相似综合（难）-寒假教案学案

一、知识梳理

1.比例线段的相关概念

黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即  简记为：

注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

2.三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

3.相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

(3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等

4.位似图形有关的概念与性质及作法

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注：

（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.

（2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3） 位似图形的对应边互相平行或共线.

5.相似三角形判定的基本模型

      A字型        X字型        反A字型         反8字型

母子型         旋转型            双垂直             三垂直

二、巩固练习

1. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：

①；②；③.其中正确的是（   ）

A. ①②③    B. ①    C. ①②    D. ②③

2.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是___________　．

3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为________　．

4.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形,则PE的长为数           。

5.如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE=2√，则AP的长为  ___________  .

6.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（　　）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2

7.问题1:如图①，在中，，是上一点(不与，重合)，，交于点，连接.设的面积为，的面积为.

(1)当时， _________      

(2)设，请你用含字母的代数式表示.

问题2:如图②，在四边形中，，，，是上一点(不与，重合)，，交于点，连接.设，四边形的面积为，的面积为.请你利用问题1的解法或结论，用含字母的代数式表示.

8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°．

（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

9.如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD， 垂足为点F．

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：的值为       ；

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=       ． 

10.在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，）射线，分别交直线于点，.

（1）如图1，当与重合时，求的度数；

（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；

（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.

11.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．