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高中苏教版 (2019)第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图文课件ppt
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这是一份高中苏教版 (2019)第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，比较大小，内容索引，增函数，减函数，f′x≥0，f′x≤0，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息.
一、由单调性求参数的取值范围
三、函数图象的增长快慢的比较
问题1 对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
提示 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.
问题2 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
提示 不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间.
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的 ；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的 .若函数f(x)在某区间上是增函数，则 ；若函数f(x)在某区间上是减函数，则 .注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证).
例1 已知函数f(x)＝ x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解 f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究 1.本例函数不变，若函数f(x)在 上是增函数，求实数a的最大值.
即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
解 由题意知f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.经验证a＝4时成立，故a≤4.
反思感悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
跟踪训练1 (1)函数y＝ x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，1]C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1,3)C.(－2,2)D.不存在这样的实数k
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)
解析 由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)为增函数，又af(b)>f(a).
问题3 观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然 越大，函数f(x)减少的就越快.
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.
例3 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
解析 由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
反思感悟 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
解析 ∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)f′(x2)；对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.
1.知识清单：(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.(2)根据单调性比较大小.(3)函数图象增长快慢的比较.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是
解析 由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.
2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A.f(a)＞f(b)＞f(0) B.f(0)＜f(c)＜f(d)C.f(b)＜f(0)＜f(c) D.f(c)＜f(d)＜f(e)
解析 由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)
解析 若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.
4.若f(x)＝－ x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________.
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则A.f(1)>f(2) B.f(1)
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a等于
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)在(－∞，0)上是减函数，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是
解析 检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.
A.a≥2 B.a＝2C.a≥1 D.a>2
①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒0
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
9.已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
解 由f(x)，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0对∀x∈R恒成立，即a≤3x2对∀x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，故a的取值范围是(－∞，0].
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，所以f′(x)<0对∀x∈(－1,1)恒成立，即a≥3x2对∀x∈(－1,1)恒成立，易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞).
10.已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
∴若f′(x)>0，得x>3；若f′(x)<0，得0
则a≤2x2－4x＋2恒成立，令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min即可，而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.∴a≤2.
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.
即g(x)＝2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)上有解，而g(x)的对称轴为x＝1且开口向上，∴必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0.
11.若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在 区间上是增函数，则实数c的取值范围是A.(－∞，2] B.(－∞，4]C.(－∞，8] D.[－2,4]
解析 易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
12.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式 的解集为
解析 若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，
若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
14.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________.
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.∴f(x)的减区间为[－2,2]，由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]，
15.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g ，b＝ ，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为A.a
当f′(x)>0时，解得－11.故函数f(x)的增区间是(－1,1)，减区间是(1，＋∞).
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息.
一、由单调性求参数的取值范围
三、函数图象的增长快慢的比较
问题1 对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
提示 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.
问题2 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
提示 不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间.
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的 ；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的 .若函数f(x)在某区间上是增函数，则 ；若函数f(x)在某区间上是减函数，则 .注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证).
例1 已知函数f(x)＝ x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解 f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究 1.本例函数不变，若函数f(x)在 上是增函数，求实数a的最大值.
即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
解 由题意知f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.经验证a＝4时成立，故a≤4.
反思感悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
跟踪训练1 (1)函数y＝ x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，1]C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1,3)C.(－2,2)D.不存在这样的实数k
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)
解析 由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)为增函数，又a
问题3 观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然 越大，函数f(x)减少的就越快.
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.
例3 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
解析 由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
反思感悟 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
解析 ∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)
1.知识清单：(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.(2)根据单调性比较大小.(3)函数图象增长快慢的比较.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是
解析 由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.
2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A.f(a)＞f(b)＞f(0) B.f(0)＜f(c)＜f(d)C.f(b)＜f(0)＜f(c) D.f(c)＜f(d)＜f(e)
解析 由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)
解析 若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.
4.若f(x)＝－ x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________.
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则A.f(1)>f(2) B.f(1)
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a等于
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)在(－∞，0)上是减函数，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是
解析 检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.
A.a≥2 B.a＝2C.a≥1 D.a>2
①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒0
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
9.已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
解 由f(x)，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0对∀x∈R恒成立，即a≤3x2对∀x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，故a的取值范围是(－∞，0].
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，所以f′(x)<0对∀x∈(－1,1)恒成立，即a≥3x2对∀x∈(－1,1)恒成立，易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞).
10.已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
∴若f′(x)>0，得x>3；若f′(x)<0，得0
则a≤2x2－4x＋2恒成立，令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min即可，而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.∴a≤2.
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.
即g(x)＝2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)上有解，而g(x)的对称轴为x＝1且开口向上，∴必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0.
11.若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在 区间上是增函数，则实数c的取值范围是A.(－∞，2] B.(－∞，4]C.(－∞，8] D.[－2,4]
解析 易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
12.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式 的解集为
解析 若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，
若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
14.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________.
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.∴f(x)的减区间为[－2,2]，由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]，
15.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g ，b＝ ，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为A.a
当f′(x)>0时，解得－1
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
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