寒假圆章节复习学案（无答案）
展开一、圆的知识梳理
知识点一 概念：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心、定长为半径的圆；
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
补充：
垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
知识点二 确定圆的条件
1.确定圆的条件：不在_同一条直线上_的三个点确定一个圆．
2.三角形的外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做_三角形的外接圆_，外接圆的圆心是三角形三边的_垂直平分线_的交点，叫做三角形的_外心__．
3.三角形的内心：和三角形的三边都 相切_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线_的交点，叫做三角形的_内心．
补充
- 三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
- 垂心：是三角形三边高线的交点。
知识点三 与圆有关的概念
1．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
3．顶点在圆心的角叫做圆心角．
4、顶点在圆周且两边与圆相交的角叫做圆周角。
5．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
如果两条弧是等弧必须满足两个条件：（1）长度相等；（2）角度相等。
圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二）：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
知识点四 圆的对称性
一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合。
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
知识点五 垂径定理及推论
（1）垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
（5）平行弦所夹的弧相等。
知识点六 圆周角定理
1圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆心角定义：顶点在圆心的角角圆心角。
2圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
圆心与圆周角的位置关系，分三种情况：
(1)圆心在角的一边上； (2)圆心在角的内部； (3)圆心在角的外部(如图)．
3圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
- 圆内接四边形：
圆内接四边形的对角互补。外角等于内对角。
知识点六 直线与圆位置关系
1.如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线与圆相交 d＜r 。
(2)直线与圆相切 d＝r 。
(3)直线与圆相离 d＞r 。
2.定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定定理的2个条件：①直线与圆有公共点；②直线与过公共点的半径垂直．
切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）与圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
知识点七 圆的相关计算
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式
，其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
，其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
4、弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
如图，切线AB和弦AC的夹角∠2等于弧AC所对的圆周角，即：∠BAC=∠ADC
5、切割线定理
PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，
则
6.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
7.割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。（割线定理）
