海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第5次月考数学试题

这是一份海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第5次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，在等比数列中，，则“”是“”的，设，，且，则等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
命题： 审核：
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设其经验回归方程为．已知，，，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）
A．160B．165C．170D．175
4．在等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点．若，则（ ）
A．B．4C．D．6
6．若正三棱台的上、下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．有一组样本数据，，，，，，，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．，，，，的众数等于，，，，，，的众数
B．，，，，的中位数等于，，，，，，的中位数
C．，，，，的方差不大于，，，，，，的方差
D．，，，，的极差不小于，，，，，，的极差
10．已知函数，将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数B．在区间上的值域为
C．在区间上单调递增D．点是的图象的一个对称中心
11．设数列的前项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．D．
12．已知函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．在区间上至少有1012个零点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是奇函数，则实数_________．
14．在的展开式中，的系数为_________．
15．已知是边长为4的正三角形，是边上的中线．现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为_________．
16．在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分12分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）设，的面积为，周长为，求的最大值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的左、右顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示，中的最小值，设函数，讨论函数在上的零点的个数．
海南中学2024届高三年级第5次月考
数学参考答案
一、选择题
8．【解析】由，知是的中点，．设，则，又根据双曲线的定义知：，．在直角中，由勾股定理知：，所以，即．在直角中，，，，由勾股定理知：，所以，即离心率．
12．【解析】因为为奇函数，所以关于点对称，故，
令，则，即，故A正确；
又因为，所以关于直线对称，故是周期函数，并且周期，所以，故B正确；
因为，所以．又因为关于直线对称，故，即，故是偶函数，所以，故C错误；
又因为，，，
所以，则在区间上至少有1012个零点，故D正确．
二、填空题
13． 14．112 15． 16．
16．【解析】如图，作所在直径，交于点，
，．要使面积最大，则点，位于点的两侧，设圆心到直线的距离为，则，，因为，
所以
令．
则．
令，则，令，则．
因此当时，取最大值，即的最大值为，故答案为．
三、解答题
17．【解析】（1）由已知，可得，两式相减得，即，，，．
（2）由题意知，，可得，由（1）知，假设为等差数列，则，，成等差数列，
，解得；
下面证明：当时，为等差数列：由知
当为奇数时，，
当为偶数时，，
当时，．故，为等差数列．
综上：存在，使得为等差数列．
18．【解析】（1）解：在中，由正弦定理可得，，，即．又．
（2）在中，由余弦定理知，，
，故．又，，则．
即
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．
19．【解析】（1）因为，，所以．于是．又，且，平面，平面，所以平面．
（2）因为，，所以．如图所示，在平面内过点作轴垂直于，又由（1）知平面，于是分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系．故，，，．
因为，于是．
所以，，．
设平面的法向量为，于是
即．取得．
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．【解析】（1）因为
（元）．
所以预估2024年2月份人均健身消费为620元．
（2）因为，所以在抽取的6个健身卫士中，健身达人有人，不是健身达人的有人。设事件“抽到的2人中至少1人为健身达人”，则“抽到的2人都不为健身达人”，所以．
（3）若选择方案一：则需付款900元；
若选择方案二：设付款元，则可能取值为700，800，900，1000．
，，
，，
所以（元）
因为，所以选择方案二更划算．
21．【解析】（1）解：由题意知：且，解得，．
椭圆的方程为．
（2）证明：当直线的斜率存在时，设代入椭圆方程得
．设，
则，，，，
，右顶点为，，
又以线段为直径的圆过点，
，即，
故．
又因为，，化简可得：，
即，所以或．
当时，直线过定点，不合题意舍去．
若时，直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设，则，以线段为直径的圆过，
，即，又因为，所以或（舍去）
此时直线也过定点．
综上，直线过定点，定点为．
22．【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得，．
因此，当时，轴是曲线的切线．
（Ⅱ）当时，，从而，
在上无零点．
当时，若，则，，故是的零点；若，则，，故不是的零点．
当时，，所以只需考虑在上的零点个数．
（i）若或，则在无零点，故在上单调，而，，所以当时，在上有一个零点；当时，在上无零点．
（ii）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取的最小值，最小值为．
①若，即，在上无零点．
②若，即，则在上有唯一零点；
③若，即，由于，，所以当时，在上有两个零点；当时，在上有一个零点．
综上，当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
B
B
A
D
C
BC
CD
BCD
ABD