

所以中位数为.故C项正确；

对于D项，因为，所以第75百分位数为49.

故选：BC.

10．的部分图象如图所示．则的表达式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合正弦函数图像的性质，以及正弦函数五点法求解，最后根据正余弦恒等变换解析判断即可；

【详解】由图像可知，所以，

又因为，，结合函数图像五点法可知，

当解得：

即， 正余弦三角恒等转化，

故选：AC

11．已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用导数结合极值、极值点求出a，b，再逐项判断作答.

【详解】函数定义域为R，求导得，

依题意，，即，解得或，

当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，

当时，，当或时，，当时，，

因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意，

则，A不正确，B正确；函数在处取得极大值，一定有两个极值点，C正确；

一定存在单调递减区间，D正确.

故选：BCD

12．如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．，，，四点共面

B．

C．三棱锥的体积与点的位置有关

D．直线与直线所成角正切值的最大值为

【答案】ABD

【分析】利用平行线确定唯一平面验证A选项；通过三垂线定理验证选项B；对通过转化锥体顶点来证明锥体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项．

【详解】对于A，过N作于E点，连接，如图所示，

则，又，四边形为平行四边形，∴，

又，且，∴四边形为平行四边形，∴，

∴，则有，，，四点共面，A选项正确；

对于B，连接，正方体中，平面，平面，则，

正方形中，，

平面，，则有平面，

平面，所以，B选项正确；

对于C，连接，连接与相交于点，则为和的中点，

连接，如图所示，

，所以有，

由，平面，所以平面，

设四边形的面积为，则，

由，则梯形的面积为，

，

则，为定值，C选项正确；

对于D，过点N作交于点H，连接，如图所示，

则为直线与直线所成的角，有，其中为定值，若直线与直线所成角的正切值最大，只需最大，

设正方体边长为，则，

显然当与点重合，与点重合，与点重合，最大，最大值为，此时 ，即直线与直线所成角正切值的最大值为，D选项正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：

空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，关键是能够对给出的空间图形进行恰当的分析，从图形中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，如有正方体等特殊图形，更要充分利用好图形的结构特征．

三、填空题

13．在等比数列中，，，则公比q是      .

【答案】2

【分析】运用等比数列通项公式的基本量计算即可.

【详解】解：根据题意，等比数列中，，，

所以，

所以.

故答案为：2.

14．若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为              .

【答案】/

【分析】依题意圆锥的底面半径，母线，根据侧面积公式计算可得.

【详解】依题意圆锥的底面半径，母线，则圆锥的侧面积.

故答案为：

15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.

【详解】因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上函数，所以

设，，

函数在区间上单调递增，

所以只需即可.

故答案为：.

16．过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，若，，则双曲线的离心率是         .

【答案】

【分析】设，则，在中，由余弦定理得，同理得，再结合，即可、值，可得出的值，进而可求得该双曲线离心率的值.

【详解】如图，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，

设双曲线的左焦点为，连接，则.

在中，设，则，

在中，由余弦定理得，

将代入整理后得，

同理.

因为，所以，

将其代入，解得，，则，

因此，该双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于由余弦定理得，将代入整理后得与．

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；

（2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）因为，由正弦定理有：

，

所以，

所以，

因为，所以，所以.

又，所以；

（2），又由（1）知

由余弦定理得，

即，则

所以的面积为.

18．已知函数的所有正的零点构成递增数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先利用辅助角公式化简，再求出所有正的零点，利用等差数列即可求解通项.

（2）首先求出，再利用错位相减法求解即可.

【详解】（1），

由题意令，解得.

又函数的所有正的零点构成递增数列，所以当时，是首项，公差的等差数列，因此.

（2）由（1）知，

则，①，②

由①-②得，

所以.

19．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到．

(1)根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；

(2)求被抽样调查的总人数，并依据小概率值的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；

(3)用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为，求随机变量的方差．

附：

【答案】(1)答案见解析

(2)有关联

(3)

【分析】（1）根据题意完善列联表，结合相应的频率分析说明；

（2）根据题意结合求总人数，并与临界值对比分析；

（3）由题意可得，结合二项分布求方差.

【详解】（1）设被调查的总人数为人，则男、女生人数均为，

则女生中“了解”和“不了解”的人数均为， “了解”的学生中男生人数是，

可得列联表如下：

男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和；女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和；

由，可见，在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，

根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即男生更了解亚运会项目．

（2）因为，

所以，被调查的总人数为400人．

因为，

所以我们推断不成立，即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．

（3）由题意可知：，

则.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【详解】（1）在正方形中，，

又侧面底面，侧面底面，平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为  是正三角形，是的中点，则，

又，，平面，

所以平面；

（2）取中点为，中点为，连接,建立如图所示的空间直角坐标系，

,

所以,

设平面的法向量为，则

，取，则，

由（1）知是平面的一条法向量，,

设平面与平面所成二面角的平面角为，

则

21．已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．

(1)求的方程；

(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得，，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；

（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再表示出，，然后化简即可.

【详解】（1）解：依题意可得，解得，

所以椭圆的方程为

（2）由（1）可知，，

由题意，直线l的斜率不为0，设直线，，，

由

可得，则，，

因为直线的斜率，直线的斜率，

由，，得，

所以，

所以直线和的斜率之比为，即

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，然后结合斜率公式求解，考查计算能力，属于较难题.

22．已知函数．

(1)证明：；

(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式；

（2），结合（1）中的结论再分和讨论即可.

【详解】（1），令，则．

∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．

又，

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∴．∴．

（2）．

由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．

（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∴，即．

（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．

①当时，．当时，；

当时，；

当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

∴．不符合题意．

②当时，．当时，有恒成立，

故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．

③当时，．当时，；当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

∴．不符合题意．

综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可.